1 Trigonometr雲a.

Fundamentos Matem¶
aticos de la Ingenier¶³a. (Tema 5) Hoja
1
Escuela T¶
ecnica Superior de Ingenier¶³a Civil e Industrial (Esp. en Hidrolog¶³a)
Fundamentos Matem¶
aticos de la Ingenier¶³a.
Tema 5: Geometr¶³a del plano y del espacio.
1
Curso 2007-08
Trigonometr¶³a.
1.1
¶
Angulos
y razones
Un a¶ngulo viene determinado por dos semirrectas, llamadas lados, con un mismo origen llamado v¶ertice.
Medida de a
¶ngulos.
En el sistema sexagesimal se toma como unidad el ¶angulo recto. Un ¶angulo recto se divide en 90 partes
llamadas grados sexagesimales.
En el sistema circular la unidad de medida es el radi¶
an. Un ¶angulo mide un radi¶an cuando la longitud del
arco es igual al radio.
360o = 2¼ radianes
Si la medida de un ¶angulo es de g grados sexagesimales y r en radianes, se veri¯ca:
r
g
=
180
¼
Razones trigonom¶
etricas de un a
¶ngulo agudo.
longitud del cateto opuesto a
longitud de la hipotenusa
®
cos ® = longitud del cateto contiguo a
longitud de la hipotenusa
®
sen ® =
sen ®
longitud del cateto opuesto a ®
tg ® = longitud del cateto contiguo a ® =
cos ®
Adem¶as se de¯nen las razones secante (sec), cosecante (cosec) y cotangente (ctg) de la forma:
sec® =
1
cos®
1
sen®
1
ctg® =
tg®
cosec® =
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2
Razones de los a
¶ngulos de 0o ; 30o ; 45o ; 60o y 90o .
seno
coseno
tangente
0o
0
1
0
30o
1
p2
3
p2
3
3
o
45
p
2
p2
2
2
1
o
60
p
3
2
1
p2
3
90o
1
0
no de¯nida
Relaci¶
on fundamental de la trigonometr¶³a.
sen 2 ® + cos2 ® = 1
Como se puede observar esta relaci¶on es consecuencia inmediata del Teorema de Pit¶
agoras
h 2 = C 2 + c2 ;
es decir, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Ejercicios
1. Calcula la altura que alcanza una escalera de 6m de longitud cuando descansa sobre una pared y forma
un ¶angulo de 60o con el suelo.
Soluci¶on: x = 6sen60o .
2. Se quiere medir la altura de una estatua situada sobre un pedestal. Desde un punto que se encuentra a
20m del pedestal, ¶este se observa bajo un ¶angulo de 12o y el extremo superior de la estatua bajo un ¶angulo
de 28o . >Qu¶e altura tiene la estatua?
Soluci¶on: y = 20(tg28o ¡ tg12o )
3. Calcula la altura de un edi¯cio sabiendo que, desde cierto punto, la c¶
uspide del edi¯cio forma un ¶angulo
de 30o con la horizontal y cuando nos aproximamos 70m el a¶ngulo es de 60o .
70tg60o tg30o
Soluci¶on: y =
.
tg60o ¡ tg30o
Relaciones entre las razones de a
¶ngulos distintos.
Complementarios
cos(90o ¡ ®) = sen ®
sen (90o ¡ ®) = cos ®
tg (90o ¡ ®) = ctg®
Suplementarios
cos(180o ¡ ®) = ¡ cos ®
sen (180o ¡ ®) = sen ®
tg (180o ¡ ®) = ¡tg ®
Di¯eren en 180o
cos(180o + ®) = ¡ cos ®
sen (180o + ®) = ¡sen ®
tg (180o + ®) = tg ®
Opuestos
cos(¡®) = cos ®
sen (¡®) = ¡sen ®
tg (¡®) = ¡tg ®
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3
F¶
ormulas de adici¶
on.
Razones de la suma
sen (® + ¯) = sen ® cos ¯ + cos ®sen ¯
cos(® + ¯) = cos ® cos ¯ ¡ sen ®sen ¯
tg ® + tg ¯
tg (® + ¯) =
1 ¡ tg ®tg ¯
Razones de la diferencia
sen (® ¡ ¯) = sen ® cos ¯ ¡ cos ®sen ¯
cos(® ¡ ¯) = cos ® cos ¯ + sen ®sen ¯
tg ® ¡ tg ¯
tg (® ¡ ¯) =
1 + tg ®tg ¯
F¶
ormulas del ¶
angulo doble y mitad.
sen 2® = 2sen ® cos ®
cos 2® = cos2 ® ¡ sen 2 ®
2tg ®
tg 2® =
1 ¡ tg 2 ®
1 ¡ cos 2®
2
1 + cos 2®
cos2 ® =
2
1 ¡ cos 2®
tg 2 ® =
1 + cos 2®
sen 2 ® =
F¶
ormulas de transformaci¶
on en producto.
®+¯
®¡¯
cos
2
2
®+¯
®¡¯
cos ® + cos ¯ = 2 cos
cos
2
2
®+¯
®¡¯
sen ® ¡ sen ¯ = 2 cos
sen
2
2
®+¯
®¡¯
cos ® ¡ cos ¯ = ¡2sen
sen
2
2
sen ® + sen ¯ = 2sen
Ejercicios
1. Resuelve la ecuaci¶on sen 2x = sen x.
Soluci¶on: 2senxcosx = senx, senx(2cosx ¡ 1) = 0.
Por tanto, senx = 0 o 2cosx ¡ 1 = 0, es decir cosx = 12 . Luego las soluciones son: k¼,
¼
3
+ 2k¼ y ¡ ¼3 + 2k¼.
2. Resuelve la ecuaci¶on sen x + cos x = 1.
p
p
Soluci¶on: senx + 1 ¡ sen2 x = 1, por tanto 1 ¡ sen2 x = 1 ¡ senx, y elevando al cuadrado obtenemos:
1 ¡ sen2 x = 1 + sen2 x ¡ 2senx
2sen2 x ¡ senx = 0; 2senx(senx ¡ 1) = 0. Por tanto senx = 0 o senx = 1, es decir, x = k¼ y x =
¼
2
+ 2k¼
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1.2
4
Resoluci¶
on de tri¶
angulos
Sea ABC un tri¶angulo, donde denotamos por A, B, C los ¶angulos y por a, b, c, los lados enfrentados a los
a¶ngulos A, B, C, respectivamente.
Se veri¯ca:
A + B + C = 180o = ¼ radianes
Teorema del seno:
a
b
c
=
=
= 2R
sen A
sen B
sen C
siendo R el radio de la circunferencia circunscrita al tri¶angulo.
