Anexo - Facultad de Ingeniería

Facultad de Ingeniería
Bioingeniería
Control de Procesos
Anexo II - Pasos a seguir para la Construcción del LR.
Suponemos que estamos trabajando con un sistema de la siguiente forma:
R(s) +
C(s)
G(s)
-
H(s)
De no estar en esta forma se trabaja con álgebra de bloques para reducirlo a la forma G(s).H(s)
(bucle abierto).
El lugar de raíces es simétrico con respecto al eje real, y permite estudiar la variación de los
polos de lazo cerrado (BC) ante la modificación de algún parámetro del sistema (ganancia,
constante de tiempo, etc.) que figure como factor en el BA.
Todo el procedimiento se baza en considerar los polos de bucle cerrado, igualando ecuación
característica a cero (0) :
1 + G(s).H(s) = 0
G(s)H(s) = 1
G(s).H(s) = ± 180 (2k+1)
Pasos a Seguir :
1. Calcular los puntos de inicio y fin de cada rama del lugar de raíces : Se marcan con
cruces los polos y con redondeles los ceros de BUCLE ABIERTO en el plano s.
Se determinan el número de ramas, generalmente igual a la cantidad de raíces del
polinomio (numerador o denominador de G.H) de mayor orden.
Los puntos de inicio son los polos de BA (K=0), y los puntos de finalización de las ramas
son los ceros de BA (K=∞).
2. Determinar el lugar de raíces sobre el eje real : es lugar de raíces, aquel espacio que
colocando un punto de prueba s tenga una cantidad impar de singularidades (ceros o
polos) a su derecha.
3. Calcular las Asíntotas :
Ángulos de las asíntotas =
± 180 (2k+1)
k=0,1,2, .....
n-m
n = cantidad de polos a BA.
m = cantidad de ceros a BA.
Guía para trazar Lugar de Raíces
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La cantidad de asíntotas es igual a n-m (con esto vemos hasta donde variar k), y el lugar de
raíces la puede cruzar.
Todas las asíntotas intersectan al eje real en un punto de encuentro que lo llamaremos (A)
A=
∑ polos a BA - ∑ ceros de BA = − p1 − p 2 − .... pn + z1 + z1 + ..... zm
n−m
n−m
A siempre es un número real que puede o no estar sobre el lugar de raíces.
4. Calcular los puntos de ruptura (de llegada o salida) : para calcularlos se resuelve la
siguiente igualdad :
dK
=0
ds
los valores de s que satisfacen esta ecuación pueden ser puntos de rupturas si se
encuentran en una rama del lugar de raíces, y se los identifica como puntos de partida o
llegada con las siguientes reglas :
• Si esta entre 2 polos es un punto de partida.
• Si esta entre 2 ceros (incluyendo los de ∞) es un punto de llegada.
5. Calcular el ángulo de partida o llegada a las singularidades complejas conjugadas de
BA :
Ángulo de Partida : 180 - Σ de ángulos de los polos en BA al punto de prueba + Σ de ángulos de los ceros
a BA al punto de
prueba.
Ángulo de Llegada : 180 + Σ de ángulos de los polos en BA al punto de prueba - Σ de ángulos de los
ceros a BA al punto
de prueba.
6. Calcular los puntos y frecuencias de corte sobre el eje imaginario :
A.- Utilizando el criterio de Routh :
igualando la columna de s1 a cero, encontrar el valor
de K que satisface esta condición ; Este valor de K
(crítico) se reemplaza en la columna s2 que igualada
a cero permite obtener valor de s que satisfacen esta
ecuación (frecuencias críticas).
B.- Reemplazando en la ecuación característica a BC s por jw:
se iguala la parte real y la parte imaginaria a cero y
de este sistema se obtiene K (crítico) y w (crítica)
que lo satisfacen.
Guía para trazar Lugar de Raíces
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