r - prof.usb.ve.

2-1
CAPITULO II
2.1
INTRODUCCIÓN
Fig.2.1: Diagrama de bloques de
donde: A( s) : Amplificador + motor
J : Momento de inercia
B : Coeficiente de roce
T(s) = Torque
Donde
W
T
B
G ( s) =
1J
.
s( s + B J )
FTLC =
θ o ( s)
K
=
θ i ( s) s( s + 2) + K
K=
J
A B
y
= 2.
J
J
La función de transferencia
θ o ( s)
puede ser escrita como:
θ i ( s)
θ o ( s)
ω n2
K
=
=
θ i ( s) s 2 + 2 s + K s 2 + 2ζω n S + ω 2n
Se desea determinar las raices de la ecuación característica para K ∈( 0, ∞ ) . Sabemos
que: s 1, 2 = −ζω n ± ω n
ζ 2 − 1 = −1 ± 1 − K . Observe la siguiente tabla:
2-2
Tabla 2.1: Raices para diferentes valores de K
K
s1
s2
Raíces
0
0.5
0.75
1
3
4
0 + 0j
-0.293 + 0j
-0.5 + 0j
-1 + 0j
-1 + 1.4j
-1 + 1.73j
-2 + 0j
-1.707 + 0j
-1.5 + 0j
-1 + 0j
-1 - 1.4j
-1 - 1.73
Reales y diferentes
Reales y diferentes
Reales y diferentes
Reales e iguales
Complejas conjugadas
Complejas conjugadas
Al graficar en el plano –s las raices obtenidas en la tabla anterior encontramos la figura
siguiente :
Fig 2.2 Lugar geométrico de las raíces para
Observaciones del gráfico:
0 ≤ K <1⇒ ζ >1⇒
Raíces reales distintas.
K = 1⇒ ζ = 1⇒
Raíces reales iguales
K > 1⇒ ζ < 1⇒
Raíces complejas conjugadas.
Estas curvas son definidas como el Lugar Geométrico de las Raíces.
Análisis del gráfico:
1. Un decrecimiento de ζ implica un aumento de M p .
2. A partir de K = 1 , aumenta de ω n , aumenta ω d y la parte real de las raíces s = ζω n
permanece constante.
3. Para todo K el sistema es estable.
2-3
2.2
PLANTEAMIENTOS Y DEFINICIONES
Las características de la respuesta transitoria de una F.T.L.C., estan determinadas por
los polos de la misma.
Consideramos el sistema de control mostrado en la siguiente figura:
Fig. 2.3:
FTLC =
C ( s)
G ( s)
;
=
R ( s ) 1 + G ( s ) H ( s)
FTLA = G( s) H ( s)
(
m
m −1
N ( s) K s + am −1s +K+ a1s + a0
G ( s) H ( s) = K
=
D( s)
s n + bn − 1s n −1 +K+b1s + b0
donde:
)
(1)
n > m para que el sistema sea físicamente realizable,
K es la ganancia del sistema y,
N ( s) , D( s) son polinomios mónicos finitos
EJEMPLO: Consideremos un sistema de segundo orden:
C ( s)
ω 2n
2
= 2
, con s1,2 = ζω n ± jω n 1 − ζ .
2
R( s) s + 2ζω n S + ω n
Por lo dicho anteriormente, sabemos que :
1 + G (s )H (s ) = 1 + K
N (s )
D (s )
(2)
lo que implica que para cada valor de K, encontraremos un conjunto de raíces que representan
los polos de la FTLC
Por lo tanto, podremos calcular las raíces desde K = 0 a K → ∞ .
2-4
D( s) + KN ( s) = 0 ⇒ D( s) = 0 .
Para K = 0 :
(3)
Las raíces son los polos de la FTLA.
D( s) + KN ( s) = 0 ⇒ KN ( s) = 0
Para K → ∞ :
(4)
Las raíces son los ceros de la FTLA.
Conclusión: El Lugar Geométrico de las Raíces representa el conjunto de polos de la
FTLC , comienza en los polos de la FTLA y termina en los ceros de la FTLA.
2.3
METODO DE EVANS
Dado que la ecuación característica es un número complejo, esta puede ser representada por
su magnitud y fase:
0 = 1 + G ( s) H ( s) = 1 + K
K ( s + z1 )( s + z2 )K
N ( s)
=1+
D( s)
( s + p1 )( s + p2 )K
(5)
Despejando, obtenemos:
K ( s + z1 )( s + z2 )K
= −1
( s + p1 )( s + p2 )K
(6)
K s + z1 s + z2 K
= −1
s + p1 s + p2 K
(7)
MAGNITUD:
FASE:
∠( s + z1 ) + ∠( s + z2 )+K−∠( s + p2 ) − ∠( s + p2 )−K = ±( 2r − 1) π
(8)
donde r = 0, 1, 2, K
Las ecuaciones (7) y (8) son empleadas en un tanteo para determinar si un punto
s p pertenece o no al lugar de las raíces del problema en cuestión.
