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5
Sistemas de primer orden
En los capítulos anteriores se ha visto cómo obtener la función de
transferencia para cualquier sistema lineal e invariante en el tiempo y cómo
utilizar esa función de transferencia, independientemente del orden de la
misma, para calcular la respuesta temporal, libre más forzada, ante cualquier
entrada y conjunto de condiciones iniciales y la respuesta en frecuencia en
régimen permanente para entradas constantes o senoidales. Con este bagaje
teórico es posible afrontar el análisis de cualquier sistema dinámico, sea cual
sea su orden, con la única restricción de la linealidad y la invarianza
temporal. Sin embargo, una parte considerable de los sistemas dinámicos que
se encuentran en aplicaciones industriales se corresponden con sistemas de
orden bajo, primer y segundo orden, por lo que conocer en detalle las
características de la respuesta temporal y de la respuesta en frecuencia de este
tipo de sistemas agiliza en gran medida su análisis y muchas de las decisiones
de diseño. Esta razón justifica un estudio pormenorizado de este tipo de
sistemas. Este capítulo profundiza en el análisis de la respuesta temporal y de
la respuesta en frecuencia de los sistemas de primer orden, mientras que el
siguiente capítulo se centrará en los sistemas de segundo orden.
5.1 Clasificación de los sistemas de primer
orden
La función de transferencia de un sistema de primer orden se caracteriza por
tener el polinomio del denominador de primer grado. En función de cómo sea
el numerador, se consideran tres tipos de sistemas de primer orden:
1.
Sistema de primer orden sin cero: tiene una constante como
numerador.
G(s) =
Y (s)
K
=
U(s) 1+ τ s
Los parámetros que aparecen en la función de transferencia son la
ganancia K, que coincide con la ganancia estática G(0), y la
constante de tiempo τ. La ganancia estática K puede tener cualquier
signo, sin embargo para que este sistema sea estable se debe cumplir
que τ > 0 . Teniendo en cuenta esta restricción, no se incluye el caso
particular del integrador G(s) = 1 s .
5–1
2.
Sistema de primer orden con cero nulo o derivador filtrado.
G(s) =
Y (s)
Ks
=
U(s) 1+ τ s
Los parámetros que aparecen en la función de transferencia son la
ganancia K, que en este caso no coincide con la ganancia estática
G(0) que es igual a 0, y la constante de tiempo τ. La ganancia K
puede tener cualquier signo, mientras que τ debe ser positivo para
que el sistema sea estable.
3.
Sistema de primer orden con cero no nulo.
G(s) =
Y (s) K (1+ Ts )
=
U(s)
1+ τ s
En este último caso, los parámetros son la ganancia K, que vuelve a
coincidir con la ganancia estática G(0) como en el sistema de primer
sin cero, la constante de tiempo T asociada al cero y la constante de
tiempo τ asociada al polo o constante de tiempo del sistema. La
ganancia K y la constante de tiempo T pueden tener cualquier signo,
mientras que τ debe ser positivo para que el sistema sea estable.
En las figuras 5.1, 5.2 y 5.3 se muestran tres ejemplos de circuitos
electrónicos montados con amplificadores operacionales, resistencias y
condensadores cuyas funciones de transferencia se corresponden,
respectivamente, con las de los tres tipos mencionados de sistemas de primer
orden. Se propone al lector la tarea de demostrar que las funciones de
transferencia de estos circuitos se corresponden con las presentadas
previamente para cada tipo de sistema de primer orden.
R2
C
vi
R1
vo
Figura 5.1. Circuito electrónico correspondiente a un sistema de primer orden sin cero.
5–2
R2
R1
C
vi
vo
Figura 5.2. Circuito electrónico correspondiente a un sistema de primer orden con cero
nulo o derivador filtrado.
R2
C1
C2
vi
R1
vo
Figura 5.3. Circuito electrónico correspondiente a un sistema de primer orden con cero no
nulo.
5.2 Respuesta temporal a un escalón de los
sistemas de primer orden
En esta sección se va a deducir, usando los procedimientos matemáticos
expuestos en los capítulos previos, la respuesta temporal a una entrada en
forma de escalón e incluyendo la respuesta libre por condiciones iniciales
para cada uno de los sistemas de primer orden presentados en la sección 5.1.
Además del interés que este ejercicio tiene como aplicación de la teoría
previa, los resultados permiten obtener conclusiones claras sobre las
propiedades fundamentales de la respuesta temporal de cada uno de estos
sistemas. Conocer estas propiedades agiliza el análisis y diseño de los
sistemas de primer orden que aparecen en cualquier aplicación industrial.