Teorema del coseno:
a2 = b2 + c2 ¡ 2bc cos A
b2 = a2 + c2 ¡ 2ac cos B
c2 = a2 + b2 ¡ 2ab cos C
¶
Area
del tri¶
angulo:
1
absen C
2
1
S = acsen B
2
1
S = bcsen A
2
S=
Dado p =
a+b+c
,
2
S=
p
p(p ¡ a)(p ¡ b)(p ¡ c) (F¶
ormula de Her¶
on)
Ejercicios
1. Un barco que se encuentra frente a un golfo es observado desde los dos cabos que lo forman y que distan
10km. Desde cada cabo se ve el barco con ¶angulos de 28o y 32o . Calcula la menor distancia a que se
encuentra el barco de la costa.
sen120o
sen28o
Soluci¶on:
=
10
a
2. Desde un aeropuerto C se observan dos aviones A y B bajo un ¶angulo de 38o . Si los aviones distan 5 y 8
km del aeropuerto, calcula la distancia que separa a los aviones.
Soluci¶on: a2 = 82 + 52 ¡ 2 £ 8 £ 5cos38o
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2
5
El plano y el espacio eucl¶³deos. Operaciones
2.1
Introducci¶
on
R2 = f(x; y) =x; y 2 Rg ; R3 = f(x; y; z) =x; y; z 2 Rg
Es usual representar, por comodidad, a los elementos de estos conjuntos por u, entendi¶endose que tienen
dos o tres coordenadas seg¶
un trabajemos en R2 o R3 y se les denomina vectores. En estos conjuntos se de¯nen
dos operaciones: una interna llamada suma y una externa llamada producto por un escalar.
Suma
u+v
u
2.2
v
(x1 ; y1 ) + (x2 ; y2 ) = (x1 + x2 ; y1 + y2 ) y (x1 ; y1 ; z1 ) + (x2 ; y2 ; z2 ) = (x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 )
Ejemplos:
² (1; 2) + (¡4; 5) = (1 + [¡4]; 2 + 5) = (¡3; 7)
1
5
1
² (1; 2; ¡3) + (4; ; 2:5) = (1 + 4; 2 + ; ¡3 + 2:5) = (5; ; ¡0:5)
2
2
2
Esta operaci¶on veri¯ca las propiedades usuales de una suma: sean u; v; w vectores de R2 (R3 ).
1. Asociativa: u + (v + w) = (u + v) + w
2. Conmutativa: u + v = v + u
3. Elemento neutro: u + 0 = u,
4. Opuesto: u + (¡u) = 0,
2.3
0 = (0; 0) o¶
0 = (0; 0; 0)
¡u = (¡x; ¡y) ¶o ¡u = (¡x; ¡y; ¡z)
Producto por un escalar
¸(x; y) = (¸x; ¸y) y ¸(x; y; z) = (¸x; ¸y; ¸z) donde ¸ 2 R.
Esta operaci¶on est¶a relacionada con el paralelismo de vectores, de forma que dos vectores u; v son paralelos si
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6
y s¶olo si existe un n¶
umero real ® tal que u = ® v y se escribe u k v. Una aplicaci¶on geom¶etrica de este u
¶ ltimo
hecho son las ecuaciones vectoriales y param¶etricas de las rectas, tanto en el plano como en el espacio.
r
OP0=(x0,y0)
P0
OP=(x,y)
v=(v1,v2)
P(x,y)
O v
(a) En R2 , la ecuaci¶on de la recta que pasa por el punto P0 (x0 ; y0 ) y que tiene como vector director a
v = (v1 ; v2 ), se obtiene al tener en cuenta que dado un punto cualquiera P (x; y) de la recta debe ocurrir
que P0 P k v y este hecho caracteriza a todos los puntos de la recta. Por lo tanto P0 P = ¸ v. Recordar que
las coordendas del vector que une dos puntos se calculan restando a las coordenadas del punto extremo
las del punto origen. Luego:
(x ¡ x0 ; y ¡ y0 ) = ¸ (v1 ; v2 ) , (x; y) = (x0 ; y0 ) + ¸ (v1 ; v2 )
½
x = x0 + ¸ v1
(Ec. Param¶etricas)
y = y0 + ¸ v2
y ¡ y0
x ¡ x0
=
v1
v2
y ¡ y0 =
v2
(x ¡ x0 )
v1
(Ec. vectorial)
(Ecuaci¶on continua)
( Ecuaci¶on punto-pendiente)
v2
recibe el nombre de pendiente y coincide con la tangente del a¶ngulo que forma la recta
v1
con el eje OX. En el caso de las rectas paralelas al eje OX, m = 0. Para las rectas paralelas al eje OY ,
m = 1.
el cociente m =
y = mx + n
ax + by + c = 0
(Forma expl¶³cita)
(Forma general o impl¶³cita:)
n=
v2
x 0 + y0
v1
b = ¡v1 ; a = v2 ; c = ¡v2 x0 + v1 y0
(b) An¶alogamente, en R3 , la ecuaci¶on de la recta que pasa por el punto P0 (x0 ; y0 ; z0 ) y que tiene como vector
director a v = (v1 ; v2 ; v3 ), ser¶a :
(x ¡ x0 ; y ¡ y0 ; z ¡ z0 ) = ¸ (v1 ; v2 ; v3 ) , (x; y; z) = (x0 ; y0 ; z0 ) + ¸ (v1 ; v2 ; v3 )
8
< x = x0 + ¸ v1
y = y0 + ¸ v2
(Ec. Param¶etricas)
:
z = z0 + ¸ v3
x ¡ x0
y ¡ y0
z ¡ z0
=
=
v1
v2
v3
½
ax + by + cz + d = 0
a0 x + b0 y + b0 z + d0 = 0
(Ecuaciones continuas)
(Ecuaciones generales)
(Ec. vectorial)
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7
Ejemplos:
2
2 2
2
(1; ¡3) = ( 1; [¡3]) = ( ; ¡2)
3
3 3
3
p
p
p
p
p
p
² 5 (4; ¡1; 0) = ( 5 4; 5 [¡1]; 5 0) = (4 5; ¡ 5; 0)
²
² Hallar la recta que pasa por el punto P0 (1; 1) y tiene como vector director a v = (¡2; 3).
(x ¡ 1; y ¡ 1) = ¸ (¡2; 3) , (x; y) = (1; 1) + ¸ (¡2; 3)
½
x=1¡2¸
(Ec. Param¶etricas)
y =1+3¸
(Ec. vectorial)
² Hallar la recta que pasa por los puntos P0 (1; ¡2; 0) y P1 (2; 3; ¡1).
En primer lugar hemos de averiguar el vector director de la recta, pero es obvio que debe ser el que une
los dos puntos dados, es decir v = P0 P1 = (1; 5; ¡1). A partir de aqu¶³ la cosa es sencilla
(x ¡ 1; y ¡ (¡2); z ¡ 0) = ¸ (1; 5; ¡1) , (x; y; z) = (1; ¡2; 0) + ¸ (1; 5; ¡1)
8
< x=1+¸
y = ¡2 + 5 ¸
(Ec. Param¶etricas)
:
z = ¡¸
(Ec. vectorial)
Las propiedades m¶as importantes de esta operaci¶on son: sean u; v vectores de R2 (R3 ), y ¸; ¹ 2 R.