¿Cómo se hace?
2-5
Sea
K ( s + z1 )
KN ( s)
=
. Situamos sp , z1 , p1 y p2 en el plano s, como se muestra
D( s)
( s + p1 )( s + p2 )
en la siguiente figura:
Según la condición de ángulo de la ecuación (8) se debe cumplir que:
α 1 − (θ1 + θ 2 ) = ( 2r + 1) π , para cualquier valor de r.
Si s p cumple con esta condición, podemos calcular la ganancia K para dicho punto.
Sin embargo, este método sigue siendo largo. Es por ello que se generan un conjunto de reglas
que permitan trazar el L.G.R. asintóticamente.
2.4
PRINCIPIO DEL LUGAR DE LAS RAICES
Se basa en que los polos de la FTLC estan relacionados con los polos y ceros de la FTLA y
con la sensitividad K del lazo. Esto puede ser demostrado como:
G ( s) =
K1 N 1 ( s)
D1 ( s)
(1)
H ( s) =
K 2 N 2 ( s)
D2 ( s)
(2)
G( s) H ( s) = K1 K2
N 1 ( s ) N 2 ( s)
D1 ( s) D2 ( s)
(3)
de donde:
K1 N 1 ( s )
D1 ( s )
K1 K 2 N 1 ( s ) N 2 ( s )
D1 ( s ) D2 ( s )
(4)
D1 ( s) D2 ( s) + K1 K2 N1 ( s) N 2 ( s)
D1 ( s) D2 ( s)
(5)
C ( s)
A( s)
G ( s)
= M ( s) =
=
=
R ( s)
B( s) 1 + G( s) H ( s) 1 +
⇒ B( s) = 1 + G( s) H ( s) =
2-6
quedando B( s) de orden m + u = n .
De (5):
G( s) H ( s) = −1 ⇒ D1 ( s) D2 ( s) + KN 1 ( s) N 2 ( s) = 0
(6)
⎧ K = 0 ⇒ D1 ( s) D2 ( s) = 0
⎩ K → ∞ ⇒ KN 1 ( s) N 2 ( s) = 0
Para todo K ≥ 0 se cumple que: ⎨
Podemos escribir (6) en forma trigonométrica: G( s) H ( s) = Fe
− jβ
; donde:
F = magnitud del vector
⇒
F = G (s )H(s )
(7a)
e − jβ = condición de fase
⇒
e − jβ = e − j(1+ 2 r )π
(7b)
La expresión formal de las condiciones en (7), son las siguientes:
Para todo K > 0 :
Condicion de magnitud: G( s) H ( s) = 1
Condición de fase: ∠G( s) H ( s) = (1 + 2r )180
o
r = 1, 2, K
Para todo K < 0 :
Condicion de magnitud: G( s) H ( s) = 1
Condición de fase: ∠G( s) H ( s) = (1 + 2r ) 360
o
r = 1, 2, K
2-7
2.5 PROCEDIMIENTO PARA DIBUJAR EL DIAGRAMA
LUGAR DE LAS RAICES (asintóticamente)
DEL
Calcular los polos y ceros de la FTLA y dibujarlos en el plano s con la siguiente notación:
pj
_____________
zi
_____________
X
j = 1, K, P ;
P = número de polos.
O
i = 1, K, Z ;
Z = número de ceros.
1. Número de ramas del diagrama:
P si P > Z ;
Z si Z > P .
2. Lugar de las raíces en el eje real:
Un punto del eje real forman parte del lugar de las raíces cuando la suma de polos y ceros
a la derecha del punto es un numero impar.