En todos los casos, se supone que la entrada u(t) sufre un cambio en forma de
escalón entre un valor previo u(0-) (condición inicial) y un valor posterior
u(0+) (valor inicial) que además coincide con el valor final u (∞) . Además se
supondrá que la salida tiene una condición inicial y(0-) y que el objetivo es
calcular la evolución de la salida y(t) a partir del instante inicial. En todos los
5–3
casos el procedimiento de cálculo es el expuesto en el capítulo 2. En primer
lugar se obtiene la transformada de Laplace Y(s) de la salida, incluyendo
respuesta forzada YF(s) y libre YL(s), para posteriormente calcular la
antitransformada de Laplace mediante una descomposición en fracciones
parciales o simples.
1.
Sistema de primer orden sin cero.
En este caso, la transformada de Laplace de la salida resulta:
F (s )
Y

YL (s )

K
+
u(0 ) y(0 − ) Ku(0 + ) −Ku(0 + ) y(0 − )
Y (s) = τ
+
=
+
+
1 s
1
1
1
s
s+
s+
s+
s+
τ
τ
τ
τ
Y su antitransformada de Laplace:
F (t )
L (t )
⎛ y
 
y

⎞
t
t ⎟
⎜
⎛
− ⎞
−
y(t) = ⎜ Ku(0+ ) ⎜ 1− e τ ⎟ + y(0− )e τ ⎟ γ (t) ,
⎜
⎟
⎝
⎠
⎜⎝
⎟⎠
que también puede agruparse de la siguiente forma:
t
− ⎞
⎛
y(t) = ⎜ Ku(0 + ) + y(0 − ) − Ku(0 + ) e τ ⎟ γ (t)
⎝
⎠
(
)
La respuesta aparece multiplicada por el escalón unitario γ(t) para
indicar que esta expresión sólo es válida a partir de t >= 0. A partir
de la expresión anterior, se puede deducir fácilmente, sin más que
sustituir t por 0 e ∞ , los valores inicial y final de la respuesta que
resultan:
y(0 + ) = y(0 − )
y(∞) = Ku(0 + ) = Ku(∞)
Ejercicio: se propone al lector comprobar estos valores aplicando
los teoremas del valor inicial y final directamente a la transformada
de Laplace de la salida o bien, en el caso del valor final, usando el
concepto de ganancia estática para un sistema estable.
Como conclusiones fundamentales de la respuesta de un sistema de
primer orden sin cero a un escalón podemos mencionar:
2.
•
Posee una respuesta transitoria de tipo exponencial.
•
El sistema responde sin saltos cuando se introduce un salto
en la entrada (condición inicial y valor inicial coinciden).
•
Su valor final es distinto de 0 si el valor final de la entrada
es distinto de 0.
Sistema de primer orden con cero nulo o derivador filtrado.
En este segundo caso, la transformada de Laplace de la salida
resulta:
5–4
F (s )
L (s )
Y
 Y

K
K
K
K
−
s u(0 + ) y(0 ) − u(0 − )
u(0 + ) y(0 − ) − u(0 − )
τ
τ
Y (s) = τ
+
= τ
+
1 s
1
1
1
s+
s+
s+
s+
τ
τ
τ
τ
Y su antitransformada de Laplace:
F (t )
L (t )
⎛ y
 
y

⎞
t
t
⎜K
−
− ⎟
⎛
⎞
K
y(t) = ⎜ u(0+ )e τ + ⎜ y(0− ) − u 0− ⎟ e τ ⎟ γ (t) ,
τ
⎝
⎠
⎜τ
⎟
⎜⎝
⎟⎠
( )
que también puede agruparse de la siguiente forma:
( ))
(
K
⎛
⎞ −
y(t) = ⎜ y(0 − ) +
u(0 + ) − u 0 − ⎟ e τ γ (t)
⎝
⎠
τ
t
Los valores inicial y final de la respuesta resultan:
y(0 + ) = y(0 − ) +
(
K
u(0 + ) − u(0 − )
τ
)
y(∞) = 0
Como en el caso anterior, estos valores se pueden obtener aplicando
los teoremas del valor inicial y final directamente a la transformada
de Laplace de la salida o bien, en el caso del valor final, usando el
concepto de ganancia estática para un sistema estable.