1. ¸(u + v) = ¸u + ¸v
2. (¸ + ¹)u = ¸u + ¹u
3. ¸(¹u) = (¸¹)u
4. 1u = u
5. 0u = 0
6. ¸0 = 0
3
M¶
odulo de un vector
Se de¯ne el m¶
odulo de un vector como
p
p
juj = x2 + y 2 (u = (x; y) 2 R2 ) ; juj = x2 + y 2 + z 2 (u = (x; y; z) 2 R3 )
Este n¶
umero mide el tama~
no del vector.
y
|u|
x
Ejemplos:
² j(2; 3)j =
p
22 + 32 =
p
p
4 + 9 = 13
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1
² j(¡1; ; 4)j =
2
s
(¡1)2 +
8
r
p
p
µ ¶2
1
1
4 + 1 + 64
69
+ 42 = 1 + + 16 =
=
2
4
2
2
Un vector se dice unitario si su m¶odulo es 1. Se denominan vectores unitarios can¶
onicos a los siguientes:
i = (1; 0);
(en R2 )
j = (0; 1)
i = (1; 0; 0); j = (0; 1; 0); k = (0; 0; 1) (en R3 )
Todo vector de R2 o R3 , se expresa como combinaci¶on lineal de los correspondientes vectores can¶onicos
u = (x; y) = x i + y j
4
;
u = (x; y; z) = x i + y j + z k
Producto escalar
Dados dos vectores no nulos u y v, se de¯ne el producto escalar de estos como el n¶
umero real:
u:v = juj:jvj:cos ®
siendo ® el ¶angulo que forman dichos vectores. Si uno de los vectores es nulo, el producto escalar es cero. El
producto escalar tambi¶en dar¶a cero cuando los vectores sean perpendiculares, ya que en dicho caso el ¶angulo
formado por estos es de 90± y cos(90± ) = 0.
El producto escalar de dos vectores es igual al m¶odulo de uno de ellos por la proyecci¶on del otro sobre ¶el.
En t¶erminos de coordenadas el producto escalar se expresa como:
u:v = x1 :x2 + y1 :y2
u:v = x1 :x2 + y1 :y2 + z1 :z2
(u = (x1 ; y1 ) ; v = (x2 ; y2 ) 2 R2 )
(u = (x1 ; y1 ; z1 ) ; v = (x2 ; y2 ; z2 ) 2 R3 )
Este u
¶ltimo hecho nos permite hallar la ecuaci¶on de un plano que pasa por un punto dado P0 (x0 ; y0 ; z0 ) y
tiene como vector perpendicular, es decir, vector director a v = (v1 ; v2 ; v3 ).
v
v=(v1,v2,v3)
OP0=(x0,y0,z0)
OP=(x,y,z)
P0
P
P(x,y,z)
O
N¶otese que si P (x; y; z) es cualquier punto del plano mencionado, ha de ocurrir que los vectores P0 P y v
sean perpendiculares, y adem¶as esta cuesti¶on caracteriza a todos los puntos de ese plano. Por tanto:
P0 P ? v , P0 P ¢ v = 0 , v1 (x ¡ x0 ) + v2 (y ¡ y0 ) + v3 (z ¡ z0 ) = 0
lleg¶andose a la ecuaci¶on general del plano
Ax + By + Cz + D = 0
(A = v1 ; B = v2 ; C = v3 ; D = ¡[v1 x0 + v2 y0 + v3 z0 ])
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9
El plano puede ser representado, al igual que la recta, en forma vectorial y param¶etrica. Para ello, sea
P0 (x0 ; y0 ; z0 ) un punto del plano, u = (u1 ; u2 ; u3 ) y w = (w1 ; w2 ; w3 ) dos vectores del mismo y P (x; y; z) un
punto arbitrario de ¶este. Entonces,
(x¡x0 ; y¡y0 ; z¡z0 ) = ¸ (u1 ; u2 ; u3 )+¹ (w1 ; w2 ; w3 ) , (x; y; z) = (x0 ; y0 ; z0 )+¸ (u1 ; u2 ; u3 )+¹ (w1 ; w2 ; w3 )
8
< x = x0 + ¸ u1 + ¹ w1
y = y0 + ¸ u2 + ¹ w2
(Ec. Param¶etricas)
:
z = z0 + ¸ u 3 + ¹ w 3
4.1
(Ec. vectorial)
Propiedades
Sean u; v; w vectores en el plano o en el espacio y ¸ n¶
umero real.
1. u ¢ v = v ¢ u
2. u ¢ (v + w) = u ¢ v + u ¢ w
3. ¸ (u ¢ v) = (¸ u) ¢ v = u ¢ (¸ v)
4. 0 ¢ u = 0
Es f¶acil comprobar que el m¶odulo de un vector puede escribirse como
que u:u = 1.
p
u:u y que un vector unitario veri¯ca
Ejemplos:
² u = (1; 3) ; v = (0; ¡2) ) u ¢ v = 1 ¢ 0 + 3 ¢ (¡2) = ¡6
1
1
1 1
2
¡13
² u = (¡1; 2; ) ; v = (4; ; ¡2) ) u ¢ v = ¡(1) ¢ 4 + 2 ¢ + ¢ (¡2) = ¡4 + ¡ 1 =
2
3
3 2
3
3
² Calcular el ¶angulo entre los vectores u = (¡4; 0; 2) y v = (2; 0; ¡1).
d
cos(u
; v) =
u¢v
¡10
d
p = ¡1 ) u
=p
; v = ¼ rad:
juj ¢ jvj
20 ¢ 5
² Hallar la ecuaci¶on del plano que pasa por el punto P0 (2; 1; 1) y tiene como vector director a v = (9; 6; 12).
(x ¡ 2; y ¡ 1; z ¡ 1) ¢ (9; 6; 12) = 0 , 9(x ¡ 2) + 6(y ¡ 1) + 12(z ¡ 1) = 0 , 9x + 6y + 12z ¡ 36 = 0
es decir
3x + 2y + 4x ¡ 12 = 0
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5
10
Producto vectorial
Dados los vectores u; v 2 R3 que forman un ¶angulo ®, se llama producto vectorial de u y v a un vector que
representamos por u £ v y queda caracterizado del siguiente modo:
v
ux v
u
vxu
M¶
odulo: ju £ vj = juj:jvj:jsen ®j
Direcci¶
on: perpendicular al plano determinado por los vectores u y v
Sentido: el de avance de un sacacorchos que gira en sentido positivo de u a v
5.1
Propiedades
Sean u; v; w vectores en el espacio y ¸ n¶
umero real.
