Segundo conjunto

3.8. Ejercicios: Respuesta en frecuencia
3.8.
65
Ejercicios: Respuesta en frecuencia
Ejercicio 1. Para el sistema con respuesta impulsiva h[n] que se muestra en la figura,
1. calcule la respuesta impulsiva h [n] y la respuesta en frecuencia H(e jω );
2. encuentre una ecuación a diferencias que relacione la salida y [n] con la entrada
x [ n ];
3. determine si es causal;
4. encuentre bajo qué condiciones es estable.
∞ < n < ∞, para el sistema discreto con respuesta
!
j2ω + 4e j4ω
π
1
+
e
,
= e j(ω 4 )
1 + 12 e j2ω
Ejercicio 2. Calcule la salida y[n],
en frecuencia
H e jω
cuando la entrada es x [n] = cos (πn/2),
∞ < n < ∞.
Ejercicio
3. Para el sistema discreto con respuesta impulsiva h [n] = ( j/2)n u [n], donde
p
1, determinar la respuesta en estado estacionario (es decir, para n grande) cuando
j=
la excitación es x [n] = cos (πn) u [n].
Ejercicio 4. Para el sistema representado por la ecuación a diferencias y [n] = ( 1)n x [n],
1. Determine y justifique si es
a) lineal;
b) causal;
c) invariante al desplazamiento;
d) BIBO estable.
2. Calcule la DTFT Y e jω de y[n] en función de la DTFT X e jω de x [n].
3. En base al resultado del inciso anterior, grafique el módulo de los espectros de x [n]
e y[n] cuando x [n] = cos πn/6.
I
Ejercicio 5. En la tabla se muestran las entradas y salidas de cinco sistemas. Determine si
cada uno de ellos puede ser lineal e invariante en el tiempo. Si la respuesta es afirmativa,
especifique si puede haber más de un SLIT con el mismo par de señales entrada/salida.
Justifique sus respuestas.
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3. Señales y sistemas discretos
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Sistema
Entrada
Salida
A
(1/2)n
(1/4)n
B
e j 8 u[n]
C
ej 8
D
e j 8 u[n]
E
ej 8
n
n
2e j 8 u[n]
n
2e j 8
n
e j 6 u[n]
n
ej 6
n
n
n
Ejercicio 6. Determine analíticamente la DTFT de cada una de las siguientes sucesiones.
Grafique el módulo y la fase de X e jω usando M ATLAB.
1. x [n] = 3 (0,9)n u[n].
2. x [n] = 2 (0,8)n+2 u[n
2].
3. x [n] = n (0,5)n u[n].
4. x [n] = (n + 2) ( 0,7)n
I
1
u[n
2].
Ejercicio 7. Usando la propiedad de desplazamiento frecuencial, muestre que la DTFT
de un pulso sinusoidal x [n] = cos (ω 0 n) R N [n] con
(
1,
N n N,
R N [n] =
0,
en caso contrario,
es
X e jω =
1
2
sen[(ω ω 0 ) (2N + 1) /2]
sen[(ω ω 0 ) /2]
+
1
2
sen[(ω + ω 0 ) (2N + 1) /2]
sen[(ω + ω 0 ) /2]
.
Ejercicio 8. Sea H e jω la respuesta en frecuencia de un sistema lineal e invariante en el
tiempo con respuesta impulsiva h[n], donde h[n] es compleja.
1. Demuestre que H e
impulsiva h [n].
jω
es la respuesta en frecuencia de un sistema con respuesta
2. Muestre que si h[n] es real, la respuesta en frecuencia es conjugada simétrica, i.e.
H e jω = H e jω .
Ejercicio 9. Si X e jω la transformada de Fourier de la sucesión x [n] (que se supone
compleja), demuestre los siguientes pares transformados:
1. x [n] , X e
jω
.
2. x [ n] , X e jω .