Como conclusiones fundamentales de la respuesta de un sistema de
primer orden con cero nulo o derivador filtrado a un escalón
podemos mencionar:
3.
•
La respuesta transitoria es de tipo exponencial.
•
El sistema responde con un salto en la salida cuando se
introduce un salto en la entrada (la relación entre ambos
saltos la determina el parámetro K/τ).
•
Su valor final es nulo independientemente del valor final de
la entrada (ganancia estática nula).
Sistema de primer orden con cero no nulo.
En este último caso, la transformada de Laplace de la salida resulta:
F (s )
L (s )

Y

 
Y


KT ⎛
1⎞
KT
−
y(0 ) −
u(0 − )
+
⎜s+ ⎟
τ ⎝ T ⎠ u(0 )
τ
Y (s) =
+
=
1
1
s
s+
s+
τ
τ
⎛ T⎞
−K ⎜ 1− ⎟ u(0 + ) y(0 − ) − KT u(0 − )
⎝ τ⎠
Ku(0 + )
τ
=
+
+
1
1
s
s+
s+
τ
τ
5–5
Y su antitransformada de Laplace:
F (t )
L (t )
⎛ y

 
y

⎞
t
t
⎜
−
− ⎟
⎛
⎞
⎛
⎞
T
KT
y(t) = ⎜ Ku(0+ ) − K ⎜ 1− ⎟ u(0+ )e τ + ⎜ y(0− ) −
u(0− )⎟ e τ ⎟ γ (t)
τ
⎝ τ⎠
⎝
⎠
⎜
⎟
⎜⎝
⎟⎠
que también puede agruparse de la siguiente forma:
t
⎛
KT
⎛
⎞ − ⎞
y(t) = ⎜ Ku(0 + ) + ⎜ y(0 − ) +
u(0 + ) − u(0 − ) − Ku(0 + )⎟ e τ ⎟ γ (t)
⎝
⎠
τ
⎝
⎠
(
)
Los valores inicial y final de la respuesta resultan:
y(0 + ) = y(0 − ) +
(
KT
u(0 + ) − u(0 − )
τ
)
y(∞) = Ku(0 + ) = Ku(∞)
Como en los casos anteriores, estos valores se pueden obtener
aplicando los teoremas del valor inicial y final directamente a la
transformada de Laplace de la salida o bien, en el caso del valor
final, usando el concepto de ganancia estática para un sistema
estable.
Como conclusiones fundamentales de la respuesta de un sistema de
primer orden con cero no nulo a un escalón podemos mencionar:
•
La respuesta transitoria es de tipo exponencial.
•
El sistema responde con un salto en la salida cuando se
introduce un salto en la entrada (la relación entre ambos
saltos la determina el parámetro KT/τ).
•
Su valor final es distinto de 0 si el valor final de la entrada
es distinto de 0.
Si se comparan las respuestas temporales de los tres sistemas de primer
orden, se puede comprobar que todas ellas responden a una forma general:
t
− ⎞
⎛
y(t) = ⎜ y(∞) + y(0 + ) − y(∞) e τ ⎟ γ (t)
⎝
⎠
(
)
Siendo el valor final de la salida y(∞) = G(0)u(∞) en todos los casos. Por lo
tanto, para obtener la respuesta temporal a un escalón, sólo se requiere
calcular el valor inicial y final de la respuesta. Este valor inicial se puede
obtener teniendo en cuenta que el salto producido en la salida cuando se
produce un salto en la entrada viene dado por:
(
y(0 + ) − y(0 − ) = G ( ∞ ) u(0 + ) − u(0 − )
)
En la expresión anterior, G(∞) = lim G(s) . Esta relación puede verificarse
s→∞
fácilmente para los tres tipos de sistemas de primer orden analizados.
Conviene recordar, que en una respuesta de tipo exponencial la salida recorre
aproximadamente un 63% del camino total que debe recorrer entre sus
5–6
valores inicial y final en t = τ (la constante de tiempo). La rapidez de la
respuesta depende por tanto de esta constante de tiempo: cuanto menor es,
mayor es la rapidez.
Para medir la rapidez de cualquier sistema se suele usar también el tiempo de
establecimiento al 5% definido como el tiempo que la salida tarda en entrar
en una banda del ±5% de la distancia entre los valores inicial y final en torno
al valor final. Para sistemas de primer orden t s ≈ 3τ . Para t = 5τ la salida
recorre un 99,3% del trayecto total.