1. u £ v = ¡(v £ u)
2. u £ (v + w) = u £ v + u £ w
3. ¸ (u £ v) = (¸ u) £ v = u £ (¸ v)
4. u £ 0 = 0 £ u = 0
5. u £ u = 0
El m¶odulo del vector u £ v es igual al ¶
area del paralelogramo que tiene por lados adyacentes a los vectores
u y v.
v
u
En t¶erminos de coordenadas, el producto vectorial se expresa como: u = (x1 ; y1 ; z1 ), v = (x2 ; y2 ; z2 )
u £ v = (y1 z2 ¡ z1 y2 ; z1 x2 ¡ x1 z2 ; x1 y2 ¡ y1 x2 )
Una regla, f¶acil de recordar, para calcular las coordenadas de u £ v es el desarrollo del siguiente pseudodeterminante
¯
¯
¯ i
j k ¯¯
¯
u £ v = ¯¯ x1 y1 z1 ¯¯ = (y1 z2 ¡ z1 y2 ) i + (z1 x2 ¡ x1 z2 ) j + (x1 y2 ¡ y1 x2 ) k
¯ x2 y2 z2 ¯
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11
Ejemplos:
² u = (1; ¡4; 1), v = (2; 3; 0)
¯
¯
¯ i j k ¯ ¯
¯ ¯ ¡4
¯
u £ v = ¯¯ 1 ¡4 1 ¯¯ = ¯¯
3
¯ 2 3 0 ¯
¯
¯
¯
¯
¯ 1 1 ¯
¯
1 ¯¯
¯
¯ j + ¯ 1
i
¡
¯
¯
¯
¯ 2
0
2 0
¯
¡4 ¯¯
k = ¡3 i + 2 j + 11 k = (¡3; 2; 11)
3 ¯
² Mostrar que el cuadril¶atero con v¶ertices en los puntos siguientes es un paralelogramo y calcular su ¶area.
A(5; 2; 0), B(2; 6; 1), C(2; 4; 7), D(5; 0; 6).
Los lados del cuadril¶atero los constituyen los cuatro vectores AB, AD, CB, y CD. Hallemos dichos
vectores
AB = (¡3; 4; 1); AD = (0; ¡2; 6); CB = (0; 2; ¡6); CD = (3; ¡4; ¡1)
es f¶acil apreciar que CD = ¡AB y que CB = ¡AD, luego los lados del cuadril¶atero son paralelos dos a
dos, es decir, es un paralelogramo. En cuanto al ¶area de ¶este, bastar¶a con calcular el m¶odulo del vector
que se obtiene al multiplicar vectorialmente dos de los vectores adyacentes que constituyen sus lados.
¯
¯
¯ i
¯
¯
¯
¯
¯
j k ¯¯ ¯¯
¯
¯ ¡3 1 ¯
¯
¯
4 1 ¯¯
¯
¯ j + ¯ ¡3 4 ¯ k = 26 i+18 j+6 k = (26; 18; 6)
AB£AD = ¯¯ ¡3 4 1 ¯¯ = ¯¯
i
¡
¯
¯
¯
¯
0 6
0 ¡2 ¯
¡2 6
¯ 0 ¡2 6 ¯
y el m¶odulo de este vector nos dar¶a el a¶rea buscada
p
p
¶
Area
= (26)2 + (18)2 + (6)2 = 1036 u:a:
² Hallar la ecuaci¶on del plano que contiene a los puntos P0 (2; 1; 1), P1 (0; 4; 1) y P2 (¡2; 1; 4).
Por lo visto hasta ahora, lo pedido ser¶³a sencillo si conoci¶esemos un vector perpendicular al plano. Este
vector puede obtenerse f¶acilmente efectuando el producto vectorial de los vectores P0 P1 y P0 P2 .
v = P0 P1 £ P0 P2 = (9; 6; 12)
por lo que el plano buscado ser¶a
9(x ¡ 2) + 6(y ¡ 1) + 12(z ¡ 1) = 0 , 3x + 2y + 4z ¡ 12 = 0
6
Producto mixto
Dados tres vectores u; v; w 2 R3 , se llama producto mixto de estos al producto escalar de u por el vector
resultante del producto vectorial de v por w, y se representa por [u; v; w].
[u; v; v] = u:(v £ w)
Es evidente que el producto mixto de tres vectores es un n¶
umero real. El valor absoluto de dicho n¶
umero
coincide con el volumen del paralelep¶³pedo que tiene por aristas adyacentes los vectores u, v y w.
w
v
u
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12
En t¶erminos de coordenadas, el producto mixto se expresa como: u = (x1 ; y1 ; z1 ), v = (x2 ; y2 ; z2 ),
w = (x3 ; y3 ; z3 )
[u; v; w] = x1 (y2 z3 ¡ z2 y3 ) + y1 (z2 x3 ¡ x2 z3 ) + z1 (x2 y3 ¡ y2 x3 )
y una forma sencilla de
¯
¯
¯
[u; v; w] = ¯¯
¯
Ejemplo:
7
calcularlo ser¶³a desarrollando el siguiente determinante
¯
x1 y1 z1 ¯¯
x2 y2 z2 ¯¯ = x1 (y2 z3 ¡ z2 y3 ) + y1 (z2 x3 ¡ x2 z3 ) + z1 (x2 y3 ¡ y2 x3 )
x3 y3 z3 ¯
² Calcular el volumen del paralelep¶³pedo que tiene a los vectores u = (3; ¡5; 1),
w = (3; 1; 1) como aristas adyacentes.
¯¯
¯¯
¯ ¯ 3 ¡5 1 ¯ ¯
¯¯
¯¯
Volumen = ju ¢ (v £ w)j = ¯¯ ¯¯ 0 2 ¡2 ¯¯ ¯¯ = j36j = 36 u:v:
¯¯ 3 1
1 ¯¯
v = (0; 2; ¡2))
y
Posiciones relativas de planos y rectas.
7.1
rectas en el plano.
Dos rectas del plano pueden cortarse, ser paralelas o ser coincidentes.
1. Si las rectas vienen dadas en forma genaral ax + by + c = 0 y a0 x + b0 y + c0 = 0
a
b
6 0 las dos rectas se cortan.
=
a0
b
a
b
a
b
c
a
b
c
² si 0 = 0 , entonces: si 0 = 0 6
= 0 son paralelas y si 0 = 0 = 0 coinciden
a
b
a
b
c
a
b
c
² si
2. Si vienen dadas en forma vectorial OX = OP + td y OX = OQ + td0
² si d 6
= kd0 , se cortan
² si d = kd0 y OP ¡ OQ 6
= k 0 d, son paralelas
² si d = kd0 = k0 (OP ¡ OQ), son la misma recta
3. Si vienen dadas en forma expl¶³cita y = mx + n e y = m0 x + n0
² si m 6
= m0 , se cortan
² si m = m0 y n 6
= n0 , son paralelas
² si m = m0 y n = n0 , coinciden
¶
Angulo
entre dos rectas: el ¶angulo que forman dos rectas r y r 0 , es el que forman sus vectores directores. Si
estos son d y d0 , el ¶angulo Á ser¶a:
d:d0
cos Á = cos(d; d0 ) =
jdjjd0 j
Cuando la inclinaci¶on de las rectas viene dada por sus pendientes m y m0 , el ¶angulo Á se determina por
tag Á = tag(® ¡ ¯) =
tag ® ¡ tag ¯
m ¡ m0
=
1 + tag ® tag ¯
1 + mm0
Fundamentos Matem¶
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13
siendo m = tag ® y m0 = tag ¯
Si las rectas son perpendiculares, no existe tag Á. En ese caso 1 + mm0 = 0 ) mm0 = ¡1, o lo que es lo
1
mismo m0 = ¡ .
m
Distancia de un punto a una recta: Dada la recta r : ax + by + c = 0 y el punto P (x0 ; y0 ), la distancia del punto
P a la recta r viene dada por
jax0 + by0 + cj
p
dist(P; r) = d(P; r) =
a2 + b2
7.2
Rectas y planos en el espacio.