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3.8. Ejercicios: Respuesta en frecuencia
67
3. Re f x [n]g , Xe e jω =
˙ 21 X e jω + X e
4. j Im f x [n]g , Xo e jω =
˙ 21 X e jω
jω
, el conjugado simétrico de X e jω .
jω
X e
), el conjugado antisimétrico de X e jω .
Ejercicio 10. Sea X e jω la transformada de Fourier de la sucesión x [n]. Determine las
transformadas de ys [n], yd [n] y de ye [n] en función de X e jω , si X e jω es como se
muestra en la figura.
1. Muestreador: ys [n] =
(
x [ n ],
n par,
0,
n impar.
2. Compresor: yd [n] = x [2n] .
(
x [n/2],
3. Expansor: ye [n] =
0,
n par,
n impar.
Ejercicio 11. Para el sistema de la figura, determine la salida y[n] cuando la entrada x [n]
es un impulso unitario δ[n], y H e jω es el filtro pasabajos ideal con respuesta en frecuencia
(
1,
jω j < π/2,
jω
H e
=
0,
π/2 < jω j π.
Ejercicio 12. Si X e jω es la transformada de Fourier de la sucesión x [n], demuestre las
siguientes propiedades:
d
1. la transformada de Fourier de nx [n] es j dω
X e jω .
2. (Teorema de Parseval)
∞
∑
x [n]y [n] =
n= ∞
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1
2π
Z π
X e jω Y
e jω dω.
π
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3. Señales y sistemas discretos
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Ejercicio 13. Un sistema lineal, causal e invariante en el tiempo está caracterizado por la
ecuación a diferencias
y[n]
1
1] + y [ n
8
3
y[n
4
2] = x [ n ]
p
2x [n
1] + x [ n
2].
1. Calcule la respuesta en frecuencia H e jω .
2. Determine la salida de estado estacionario ante una entrada
x [n] = 2 cos
3π
π
n+
4
4
+ sen
π
n + 1.
4
Ejercicio 14. La respuesta impulsiva de un sistema lineal e invariante en el tiempo es
h[n] =
1
1
1
δ [ n + 1] + δ [ n ] + δ [ n
4
2
4
1].
1. Calcule y grafique la respuesta en frecuencia.
2. Calcule la respuesta de estado estacionario yee [n] ante una entrada
x [n] = 3 + 2 sen
π
2n
+ θ 1 + 4 cos
π
3n
+ θ2
u [ n ].
Exprese el desfasaje entre la entrada y la salida en muestras.
3. Calcule la respuestra transitoria ytr [n]
Ejercicio 15. Un sistema lineal e invariante en el tiempo está descripto por la ecuación a
diferencias
3
y[n] =
∑
3
x [n
2m]
m =0
∑
(0,81)m y[n
2m].
m =1
Calcule analíticamente la respuesta de estado estacionario del sistema ante las siguientes
excitaciones:
1. x [n] = 5 + 10 ( 1)n .
2. x [n] = 1 + cos (0,5πn + π/2) .
3. x [n] = 2 sen (πn/4) + 3 cos (3πn/4) .
4. x [n] = ∑5k=0 (k + 1) cos (πkn/4)
5. x [n] = cos (πn) .
M Para cada caso, genere con M ATLAB la señal x [n], 0 n 200, y procésela con la función
filter para obtener y[n]. Compare la respuesta obtenida con las respuestas de estado
estacionario calculadas para cada caso.
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3.8. Ejercicios: Respuesta en frecuencia
69
Ejercicio 16. Dos sistemas y lineales e invariantes en el tiempo H1 e jω y H2 e jω se
conectan en cascada. El sistema H1 e jω tiene la respuesta en frecuencia
(
1,
jω j < π/2,
H1 e jω =
0,
π/2 < jω j < π,
y el sistema H2 e jω está descrito por la ecuación a diferencias y[n] = x [n] x [n 1]. La
entrada al sistema es x [n] = cos (0,6πn) + 3δ[n 5] + 2, para ∞ < n < ∞. Aplicando
las propiedades de linealidad e invariación temporal, determine la respuesta del sistema
(puede hacerse directamente por inspección). Justifique sus pasos.