Por último, en los ejemplos 5.1, 5.2 y 5.3 se calculan y representan
gráficamente las respuestas de diferentes sistemas de primer orden a un
escalón en la entrada entre -2 y 4 con una condición inicial de la salida y(0-)
igual a -5.
Ejemplo 5.1: Sistema de 1er orden sin cero
G ( s) =
(
5
2,5
=
s + 2 1 + 0,5s
)
y(t ) = 10 − 15e −2t γ (t )
Figura 5.4. Respuesta a un escalón del sistema de primer orden del ejemplo 5.1.
Ejemplo 5.2: Sistema de 1er orden con cero nulo o derivador filtrado
G( s) =
5s
2,5s
=
s + 2 1 + 0,5s
y(t) = 25e−2tγ (t)
Figura 5.5. Respuesta a un escalón del sistema de primer orden del ejemplo 5.2.
5–7
Ejemplo 5.3: Sistema de 1er orden con cero no nulo
G( s) =
− 2.5s + 5 2,5(1 − 0.5s )
=
s+2
1 + 0,5s
(
)
y(t ) = 10 − 30e −2t γ (t )
Figura 5.6. Respuesta a un escalón del sistema de primer orden del ejemplo 5.3.
5.3 Respuesta en frecuencia y diagrama de
Bode
La respuesta en frecuencia es otra forma de caracterizar completamente la
relación entrada - salida de un sistema, estudiando cómo responde a señales
senoidales en todo el margen de frecuencias. Las técnicas de respuesta en
frecuencia son importantes, ya que:
• Muchos fenómenos eléctricos y mecánicos son senoidales por
naturaleza, por ejemplo las oscilaciones armónicas.
• Las señales periódicas pueden descomponerse en suma de señales
senoidales mediante el desarrollo en serie de Fourier1.
• Las señales senoidales son importantes en telecomunicaciones como
señales portadoras de información.
• Los sistemas de energía eléctrica funcionan en régimen permanente
senoidal.
• En la teoría de control hay muchas técnicas de análisis y diseño basadas
en la respuesta en frecuencia.
Respuesta en Frecuencia
La respuesta de un sistema estable G(s) ante una entrada senoidal ha sido
estudiada en el capítulo 3. Si se aplica una entrada:
u(t ) = U M cos(ωt + ψ)
1
Las señales no periódicas pueden entenderse también como una suma (en este caso integral) de
señales senoidales mediante la transformación de Fourier.
5–8
la salida en régimen permanente es:
yP (t) = U M G( jω ) cos(ω t + ψ + ∠G( jω )) ,
donde G( jω ) (la ganancia) es el módulo de G(s) evaluado en s = jω y
∠G( jω ) es la fase del mismo número complejo. Por respuesta en frecuencia
de un sistema (fig. 5.7) se entenderá la función
G ( jω) = G ( jω) e j∠G ( jω) ,
que representa la relación entre la salida y la entrada de un sistema en
régimen permanente ante una entrada senoidal, para ω = 0 ÷ ∞ .
U(s)
G(s)
u (t ) = U M cos(ωt + ψ )
G(jω)
Y(s) = G(s)U(s)
yP (t ) = U M G( jω) cos(ωt + ψ + ∠G( jω))
Figura 5.7. Respuesta en frecuencia.
Aunque el desarrollo anterior se ha realizado para sistemas estables, también
tiene interés la función G(jω) de sistemas inestables. Estos pueden formar
parte de otros sistemas, normalmente realimentados, que sí son estables.
Representación gráfica de la respuesta en frecuencia
En teoría de sistemas se utilizan distintas representaciones gráficas de la
respuesta en frecuencia. Como la función G(jω) es compleja, la respuesta en
frecuencia puede dibujarse de varias formas. Los tres diagramas más
utilizados, son:
• El diagrama de Bode. Son dos gráficos. El primero representa la
ganancia G( jω ) en función de ω (o de la frecuencia f = ω 2π ). El
segundo representa la fase ∠G( jω ) en función de ω. La frecuencia, en
ambos gráficos, se representa en escala logarítmica. La ganancia, en el
primero de ellos, se suele expresar en decibelios (dB), aunque puede
también expresarse en unidades naturales sobre un eje logarítmico.
• El diagrama de Nyquist. Es la representación de la parte real y la parte
imaginaria de G(jω) en el plano complejo. Puede verse también como
un gráfico en coordenadas polares; la distancia al cero es la ganancia y
la fase es el ángulo con el eje real. La curva resultante puede ir graduada
en frecuencias, pero esta relación es incómoda de manejar y no es
necesaria en determinados análisis de tipo cualitativo.