Aunque no es la u
¶ nica forma de estudiar la posici¶on relativa entre planos o rectas o recta y plano, en el espacio.
Nosotros lo haremos haciendo uso del a¶algebra matricial, planteando el problema como el estudio de sistemas
de ecuaciones.
Posici¶on relativa entre dos planos.
Dos planos son paralelos si no tienen ning¶
un punto com¶
un, y secantes (o incidentes) en caso contrario. Dados
dos planos ¼1 ´ a1 x + b1 y + c1 z = d1 y ¼2 ´ a2 x + b2 y + c2 z = d2 , tenemos:
µ
¶
a1 b1 c1
- Son secantes si rango
= 2.
a2 b2 c2
µ
¶
µ
¶
a 1 b 1 c1
a1 b1 c1 d1
- Son paralelos si rango
= 1 y rango
= 2.
a 2 b 2 c2
a2 b2 c2 d2
¶
µ
a1 b1 c1 d1
= 1, se trata del mismo plano.
- En el caso de que rango
a2 b2 c2 d2
Ejemplo. Estudiar
la posici¶on¶relativa de losµplanos ¼1 ´ x ¡ 2y¶+ z = 1 y ¼2 ´ ¡2x + 4y ¡ 2z = 3.
µ
1 ¡2 1
1 ¡2 1 1
Como rango
= 1 y rango
= 2, los planos son paralelos.
¡2 4 ¡2
¡2 4 ¡2 3
Posici¶on relativa entre una recta y un plano.
Existen tres posibilidades: la recta est¶a contenida en el plano, la recta es paralela al plano o bien la recta y
el plano
½ se cortan en un punto, en cuyo caso diremos que son secantes. Dados la recta
a1 x + b1 y + c1 z = d1
r ´
y el plano ¼ ´ a3 x + b3 y + c3 z = d3 , se tiene que:
a2 x + b2 y + c2 z = d2
¯
¯
¯ a1 b1 c1 ¯
¯
¯
- Si ¯¯ a2 b2 c2 ¯¯ 6
= 0, la recta y el plano son secantes.
¯ a3 b3 c3 ¯
0
1
0
1
a1 b1 c1
a1 b1 c1 d1
- Si rango @ a2 b2 c2 A = 2 y rango @ a2 b2 c2 d2 A = 3, la recta y el plano son paralelos.
a3 b3 c3
a3 b3 c3 d3
0
1
a1 b1 c1 d1
- Si rango @ a2 b2 c2 d2 A = 2, la recta est¶a contenida en el plano.
a3 b3 c3 d3
½
2x + y + z = 1
, encontrar el valor de ® para que el plano
x + ¡2y + z = ¡1
¼ ´ ®x + 6y + 3z = 6 sea paralelo a r.
Ejemplo. Dada la recta r ´
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14
0
1
0
1
2 1
1
2 1
1 1
Necesitamos que rango @ 1 ¡2 1 A = 2 y rango @ 1 ¡2 1 ¡1 A = 3. Entonces
® 6
3
® 6
3 6
¯
¯
¯ 2 1
1 ¯¯
¯
¯ 1 ¡2 1 ¯ = ¡12 + ® + 6 + 2® ¡ 12 ¡ 3 = 3® ¡ 21 = 0 ) ® = 7
¯
¯
¯ ® 6
3 ¯
y adem¶as
¯
¯ 1
1
¯
¯ ¡2 1
¯
¯ 6
3
1
1
6
¯
¯
¯
¯=36
=0
¯
¯
Por tanto, para ® = 7 la recta y el plano son paralelos.
Posici¶on relativa entre dos rectas.
Hay tres situaciones posibles: las rectas se cortan en un punto, son paralelas o se cruzan. Si las rectas vienen
dadas por la ecuaciones:
½
½
a 1 x + b 1 y + c1 z = d 1
a3 x + b3 y + c3 z = d3
r ´
y s ´
a 2 x + b 2 y + c2 z = d 2
a4 x + b4 y + c4 z = d4
escribimos
entonces
0
a1
B a2
A=B
@ a3
a4
b1
b2
b3
b4
1
c1
c2 C
C ;
c3 A
c4
0
a1
B a2
¤
A =B
@ a3
a4
b1
b2
b3
b4
c1
c2
c3
c4
1
d1
d2 C
C
d3 A
d4
- Cuando rango(A) = rango(A¤ ) = 2, las dos rectas son la misma.
- Cuando rango(A) = 2 y rango(A¤ ) = 3, las dos rectas son paralelas.
- Cuando rango(A) = rango(A¤ ) = 3, las dos rectas son secantes.
- Cuando rango(A) = 3 y rango(A¤ ) = 4, las dos rectas se cruzan.
Nota: El caso rango(A) = 2 y rango(A¤ ) = 4, nunca puede darse.
Ejemplo. Determinar la posici¶on relativa de las rectas
½
½
x+y+z =1
ax + y + z = 1
r ´
y s ´
2x ¡ y + z = 2
x + 3y + 2z = 2
en funci¶on del par¶ametro real a.
Sean
0
1
B 2
A=B
@ a
1
1
1
1 C
C
1 A
2
¯
¯ 1
¯
¯ 2
A = ¯¯
¯ a
¯ 1
1
¡1
1
3
0
1 1
B 2 ¡1
¤
; A =B
@ a 1
1 3
¯
1
1 ¯¯
¡1 1 ¯¯
= ¡1 6
=0
1
1 ¯¯
3
2 ¯
1
1
1
2
1
1
2 C
C
1 A
2
Fundamentos Matem¶
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y por tanto rango(A) = 3. Para hallar el rango
¯
¯ 1
¯
¯ 2
¯
¯ a
¯
¯ 1
15
de A¤ :
1
¡1
1
3
1
1
1
2
1
2
1
2
¯
¯
¯
¯
¯=a¡1
¯
¯
¯
as¶³, rango(A¤ ) = 4 si a 6
= 1, mientras que cuando a = 1, rango(A¤ ) = 3.
En resumen, si a 6
= 1, las rectas se cruzan, y cuando a = 1 se cortan. Pudede comprobarse que el punto de
corte es (¡1; ¡1; 3).
8
C¶
onicas. Ecuaciones y elementos caracter¶³sticos.
Circunferencia
Una circunferencia es el conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto ¯jo llamado centro.
Elementos caracter¶³sticos:
- Centro (O): punto ¯jo.
- Radio (r): distancia de un punto cualquiera de la circunferencia al centro.
Ecuaciones: Circunferencia de centro O(x0 ; y0 ).
Ecuaci¶on reducida: (x ¡ x0 )2 + (y ¡ y0 )2 = r2 .
Ecuaci¶on general: x2 + y2 + Ax + By + C = 0, siendo A2 + B 2 ¡ 4C > 0.
Longitud y ¶area
- Longitud: 2¼r
¶
- Area:
¼r2
Elipse
Una elipse es el conjunto de puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos ¯jos, llamados
focos, es constante. (2a > 0)
B
P
a
b
A
A’
F’
c
O
F
B’
Elementos caracter¶³sticos:
- Focos (F , F 0 ): los dos puntos ¯jos. La distancia focal es 2c.