I
Ejercicio 17.La convolución dos sucesiones x [n] e y[n] es idénticamente nula: x [n] y[n]
0. A partir de este resultado, ¿puede afirmar que alguna de las dos sucesiones es idénticamente nula? Considere estos casos:
1. Las sucesiones son de longitud finita.
2. Las sucesiones son de longitud infinita.
3. Una de las sucesiones es de longitud finita, y la otra de longitud infinita.
Si la respuesta es afirmativa, justifique, y en caso contrario elabore un contraejemplo.
Ejercicio 18. Un filtro pasabajos ideal con retardo nulo tiene respuesta impulsiva h PB [n],
y respuesta en frecuencia
(
1,
jω j < π/5,
jω
HPB e
=
0,
π/5 jω j π.
En base a la respuesta impulsiva de este filtro se construyen los tres filtros que se indican a
continuación. Para cada caso calcule la respuesta en frecuencia, grafíquela para jω j π,
y determine el tipo de filtro (pasabajos, pasa altos, pasabanda, eliminabanda).
I
1.
h1 [n] = ( 1)n h PB [n] = e jπn h PB [n].
2.
h2 [n] = 2h PB [n] cos
3.
h3 [ n ] =
1/10
π
sinc
π
2n
1
10 n
.
h PB [n].
Ejercicio 19. Un sistema discreto lineal e invariante en el tiempo con respuesta impulsiva
h[n] tiene respuesta en frecuencia H e jω .
1. Demuestre que el sistema es FIR (es decir, que su respuesta impulsiva tiene un
longitud finita), sabiendo que:
a) El sistema es causal;
b) H e jω = H e
jω
;
c) La transformada de Fourier de h[n + 1] es real;
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3. Señales y sistemas discretos
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2. Si además de las condiciones anteriores, se verifican las dos condiciones que se listan a continuación, ¿tiene información suficiente para caracterizar completamente
el sistema?. En caso afirmativo, determine la respuesta impulsiva h[n]. En caso contrario, especifique las condiciones que debe satisfacer h[n].
Rπ
1
a) 2π
H e jω dω = 2;
π
b) H e jπ = 0.
I
Ejercicio 20. En la cascada de sistemas discretos que se muestra en la figura, el inversor
temporal está definido por las ecuaciones f [n] = e[ n] e y[n] = g[ n]. Si las sucesiones
x [n] y h1 [n] son reales,
1. Exprese E e jω , F e jω , G e jω e Y e jω en función de X e jω y H1 e jω .
2. Encuentre la respuesta H e jω del sistema completo.
3. Determine la respuesta impulsiva h[n] del sistema completo en función de h1 [n].
I
Ejercicio 21. Calcule la salida de un SLIT con respuesta en frecuencia
H e
jω
=
(
e jω3 ,
jω j <
2π
16
0,
2π
16
3
2
3
2
,
jω j
π,
si la entrada es un tren de impulsos unitarios con período N = 16:
∞
x [n] =
∑
δ[n
16m].
m= ∞
Ayuda: Para calcular X (e jω ) tenga en cuenta que ∑n e
jωn
= ∑r 2πδ(ω + 2πr ).
Ejercicio 22. Un sistema con respuesta impulsiva g[n] es el sistema inverso del sistema con
respuesta impulsiva h[n] si h[n] x [n] = δ[n]. Si h[n] = an u[n 1], con j aj < 1,
1. calcule la respuesta en frecuencia G(e jω ) y la respuesta impulsiva g[n] del sistema
inverso;
2. determine si el sistema inverso es causal y estable.
3. Si j aj > 1, ¿existe el sistema inverso? En caso afirmativo ¿es estable? ¿es causal?
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