• El diagrama de Black. Es la ganancia G( jω ) (en ordenadas) en
función de la fase ∠G( jω ) (en abscisas). La ganancia suele expresarse
en dB, aunque también puede expresarse en unidades naturales sobre un
eje logarítmico. Como en el diagrama de Nyquist, la curva resultante
puede ir graduada en frecuencias aunque en ciertos análisis cualitativos
esta graduación no es imprescindible.
5–9
Los dos últimos diagramas son especialmente útiles en el análisis y diseño de
sistemas realimentados (por ejemplo, sistemas electrónicos de amplificación
o sistemas de control) y se estudiarán en asignaturas donde se abordan
específicamente este tipo de sistemas, mientras que el primero es de
aplicación más general (contiene explícitamente una escala de frecuencias)
por lo que el resto del capítulo se centrará exclusivamente en la
representación de diagramas de Bode para sistema de primer orden o
compuestos por subsistemas de primer orden (polos reales). En el próximo
capítulo se abordará el caso de funciones de transferencia con polos
complejos.
Diagrama de Bode
Como se ha mencionado previamente, el diagrama de Bode utiliza una escala
logarítmica para la frecuencia y otra para la magnitud, esta última
habitualmente expresada en dB (logaritmo decimal de la magnitud
multiplicado por 20). Estas decisiones no son por supuesto arbitrarias y se
deben a ciertas ventajas que conllevan:
•
La escala logarítmica en frecuencias permite observar con el
mismo nivel de detalle lo que ocurre a frecuencias muy bajas o muy
altas a diferencia de lo que ocurre con una escala lineal.
•
Algo similar ocurre con la escala logarítmica de magnitud ya que
permite representar con igual nivel de detalle las zonas de alta y
baja ganancia.
•
Como se verá más adelante, puede trazarse con relativa sencillez
una representación aproximada de este diagrama mediante tramos
rectos denominada diagrama asintótico de Bode.
•
La ventaja más importante es la relacionada con la propiedad de
que el logaritmo de un producto de varios factores es la suma de los
logaritmos de cada uno de los factores. Para comprobar la utilidad
de esta propiedad al representar un diagrama de Bode, se considera
el caso de una función de transferencia G(s) que se puede expresar
como producto de varias funciones de transferencia más simples
G1(s), G2(s), …, Gn(s):
G(s) = G1 (s)G2 (s)Gn (s)
La respuesta en frecuencia será:
G1 ( jω ) = G1 ( jω) G2 ( jω )  Gn ( jω ) e j (∠G1 ( jω ) + ∠G2 ( jω ) ++ ∠Gn ( jω ) )
G( jω) = G1 ( jω) G2 ( jω)  Gn ( jω)
∠G( jω ) = ∠G1 ( jω ) + ∠G2 ( jω ) +  + ∠Gn ( jω )
Si se calcula en dB la magnitud, resulta:
G( jω ) dB = 20 log G( jω ) = 20 log(G1 ( jω ) G2 ( jω )  Gn ( jω ) ) =
= 20 log G1 ( jω ) + 20 log G2 ( jω ) +  + 20 log Gn ( jω )
Es decir:
5–10
G( jω) dB = G1 ( jω) dB + G2 ( jω) dB +  + Gn ( jω) dB
∠G( jω ) = ∠G1 ( jω ) + ∠G2 ( jω ) +  + ∠Gn ( jω )
Estas dos últimas expresiones demuestran que se puede representar
el diagrama de Bode de cualquier función de transferencia
descomponiéndola en producto de términos más simples (funciones
de trasferencias de primer y segundo orden) y sumando los
diagramas de Bode de magnitud y de fase de cada uno de esos
términos. En la siguiente sección se representarán los diagramas de
Bode de todos los términos, en este caso de primer orden, que
pueden aparecer en la factorización de cualquier función de
transferencia. La suma de la magnitud y de la fase de la respuesta
en frecuencia de estos términos se puede realizar manualmente
usando diagramas asintóticos de Bode (aproximación por tramos
rectos).