- Centro (O): Punto medio del segmento F F 0 .
- Eje focal: recta que pasa por los focos.
- Eje normal: mediatriz del segmento F F 0 .
- V¶ertices (A; A0 ; B; B 0 ): Puntos de corte de la elipse con los ejes focal y normal.
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-
16
Eje mayor: segmento AA0 de longitud 2a.
Eje menor: segmento BB 0 de longitud 2b.
Radio vectores de P : segmentos P F y P F 0 .
c
Excentricidad: e = . Se tiene que 0 · e < 1. Indica lo achatada que puede ser la
a
elipse.
Relaci¶on fundamental: a2 = b2 + c2 .
Ecuaciones: (elipses con ejes paralelos a los ejes de coordenadas)
Ecuaci¶on reducida: Elipse de centro O(x0 ; y0 )
- Eje focal paralelo a OX:
(x ¡ x0 )2
(y ¡ y0 )2
+
= 1.
a2
b2
- Eje focal paralelo a OY :
(x ¡ x0 )2
(y ¡ y0 )2
+
= 1.
b2
a2
Ecuaci¶on general: M x2 + N y2 + Ax + By + C = 0, siendo M y N del mismo signo y
jM jB 2 + jN jA2 ¡ 4M N jCj > 0.
Longitud y ¶area
r
a2 + b2
- Longitud: ¼ 2¼
2
¶
- Area:
¼ab
Hip¶
erbola
Una hip¶erbola es el conjunto de puntos del plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias
a dos puntos ¯jos, llamados focos, es constante. (2a > 0)
B
P
c
b
O
F’
A’
aA
F
B’
Elementos caracter¶³sticos:
- Focos (F; F 0 ): los dos puntos ¯jos. La distancia focal es 2c.
- Centro (O): Punto medio del segmento F F 0 .
- Eje focal: recta que pasa por los focos.
- Eje normal: mediatriz del segmento F F 0 .
- V¶ertices (A; A0 ): Puntos de corte de la hip¶erbola con el eje focal.
- Eje real: segmento AA0 . Su longitud es 2a.
- Eje imaginario: segmento BB 0 de longitud 2b, donde B y B 0 son los puntos de
corte del eje normal y la circunferencia de centro A y radio c.
- Radio vectores de P : segmentos P F y P F 0 .
c
- Excentricidad: e = . Se tiene que e > 1. Indica lo abierta o cerrada que est¶a la
a
hip¶erbola.
- As¶³ntotas: (hip¶erbola de centro O(x0 ; y0 ))
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17
b
- Eje focal paralelo a OX: y ¡ y0 = § (x ¡ x0 ).
a
b
- Eje focal paralelo a OY : x ¡ x0 = § (y ¡ y0 ).
a
Relaci¶on fundamental: c2 = a2 + b2 .
Ecuaciones: (hip¶erbolas con ejes paralelos a los ejes de coordenadas)
Ecuaci¶on reducida: Hip¶erbola de centro O(x0 ; y0 )
- Eje focal paralelo a OX:
(x ¡ x0 )2
(y ¡ y0 )2
¡
= 1.
2
a
b2
- Eje focal paralelo a OY :
(y ¡ y0 )2
(x ¡ x0 )2
¡
= 1.
a2
b2
Ecuaci¶on general: M x2 + N y2 + Ax + By + C = 0, siendo M y N de distinto signo.
Par¶
abola
Una par¶abola es el conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto ¯jo, llamado foco, y de una
recta ¯ja llamada directriz.
d
P
A
V
p
F
Elementos caracter¶³sticos:
- Foco (F ): el punto ¯jo.
- Directriz (d): recta ¯ja.
- Eje: recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.
- Par¶
ametro (p): distancia del foco a la directriz.
- V¶ertice (V ): Punto de corte de la par¶abola con el eje. Es el punto medio del
segmento AF , donde A es el punto de corte del eje y la directriz.
- Radio vector de P : segmento P F .
Ecuaciones: (par¶abolas con ejes paralelos a los ejes de coordenadas)
Ecuaci¶on reducida: Par¶abola de v¶ertice V (x0 ; y0 ) y par¶ametro p.
- Eje paralelo a OX y abierta a la derecha: (y ¡ y0 )2 = 2p(x ¡ x0 ).
- Eje paralelo a OX y abierta a la izquierda: (y ¡ y0 )2 = ¡2p(x ¡ x0 ).
- Eje paralelo a OY y abierta hacia arriba: (x ¡ x0 )2 = 2p(y ¡ y0 ).
- Eje paralelo a OY y abierta hacia abajo: (x ¡ x0 )2 = ¡2p(y ¡ y0 ).
Ecuaci¶on general:
- Eje paralelo a OX: x = Ay2 + By + C, siendo A 6
= 0.
- Eje paralelo a OY : y = Ax2 + Bx + C, siendo A 6
= 0.
9
Ejercicios
1. Resolver el tri¶angulo ABC en los siguientes supuestos:
(a) c = 25, A = 35o , B = 68o .
(b) a = 25:2, b = 37:8, c = 43:4.
(c) b = 7, c = 8, A = 30o .
(d) c = 628, b = 480 y C = 55o 100 .
Fundamentos Matem¶
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18
(e) a = 132, b = 224 y C = 28o 400 .
2. Una torre est¶a situada en un terreno llano directamente al norte del punto A y al oeste de un punto B.
La distancia entre los puntos A y B es de c metros. Si los ¶angulos de elevaci¶on del extremo superior de la
torre medidos desde A y B, son a y b respectivamente, encontrar la altura h de la torre.
3. Desde lo alto de un faro, a 175m sobre el nivel del mar, el ¶angulo de depresi¶on de un barco situado
directamente al sur, es 18o 500 . Dos minutos m¶as tarde el ¶angulo de depresi¶on es 14o 200 . Calcular la
velocidad media del barco si se observa que navega directamente hacia el oeste.
4. Encontrar la altura de un ¶arbol si el ¶angulo de elevaci¶on de su extremo superior crece desde 20o hasta 40o
cuando un observador avanza 75m. hacia el pie del ¶arbol.
5. En las orillas opuestas de un r¶³ o se sit¶
uan dos puntos A y B. En la orilla donde est¶a situado el punto A
se determina un segmento de recta AC = 275m y se miden los ¶angulos CAB = 125o 400 y ACB = 48o 500 .
Encontrar la longitud de AB.
6. Se desea calcular la altura de una torre de lanzamiento de cohetes; para ello se hacen dos observaciones
desde los puntos A y B, al oeste de la torre, obteniendo como ¶angulos de elevaci¶on 30o y 45o , respectivamente. La distancia AB=30 m. Hallar la altura de la torre.
7. Pedro y Ana han creido ver un OVNI desde dos puntos situados a 800 m, con ¶angulos de elevaci¶on 30o y
75o . Si el OVNI esta situado entre ambos, >sabr¶³ as calcular la altura a la que se encuentra?