3. Determinación de asíntotas:
4.1. Número de asíntotas: deben haber P − Z asíntotas:
4.2. Angulos de las asintotas con el eje real (medido en sentido antihorario):
λr =
± 180°(2r + 1)
;
P−Z
r = 0, 1, 2, K
4.3. Puntos de corte en el eje real (r)
Todas las asintotas cortan el eje real en el punto σ , donde:
σ=
∑ Re( p j ) − ∑ Re( zi )
P−Z
5. Puntos y angulos de salida o entrada de las ramas del L.G.R. al Eje Real:
5.1. Despejar K de la ecuación característica:
1+ K
N(s )
=0
D(s )
⇒
K=−
N(s )
D(s )
Los puntos se obtienen al calcular las raíces que hacen que :
dK
= 0.
ds
2-8
5.2. Angulo con el eje real: cuando son dos ramas, éstas emergen del eje real con un
π
. En general, cuando se tienen n ramas que se acercan a un punto de
2
180°
salida, el ángulo con el que abandonan el eje real es
.
n
6. Angulo φ de salida (o de llegada) del L.G.R. de los polos (a los ceros) Complejos
ángulo de
Conjugados:
Se elige un punto sp de prueba muy cercano al polo o cero complejo. Ese punto sp, de
pertenecer al lugar de las raíces, debe cumplir con la condición de fase, es decir:
∑ ∠(ceros ) − ∑ ∠(polos + φ ) = 180° .
De esta ecuación se despeja el ángulo φ .
7. Punto de cruce del Lugar Geométrico de las Raíces con el eje imaginario:
Se puede encontrar de dos formas:
7.1. Aplicando el criterio de Routh.
7.2. Sustituyendo s = jω en la ecuación característica.
2-9
2.6
EJEMPLOS
Ejemplo 1: Obtenga el Lugar Geométrico de las Raíces del sistema mostrado:
Fig. 2.4:
cuya FTLA es G( s) H ( s) =
K ( s + 3)
(
s( s + 6)( s + 5) s 2 + 2 s + 2
)
; donde K = K1 K2 K3 .
Paso 1:
Polos:
Ceros:
____________
pi = 0, -5, -6, (−1 ± j)
____________
zi = -3
⇒
P = 5.
⇒
Z = 1.
Paso 2: Número de ramas: P = 5.
Paso 3: Lugar de las raíces en el eje real:
Entre -3 y -5 ⇒ No existe
Entre 0 y -3 ⇒ Existe.
Entre -6 y −∞ ⇒ No existe.
Entre -5 y -6 ⇒ Existe.
Paso 4: Cálculo de asíntotas
Número de asíntotas: P − Z = 4.
Angulos de las asíntotas: λ r = ±
180°(2r + 1)
; r = 0, 1.
4
∴ λ r = 45°, − 45°, 135° y − 135°.
σ=
(0 − 5 − 6 − 1 − 1) − (− 3) = −2.5
4
Se dibujan las asíntotas como se muestra en la figura siguiente
2-10
135º
45º
-45º
-135º
Fig 2.5 :
Paso 5: salida el L.G.R. de l eje real
La ecuación característica es:
1 + G (s )H(s ) = 1 +
⇒
De donde:
K (s + 3)
(
s(s + 5)(s + 6 ) s 2 + 2s + 2
(
)
=0 ⇒
)
s(s + 5)(s + 6 ) s 2 + 2s + 2
;
K=−
s+3
dK 2 s5 + 27 s 4 + 132 s 3 + 284 s 2 + 246s + 90
=
=0
dS
( s + 3) 2
Se sabe que el punto de salida se encuentra entre -5 y -6 por ser dos polos que originan
ramas porque existe Lugar Geométrico de las Raíces entre ellos. Luego, el punto de salida es:
s = −553
. .
.
j y −0.6560 ± 0.4677 j .
Las otras raíces de esta ecuación son: −3.3311 ± 12040
Paso 6: Angulo φ en el polo complejo
Se toma p i = −1 + 1 j para aplicar la condición de ángulo:
Fig. 2.6:
2-11
γ 1 − (θ1 + θ 2 + θ 3 + θ 4 + φ) = 180º
27.5°−(12°+14°+136°+90°+ φ) = 180°⇒ −224.5°+ φ = 180°⇒
⇒ φ = −404.5°+360° = −44.5°
Para el polo conjugado al ángulo de salida es 44.5° , ya que el Lugar Geométrico de
las Raíces es simétrico respecto al eje real.