5.4
Diagrama de Bode de un sistema de
primer orden sin cero
Considérese un sistema de primer orden sin cero:
G(s) =
1
1+ τ s
con τ > 0 (estable) y con ganancia estática igual a 1. La respuesta en
frecuencia de este sistema es:
G( jω ) =
1
,
1+ jωτ
1
G( jω ) =
1+ (ωτ )2
∠G( jω ) = − arctg(ωτ )
,
•
Para frecuencias muy bajas ( ω → 0 ): G( jω ) → 1 , ∠G( jω ) → 0 .
•
Para
frecuencias
∠G( jω ) → −90º .
muy
altas
( ω → ∞ ),
G( jω ) → 0 ,
La ganancia en decibelios se calcula como:
G( jω ) dB = 20 log10 G( jω )
Para el sistema de primer orden sin cero:
G( jω ) dB = 20 log10
1
1+ (ωτ )
2
= −10 log10 (1+ (ωτ )2 )
Una de las ventajas del diagrama de Bode es que, para funciones de
transferencia racionales, puede trazarse fácilmente a partir de las asíntotas.
En este caso, para frecuencias bajas ( ω << 1 τ ) se tienen las asíntotas:
G( jω) dB = 0,
y para frecuencias altas ( ω >> 1 τ ):
5–11
∠G( jω) = 0
G( jω ) dB = −10 log10 (1+ (ωτ )2 ) ≈ −20 log10 (ωτ )
∠G( jω ) = −90º
El diagrama de Bode de esta respuesta en frecuencia se muestra en la figura
5.8, con frecuencias normalizadas de forma que ω = 1 se corresponde con
1τ.
Una década de frecuencias es la distancia que hay entre dos frecuencias
relacionada por un factor de 10. Por otra parte, entre dos frecuencias
cualesquiera ω 1 y ω 2 hay log10 (ω 2 ω 1 ) décadas. En este caso, la pendiente
del diagrama de amplitud para frecuencias altas es, por lo tanto, -20
dB/década.
La fase tiene asíntotas en 0º para frecuencias pequeñas y −90º para
frecuencias muy altas. En la zona alrededor de ω = 1 τ hay varias
posibilidades. Puede emplearse una aproximación consistente en una unión
vertical entre las dos asíntotas horizontales en ω = 1 τ . Una aproximación
más precisa (como la de la figura 5.8) se consigue uniendo, mediante una
recta de −45º/década, las dos asíntotas horizontales desde ω = 1 (10τ ) hasta
ω = 10 τ . En cualquiera de los dos casos, hay que tener presente que estas
rectas no dejan de ser aproximaciones de la curva real.
Frecuencia de corte y rapidez
Se llama pulsación de corte ω c de un sistema dinámico con respuesta en
frecuencia tipo paso bajo, como la de la figura 5.8, a la pulsación para la que
la amplitud, con respecto a la ganancia estática, se ve reducida en 2 . Para
el sistema de primer orden sin cero y K = 1:
G( jω ) =
1
1+ (ωτ )
2
1
2
=
ωc =
1
τ
Nótese que para esta pulsación G( jω ) dB ≈ −3dB . Se llama ancho de banda
de un sistema dinámico al intervalo de frecuencias que el sistema deja pasar.
Son aquellas frecuencias para las que la ganancia es mayor de −3dB (con
respecto a la ganancia estática). En sistemas de primer orden sin cero el
ancho de banda va desde 0 a la frecuencia de corte. Nótese también que,
usando como parámetro la pulsación de corte, la respuesta en frecuencia
puede expresarse como:
G( jω ) =
1
1+ j ω ω c
En general, la rapidez de la respuesta de un sistema de primer orden sin cero
puede ser interpretada en función de su frecuencia de corte. A mayor
frecuencia de corte más rápida es la respuesta del sistema. La explicación es
inmediata, ya que a mayor ω c = 1 τ (mayor ancho de banda), menor
constante de tiempo τ y por lo tanto mayor rapidez de la respuesta temporal.
5–12
Figura 5.8. Diagrama de Bode de un sistema de primer orden sin cero. Las escala de
frecuencias está normalizada de forma que ω = 1 corresponde a 1/τ .