8. Una escalera de bomberos de 10 m de longitud se ha ¯jado en un punto de la calzada. Si se apoya sobre
una de las fachadas forma un ¶angulo con el suelo de 45o y si se apoya sobre la otra fachada forma un
¶angulo de 30o . Halla la anchura de la calle. >Qu¶e altura sobre cada una de las fachadas se alcanza con
dicha escalera?
9. Halla el ¶area de un hex¶agono regular de 10cm de lado.
10. Calcular el ¶area de un oct¶ogono regular de lado 7cm.
11. La diferencia entre la longitud de una circunferencia y el per¶³metro de un hex¶agono regular inscrito es de
28m. Halla el radio de la circunferencia.
12. Calcula la longitud de un puente que se quiere construir sobre un barranco, conociendo que los ¶angulos
que forman los extremos del barranco A y B con un punto en el fondo del barranco O son ABO = 32o y
OAB = 48o y que la distancia entre A y O es de 120m.
13. Dos monta~
neros que han ascendido en ¯nes de semana sucesivos a dos picos querr¶³an saber qu¶e distancia
hay entre ellos. Para ello han medido desde la base del pico A los ¶angulos ®1 = 85o y ®2 = 30o , despu¶es
han caminando hasta la base del pico B y han medido los ¶angulos ¯1 = 40o y ¯2 = 93o . La distancia que
hay entre dichas bases es de 600m.
A
> Podr¶³as calcularla?
d
B
b2
a1
b1
a2
C
d1
D
14. Dados los vectores a = (2; 1), b = (¡3; 1) y c = (¡2; ¡2), calcular: a + b; a + c; b + c.
15. Hallar los vectores opuestos de los vectores a, b y c del ejercicio anterior.
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19
16. Con los vectores del ejercicio 1 calcular: 3a + 2b; 2a ¡ 3c; a ¡ 2b + 5c.
17. Dados los puntos A(3; 1) y B(5; 4), hallar las coordenadas del vector AB.
18. Sean CD = (2; ¡3) y C(5; 7). Calcular las coordenadas de D.
19. En el sistema de referencia R = f0; i; jg se consideran los vectores siguientes: a = (2; 3);
b = (0; ¡1); c = (5; 0); i = (1; 0); j = (0; 1). Hallar: a ¢ b; a ¢ c; i ¢ j.
20. Dado el vector a = (3; ¡1) encontrar un vector que sea perpendicular a a.
21. Hallar el m¶odulo de los siguientes vectores: a = (2; 1); b = (4; 3); c = (1; 2).
1
3
22. Comprobar si los vectores siguientes son unitarios: a = (3; 2); b = (1; 0); c = ( p ; ¡ p ).
10
10
23. El producto escalar de dos vectores es igual a 18, el m¶odulo de uno de ellos es igual a 6 y el ¶angulo que
forman es de 60± . Hallar el m¶odulo del otro.
24. Dados los vectores a = (3; 1) y b = (¡1; 2), calcular: a ¢ b y b ¢ a.
25. Dados los vectores a = (3; 1); b = (2; ¡4) y c = (5; 3), calcular: a ¢ (b + c) y a ¢ b + a ¢ c.
26. En el sistema de referencia R = f0; i; j kg se consideran los vectores siguientes: a = (2; 3; ¡1); b = (0; 1; 3);
c = (5; 0; 4). Hallar: a ¢ b; a ¢ c; b ¢ c.
3
4
27. Comprobar si los vectores siguientes son unitarios: a = (3; 2; 0); c = (0; ¡ p ; p ).
5
5
28. Dados los vectores i = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0) y k = (0; 0; 1), calcular i £ j; i £ k; j £ k; j £ i; k £ i y k £ j.
29. Hallar el ¶area del paralelogramo formado sobre los vectores a = (2; 1; 5) y b = (3; 2; 1).
30. Dado el vector a del ejercicio anterior, calcular a £ a.
31. Hallar el volumen del paralelep¶³pedo cuyas aristas son los vectores a = (2; 1; 0); j = (0; 1; 0) y b = (3; 2; 1).
32. Dados los vectores a = (2; 0; 1) y b = (0; 3; 1) comprobar si son perpendiculares. En caso negativo, cambiar
una coordenada del vector b para que lo sean.
33. Con los vectores del ejercicio anterior, comprobar que (5a) £ b = 5:(a £ b).
34. Hallar el ¶area del paralelogramo que tiene por lados los vectores a = (2; 1; 5) y b = (3; 4; 0).
35. Dados los vectores a = (2; 1; 0); b = (3; 5; 1) y c = (2; 4; 1), halla el producto mixto [a; b; c].
36. Calcula el volumen del paralelep¶³pedo que tiene por aristas los vectores: a = (3; 1; 2); b = (0; 5; 0) y
c = (¡1; 1; 0).
37. Dados los vectores u = (1; 1; 0) y v = (a; 1; ¡1), hallar a para que el a¶ngulo entre u y v sea 60± .
p
38. Sabiendo que ABCD es un cuadrado A = (2; 0; 2), B = (1; 1; 0) y C = (0; y; z), h¶allese razonadamente
las coordenadas que faltan de C.
39. Hallar las ecuaciones param¶etricas de la recta que pasa por el punto P0 (1; ¡2; 4) y tiene a v = (2; 4; ¡4)
como vector director.
40. Idem para la recta que pasa por los puntos P (¡2; 1; 0) y Q(1; 3; 5).
41. Hallar el plano que pasa por el punto P (2; 1; 2) y tiene a i como vector director.
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20
42. Idem, siendo P (3; 2; 2) y v = (2; 3 ¡ 1).
43. Hallar la ecuaci¶on del plano que pasa por los puntos P (0; 0; 0), Q(1; 2; 3) y R(¡2; 3; 3).
44. Hallar la ecuaci¶on de la recta:
(a) que pasa por (¡4; 3) y tiene pendiente 12 .
(b) que pasa por (0; 5) y tiene pendiente ¡2.
(c) que pase por los puntos (¡2; ¡3) y (4; 2).
45. Hallar la ecuaci¶on de la recta que pasa por (¡2; 3) y es perpendicular a la recta 2x ¡ 3y + 6 = 0.
46. Hallar la ecuaci¶on de la recta que pasa por (2; ¡3) y es paralela a la recta que une los puntos (4; 1) y
(¡2; 2).
47. Demostrar, aplicando el concepto de pendiente, que los puntos A(8; 6); B(4; 8) y C(2; 4) son los v¶ertices
de un tri¶angulo rect¶angulo.
48. Hallar los ¶angulos interiores del tri¶angulo cuyos v¶ertices son A(¡3; ¡2), B(2; 5) y C(4; 2).
49. Hallar la distancia desde la recta 8x + 15y ¡ 24 = 0 al punto (¡2 ¡ 3)
3
50. Hallar las ecuaciones de las rectas de pendiente ¡ que formen con los ejes coordenados un tri¶angulo de
4
¶area 24 unidades de super¯cie.
51. Sea R la resistencia el¶ectrica medida en ohmios de una pieza de alambre de cobre de di¶ametro y longitud
¯jos a una temperatura de T grados cent¶³ grados. Suponiendo que la relaci¶on entre R y T es lineal, y
sabiendo que R = 00 0170 ohmios cuando T = 0o y R = 00 0245 ohmios cuando T = 100o , obt¶engase una
ecuaci¶on que exprese R en funci¶on de T .