Paso 7: Cruce con el eje imaginario
La ecuación característica es:
s5 + 13s 4 + 54 s 3 + 82 s 2 + ( 60 + K ) s + 3K = 0
Aplicando el criterio de Routh:
s5
1
54
60 + K
s4
13
82
3K
s3
47.7
60 + 0.769K
s 2 65.6 − 0.212K
3K
−105 K − 0.163K 2
s 1 394065
.6 − 0.212 K
0
3K
s
2
De la ecuacion s : ⇒
K ≤ 309.434
De la ecuación:
⎧K1 ≤ 35.56
s 1 : 3940 − 105K − 163K 2 ≥ 0 ⇒ ⎨
⎩K 2 = −679.73(descartado)
0
De la ecuacion s : ⇒
K>0
0 < K < 35.56
Para obtener el valoren
jω , se emplea la ecuación de s 2 , sustituyendo el valor
adecuado de K crítico
(65.6 − 0.212K )s 2 + 3K = 0
⇒
58.06s 2 + 106.68 = 0
El punto de corte del Lugar Geométrico de las Raíces con el eje imaginario se halla en
s1,2 = ±135
. j y K = 35.56
2-12
Comandos de Matlab
N = [1 3]; D=[1 13 54 82 60 0]; r=rlocus(n,d); plot(r, ‘o’)
Root-Locus of FTLA=K(s+3)/s(s+6)(s+5)(s^2+2s+2)
15
10
Imag Axis
5
0
-5
-10
-15
-20
Fig. 2.7:
-15
-10
-5
0
Real Axis
5
10
15
2-13
Ejemplo 2
Calcular el L.G.R. de la F.T.L.A=
K (s + 5)
s 2 (s + 3)
Regla 1:
Polos: 0,0,-3
; Ceros: -5
Regla 2:
Nº de ramas: 3
Regla 3:
ver gráfico
Regla 4
4.1Numero de asintotas: ρ - z = 3 – 1 = 2
;
ρ=3
;
Z=1
180(2r + 1)
= ± 90º
ρ−z
(0 + 0 − 3) − (−5)
=1
4.3 Punto de intersección de las asíntotas σ r =
3 −1
4.2 Angulo de asíntotas: ±
Regla 5: Del único lugar que se pueden generar ramas es en s=0 ya que hay dos polos en ese
sitio y hay lugar de las raíces en ambos. Luego σr = 0. Ejercicio : calcule según la formula
indicada para ello el σ y analice su resultado.
Regla 6: No aplica
Regla 7: La ecuación característica es s (s + 3) + K (s + 5) = 0
Wc = 0 y Kc = 0
Comandos de Matlab
2
n = [1 5]; d=[1 3 0 0]; r=rlocus(n,d); plot(r, ‘o’)
Root-Locus of FTLA=k(s+5)/s^2(s+3)
15
10
Imag Axis
5
0
-5
Fig 2.8: Lugar geométrico de las raices de la FTLA=
K ( s + 5)
s 2 ( s + 3)
2-14
EJEMPLO 3
Obtener el L.G.R de : FTLA =
k (s + 2)
(
(s + 3)(s − 0.5) s 2 − 2s + 10
)
ρ=4
1) Polos : -3, 0.5; 1±3j
Ceros: -2
Z=1
ρ=4
2) Número de ramas
3) L.G.R. en el eje real (ver dibujo)
4) 4.1 Asíntotas : (ρ−z) = 3
180(2r + 1)
=
(ρ − z )
4.2
∠=±
4.3
Punto de corte: σ =
± 60º (2r + 1)
⇒
± 60º ;+180 º
(− 3 + 0.5 + 1 + 1) − (− 2) = 0.5
3
5) Puntos de salida/entrada al eje real: No aplica
6) Cálculo de φ en polos complejos:
φ1 = 37.5º;
φ2 = 81º;
φ3 = 90º;
α4 = 43º
43º −(37.5º +81º +90º + φ) = 180º
φ=−345º
7) Cruce con el eje jw:
s 4 + 0.5s 3 + 3.5s 2 + (28 + k )s + (2k − 15) = 0
Criterio de Routh
s4
s3
1
0.5
s2
(0.5 * 3.5) − (28 + k )
0.5
α.β − 0.5γ
α
s1
s0
3.5
(28+k)
(2k-15)
0
2k-15
s 0 : 2k − 15 > 0
⇒ k>7.5
α − β − 0.5γ
s1 :
> 0 ⇒ α.β − 0.5γ > 0
α
(2k-15)
Donde :
α = −52.5 − 2k
β = 28 + k
γ = (2k − 15)
2-15
Desarrollando se obtiene:
2k 2 + 109.5K + 1467.5 < 0
k < -23.4
k < -31.33
(0.5 * 3.5) − (28 + k )
>0
0.5
k < -26.25
Comandos de Matlab
n = [1 2] ; d=[1 0.5 3.5 28 –15]; r=rlocus(n,d); plot(r, ‘o’)
Root-Locus of FTLA=k(s+2)/(s+3)(s-0.5)(s^2-2s+10)
6
4
Imag Axis
2
0
-2
-4
-6
-6
-4
-2
0
2
4
Real axis
Fig. 2.9: Lugar geométrico de las raices de FTLA=
K ( s + 2)
( s + 3)( s − 0.5)( s 2 − 2s + 10)