Ejemplo 5.4: Considérese un sistema de primer orden sin cero:
G( s) =
20
2
,
=
s + 10 1 + s 10
que tiene una ganancia estática 2 y una constante de tiempo 0.1. Su pulsación
de corte es 10. Para ω = 0,2 (ω ω c = 0,02) , del diagrama asintótico se
obtiene
que
G( j 0,2) ≈ 2e j 0º ,
muy
5–13
próximo
al
valor
real
G( j 0,2) = 1,9996e− j1,14º . Para ω = 1 (ω ω c = 0,1) , del diagrama asintótico
se
deduce
que
G ( j1) ≈ 2e j 0º ,
G( j1) = 1,9900e− j 5,71º . Para
la
aproximación
es
peor,
ω = 100 (ω ω c = 10) , del diagrama asintótico
se obtiene que G( j100) ≈ 20 log10 2 − 20 log10 10 = −13,98dB , muy próximo
al valor real G( j100) = −14,02dB. El error de fase en este punto es también
alrededor de 6º.
5.5 Diagramas de Bode de otros sistemas
sencillos
En la siguiente sección se estudiará el trazado asintótico de diagramas de
Bode con polos reales. Está basado en la suma de diagramas de Bode de
sistemas elementales. La figura 5.9 muestra, a modo de resumen, una serie de
diagramas de Bode (asintóticos, exactos en algunos casos) de estos sistemas
elementales. Las consideraciones fundamentales sobre los diagramas de Bode
de estos sistemas elementales son las siguientes:
•
Un sistema estático G(s) = K tiene una ganancia independiente de
la frecuencia (20log10|K| dB) y una fase siempre cero o ± 180º si K <
0.
Un sistema G(s) = 1 s , G( jω ) = 1 jω , tiene G( jω ) = 1 ω
•
(−20log10ω dB) y una fase constante –90º. El diagrama de Bode de
amplitud es una recta de pendiente –20 dB/década que pasa por 0 dB
para ω = 1.
Generalizando, un sistema G(s) = 1 s h , G( jω ) = 1 ( jω )h , tiene
•
•
•
•
G( jω ) = 1 ω h (−20hlog10ω dB) y una fase constante −90º ×h . En
el diagrama asintótico de amplitud es una recta de pendiente
−20 × h dB/década que pasa por 0dB cuando ω = 1.
Si G(s) = s h = 1 s − h , las expresiones anteriores son válidas haciendo
h < 0. En este caso, el diagrama de Bode asintótico de amplitud es
una recta de pendiente + 20 × h dB/década que pasa por 0dB cuando
ω = 1, mientras que la fase es constante e igual a + 90º×h .
Un sistema G(s) = 1+ sτ , G( jω ) = 1+ jωτ , sin polos, tiene una
respuesta en frecuencia similar a la del sistema de primer orden
normalizado 1 (1 + sτ) , como puede comprobarse fácilmente usando
las propiedades de los complejos. La ganancia y fase de ambos son
de signo contrario.
Un sistema G(s) = 1 (1− sτ ) (sistema inestable), tiene una ganancia
igual a la de 1 (1+ sτ ) y su fase es de signo contrario.
•
El sistema G(s) = 1− sτ , tiene una ganancia igual a la de (1+ sτ ) , y
su fase es de signo contrario.
5–14
Ganancia
Ganancia
ω
0 dB
20log10 K dB
−20dB/déc
ω
Fase
ω
ω
0º
1/τ
0º
Fase
10/τ
0,1/ τ
−90º
G(s) = K , K > 0
G ( s ) =1 (1+ sτ) , τ > 0
Gan ancia
Ganancia
0 dB
ω= 1
+20dB/déc
ω
−20hdB/déc
0 dB
ω
1/τ
ω
Fase
+90º
−90hº
Fase
G ( s ) =1+ sτ
G(s) = 1 s h
Ganancia
Ganancia
0 dB
1/τ
ω
0 dB
+20dB/déc
−20dB/déc
ω
Fase
ω
0º
1/τ
+90º
10/τ
0,1/ τ
Fase
−90º
0º
ω
0,1/ τ
G ( s ) =1− sτ
10/τ
G( s) = 1 (1− sτ)
Figura 5.9. Diagramas asintóticos de Bode de sistemas elementales.