52. En la escala F de Fahrenheit el agua se congela a los 32o y hierve a los 212o , mientras que en la escala C
de Celsius se congela a los 0o y hierve a los 100o (por tanto 32o F = 0o C y 212o F = 100o C). Demostrar
que la relaci¶on entre las dos escalas es
9
F = C + 32:
5
>Cu¶antos grados Celsius son 68o F ? >Cu¶antos grados Fahrenheit son 70o C?
53. Una recta r pasa por A(5; ¡5; 7) y por el origen. Hallar las ecuaciones de una recta paralela a ella por el
punto P (1; 1; ¡1).
54. Estudiar la posici¶on relativa de las rectas:
8
< x = ¡2¸
r0 :
y = ¡12 + ¸
:
z = ¡5 + 4¸:
y
z+1
x¡2
r:
= =
;
1
6
2
55. Hallar las ecuaciones param¶etricas de un plano que pasa por el punto P(3,2,1) y contiene a la recta
x = y = z + 6.
56. Hallar la ecuaci¶on de un plano paralelo a ¼ : 5x ¡ y + 3z = 0 que pase por el punto Q(¡12; 1; 4).
57. Estudiar la posici¶on relativa de los planos:
¼ : x¡y+z¡1 = 0
y
¼ 0 : 2x ¡ 2y + 2z = 3:
Fundamentos Matem¶
aticos de la Ingenier¶³a. (Tema 5) Hoja
21
58. Hallar la posici¶on relativa de la recta r y el plano ¼, siendo
½
x¡y+z =1
r:
¼ : 4x ¡ 7y + 5z = 0:
x+y¡z =0
59. Determinar la posici¶on relativa del plano 3x ¡ 2y + z ¡ 3 = 0 y la recta de ecuaci¶on
x¡1
y
= = z + 3:
3
2
60. Consideremos la recta r, el plano ¼ y el punto P (1; 0; 4), siendo:
r:
x¡1
y+8
z¡2
=
=
2
3
5
¼ : 2x ¡ y + 3z = 1
(a) Halla una recta s paralela a r que pase por el punto P.
(b) Calcula el punto de intersecci¶on de r y ¼.
61. Hallar las coordenadas del centro y radio de la circunferencia x2 + y2 ¡ 3x + 5y ¡ 14 = 0.
62. Hallar la ecuaci¶on de la circunferencia de centro (5; ¡2) y que pase por el punto (¡1; 5).
63. Hallar la ecuaci¶on de una circunferencia sabiendo que uno de sus di¶ametros es el segmento que une los
puntos (5; ¡1) y (¡3; 7).
64. Hallar la ecuaci¶on de la circunferencia que pasa por los puntos (2; 3) y (¡1; 1) y cuyo centro est¶a situado
en la recta x ¡ 3y ¡ 11 = 0.
65. Hallar la ecuaci¶on de la elipse cuyos focos est¶an en el eje OX y su centro coincide con el origen de
coordenadas, sabiendo adem¶as:
(a) Sus semiejes son iguales a 5 y a 2.
(b) Su eje mayor es 10 y la distancia entre los focos es 8.
(c) La distancia focal es 6 y la excentridad es
(d) Su eje mayor es 20 y la excentricidad es
3
5
3
5
66. Hallar la ecuaci¶on de la elipse cuyos focos est¶an en el eje OY y su centro es el origen de coordenadas,
sabiendo adem¶as:
(a) Sus semiejes son iguales a 7 y a 2.
(b) Su eje mayor es 10 y la distancia focal es 8.
(c) La distancia focal es 24 y la excentricidad es
12
13
67. Veri¯car que cada una de las ecuaciones siguientes es una elipse y hallar las coordenadas del centro, los
semiejes y la excentricidad:
a) 5x2 + 9y2 ¡ 30x + 18y + 9 = 0;
b) 16x2 + 25y 2 + 32x ¡ 100y ¡ 284 = 0:
68. La ¶orbita de la Tierra es una elipse, con el Sol situado en uno de sus focos. La longitud del eje mayor es
241.428.00 kil¶ometros y la excentricidad 00 0167. Determinar las distancias de los extremos del eje mayor
al Sol (¶estas son la mayor y la menor distancia de la Tierra al Sol).
69. Hallar la ecuaci¶on de la par¶abola cuyo v¶ertice est¶a en el origen de coordenadas, sabiendo adem¶as:
Fundamentos Matem¶
aticos de la Ingenier¶³a. (Tema 5) Hoja
22
(a) La p¶arabola est¶a situada en el semiplano derecho, es sim¶etrica respecto al eje OX y su par¶ametro es
3.
(b) Est¶a situada en el semiplano izquierdo, es sim¶etrica respecto al eje OX y su par¶ametro es 0,5.
1
(c) Est¶a situada en el semiplano superior, es sim¶etrica respecto al eje OY y su par¶ametro es .
4
(d) Est¶a situada en el semiplano inferior, es sim¶etrica respecto al eje OY y su par¶ametro es 3.
70. Determinar el valor del par¶ametro y la situaci¶on de las par¶abolas siguientes con respecto a los ejes coordenados.
a) y 2 = 6x; b) x2 = 5y; c) y 2 = ¡4x; c) x2 = ¡y:
71. Una antena para televisi¶on por sat¶elite es parab¶olica y tiene su receptor a 70 cm de su v¶ertice. Encontrar
la ecuaci¶on de la secci¶on transversal de la antena (sup¶ongase que el v¶ertice es el origen).
72. Hallar la ecuaci¶on de la hip¶erbola cuyos focos est¶an situados en el eje OX y su centro coincide con el
origen de coordenadas, sabiendo adem¶as que
(a) Sus ejes son 10 y 8.
(b) La distancia focal es 10 y el eje imaginario 8.
(c) La distancia focal es 6 y la excentricidad es 32 .
73. Dadas las siguientes hip¶erbolas calcular el centro, los semiejes, los focos, la excentricidad y las ecuaciones
de las as¶³ntotas:
a) 16x2 ¡ 9y 2 = 144 b) 16x2 ¡ 9y 2 ¡ 64x ¡ 54y ¡ 161 = 0:
74. Clasi¯car las c¶onicas siguientes:
(a) x2 + y 2 ¡ 2xy + 2x ¡ 2y + 1 = 0
(b) x2 ¡ y 2 + x + 1 = 0
(c) x2 + 3x ¡ y2 + 3y = 0
(d) 2x2 ¡ 10xy + 3y 2 ¡ 6x + 2y ¡ 4 = 0
(e) x2 + 2xy + y 2 ¡ 6x + 2y + 4 = 0
(f) 3y2 ¡ xy + x ¡ 4y + 1 = 0
(g) 1=2x2 + xy + y 2 ¡ 2x ¡ 2y + 1=2 = 0
(h) 2x2 ¡ y 2 + 4y ¡ 1 = 0
(i) 2x2 ¡ y 2 + 5x ¡ 4xy ¡ 7y ¡ 3 = 0
(j) 2x2 + y 2 + 4y + 2 = 0