5.6 Trazado de diagramas asintóticos de
Bode de sistemas con polos reales
En la actualidad existen programas de ordenador que permiten dibujar
fácilmente la respuesta en frecuencia de un sistema, por complicado que éste
sea. No ha perdido interés, sin embargo, el trazado de bocetos asintóticos de
diagramas de Bode. No sólo por la rapidez con que pueden dibujarse con
cierta experiencia, sino por la intuición que aporta el conocer el efecto de un
polo o un cero. Como se mencionó previamente, la idea fundamental es
suponer que el sistema es una conexión serie o producto de sistemas
elementales, ya que:
G = ∏ Gi
i
→
G dB = ∑ Gi dB , ∠G = ∑ ∠Gi
i
i
Por lo tanto, puede comenzarse por la factorización de la función de
transferencia en un producto de funciones de primer orden (funciones de
5–15
transferencia con polos reales), identificar las gráficas correspondientes a
cada una de ellas en la tabla de la figura 5.9 y, por último, hacer la suma de
las ganancias (en dB) y de las fases. Existen varios procedimientos para
sumar los gráficos de ganancia y fase. En el ejemplo 5.5 se ilustra uno de
esos procedimientos basado, en este caso, en la identificación de las
pulsaciones donde cambia la pendiente en cada gráfico y la acumulación de
pendientes
Ejemplo 5.5 (Trazado de diagramas asintóticos de Bode). Supóngase un
sistema con función de transferencia (polos reales):
G( s ) =
100(1 + s 1)
1
1
= 100 ×
× (1 + s 1) ×
(1 + s 0,05) (1 + s 20)
(1 + s 0,05)
(1 + s 20)
Como se observa, el primer paso dado consiste en factorizar la función de
transferencia de tal forma que todos los términos que aparezcan sean
elementales (términos en la tabla de la figura 5.9).
En este caso, el sistema tiene ganancia estática 100 y tres pulsaciones donde
cambia la pendiente del gráfico de ganancia: 0,05, 1 y 20. Los cambios de
pendiente en el gráfico de fase serán en pulsaciones correspondientes a una
décima parte y diez veces las pulsaciones anteriores, es decir: 0,005, 0,5, 0,1,
10, 2 y 200.
Estas pulsaciones se ordenan de menor a mayor en dos tablas, una para el
gráfico de ganancia (tabla 5.1) y otra para el gráfico de fase (tabla 5.2), que
servirán para determinar las pendientes en cada tramo. La segunda columna
de estas tablas contiene los cambios de pendiente que se producen en cada
pulsación, según el diagrama de Bode asintótico del término elemental
asociado a esa pulsación. En la tercera columna se van acumulando los
cambios de pendiente para determinar las pendientes finales de cada tramo.
ω
Δp
(dB/dec)
pt
(dB/dec)
0
0
0
0,05
-20
-20
1
+20
0
20
-20
-20
Tabla 5.1: Incrementos de pendiente y pendientes finales para el diagrama de Bode
asintótico de ganancia.
5–16
ω
Δp (º/dec)
pt (º/dec)
0
0
0
0,005
-45
-45
0,1
+45
0
0,5
+45
+45
2
-45
0
10
-45
-45
200
+45
0
Tabla 5.2: Incrementos de pendiente y pendientes finales para el diagrama de Bode
asintótico de fase.
Para poder dibujar ambos gráficos, se requiere calcular la ordenada absoluta
en algún punto. En el caso del gráfico de ganancia, es suficiente con la
ganancia estática 20log10(100) = 40dB. Si la función de transferencia
contiene ceros nulos o polos nulos (términos s o 1/s), el gráfico empezará con
pendiente no nula, ya sea positiva (ceros nulos) o negativa (polos nulos). En
este caso la ganancia estática en dB no es finita y para fijar el gráfico de
ganancia verticalmente hay que asignar un valor de K en dB a ω = 1 sobre la
pendiente inicial (este punto no pertenecerá al gráfico si hay un cambio de
pendiente antes de ω = 1). A partir de este punto inicial es sencillo calcular
cualquier punto del gráfico mediante consideraciones geométricas.
Para fijar verticalmente el gráfico de fase es suficiente con calcular las fases
inicial o final acumulando los valores iniciales o finales de todos los términos
elementales que aparecen en la función de transferencia. En este ejemplo, la
fase inicial valdría 0º y la fase final sería -90º.
Con esta información ya es posible dibujar el diagrama asintótico de Bode,
tanto el gráfico de ganancia como el de fase, sin más que trasladar las
pendientes finales de las tablas a cada tramo del gráfico y fijar las curvas
verticalmente con la información obtenida. Los gráficos de ganancia y fase
finales se muestran en las figuras 5.10 y 5.11. En estas mismas figuras se han
dibujado el diagrama de ganancia real. Nótese cómo las mayores diferencias
están alrededor de las frecuencias donde cambia la pendiente.
5–17
Figura 5.10. Trazado asintótico de diagramas de Bode: Ganancia
Figura 5.11. Trazado asintótico de diagramas de Bode: Fase.
5–18