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ASIGNATURA: SISTEMAS DE
CONTROL
CÓDIGO: 0336
Teórico #7
Cursada 2015
RESUMEN CLASE ANTERIOR
(Teórico #6)
Capitulo 4 Error en Estado Estacionario
4.1
4.1.1
4.1.2
4.1.3
4.1.4
4.1.5
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
Error en estado estacionario para sistemas con realimentación
unitaria
Tipo de sistema
Cálculo del error en estado estacionario
Constantes de error de posición estático, Kp
Constantes de error de velocidad estático, Kv
Constantes de error de aceleración estático, Ka
Especificaciones de error en régimen estacionario
Error en estado estacionario con perturbaciones
Error en estado estacionario para sistemas con realimentación
no unitaria
Sensibilidad paramétrica
Ejemplos y resolución de problemas de la guía de trabajos
prácticos
Capitulo 5
Análisis y Diseño de Sistemas
de Control por el Método del
Lugar de las Raíces
Lectura recomendada:
• Nise: está mejor, más amplio que Ogata
• Ogata: solo trata compensación por atraso y por adelanto
(no trata PID ni sus combinaciones)
Capítulo 5 - Análisis y Diseño de Sistemas de Control por el Método del
Lugar de las Raíces
5.1 Representación vectorial de números complejos
5.2 Ejemplo y definición del lugar geométrico de las raíces.
5.3 Ejemplos de trazado del lugar geométrico de las raíces
5.3.1 Sistema de segundo orden.
5.3.2 Sistema de tercer orden.
5.3.3 Casos particulares.
5.4 Reglas generales para trazar el lugar geométrico de las raíces.
5.5 Trazas típicas.
5.6 Diseño de la respuesta transitoria por medio del ajuste de la ganancia.
5.7 Gráficas de contornos de las raíces.
5.8 Corrección de error en estado estacionario, compensación PI y Atraso.
5.9 Corrección de la respuesta transitoria, compensación PD y Adelanto.
5.10 Mejoramiento de error y respuesta transitoria. Compensación PID y
Atraso/adelanto.
5.11 Compensación mediante realimentación taquimétrica.
5-12 Ejemplos y resolución de problemas de la guía de trabajos prácticos.
Introducción
HASTA AHORA HEMOS VISTO
Como satisfacer las especificaciones transitorias de
sistemas de 1er y 2do orden ajustando la ganancia de la
función de transferencia directa (esto es diseñar!!).
Ídem con realimentación taquimétrica, ajustando las
ganancias de cada uno de los lazos, para el caso de 2do
orden.
La importancia de los polos en la respuesta transitoria.
La importancia del tipo de sistema (cantidad de polos en
el origen) para disminuir el error en régimen estacionario.
QUE VEREMOS AHORA:
Un método para representar gráficamente la evolución
de los polos de la función de transferencia de lazo cerrado
en función de algún parámetro, normalmente la ganancia
de la función de transferencia directa, aunque puede ser
otra cosa.
Permite tener una idea cualitativa del comportamiento
dinámico del sistema.
Permite ajustar la ganancia para satisfacer las
especificaciones transitorias.
El método se llama “Método del lugar Geométrico de las
Raíces” (Root-Locus Method). Fue propuesto por Evans en
1948-1950.
REPASO: Representación Vectorial de Números Complejos
s    j
s s
s
s    tan
1
 
 
 
s  M   2  2
s    j
 s M ( s)
F ( s )  ( s  a) ; es un cero en s  a
   a   j
F (s)
s    j
a
s    a   j
  a 
El vector definido entre el “cero” y el “punto de prueba” “s” tiene el mismo ángulo y módulo.
Representación Vectorial de Funciones Complejas
m
m
F ( s)  K
s  z 
i 1
n
i
s  z 
j 1
F (s)  K
 s  z 
i 1
n
i
 s  z 
j
j
ij1
F ( s )    s  zi     s  z j 
m
n
i 1
j 1
Ejemplo:
Evaluar la siguiente función compleja por medio de
vectores.
( s  1)
F ( s) 
s ( s  2)
Transformación compleja
( s  1)
F ( s) 
s ( s  2)
F
s
(complejo) s
F ( s)
m
m
F ( s)  K
s  z 
i 1
n
i
s  z 
j 1
j
F (s)  K
 s  z 
i 1
n
i
 s  z 
j
ij1
F ( s )    s  zi     s  z j 
m
n
i 1
j 1
Ejemplo de Lugar Geométrico de las Raíces (LGR) en un sistema de 2do Orden
PROBLEMA:
Ajustar el valor de K para satisfacer las especificaciones
transitorias
Reducimos el sistema a una única FdeT:
Cálculamos los polos de la FFTLC :
b  b  4ac 10  10  4 K

2a
2
2
2
p1  5  52  K
p2  5  52  K
Queremos investigar que pasa cuando
0 K 
p1  5  52  K
p2  5  52  K
0 K 
Algunos valores particulares de K:
0  K  25
 2 polos reales diferentes  sobre amortiguado
K  25
 2 polos reales iguales  amortiguamiento crítico
K  25
 2 polos complejos conjugados  sub amortiguado
Y los valores intermedios?
El Lugar
Geométrico de
las Raíces
(LGR) representa
los polos de la
Función de
Transferencia de
Lazo Cerrado, en
el plano
complejo, ante
variaciones de K
Recordando la
representación gráfica
de:
 y n
El LGR comienza en los
polos de lazo abierto
para K=0 y finaliza en los
ceros (en este caso en el
infinito) para K que
tiende a infinito
El LGR permite
determinar, cualitativa y
cuantitativamente, el
comportamiento
dinámico del sistema
ante variaciones de K
Como Trazar el Lugar de las Raíces: Condiciones de Ángulo y Módulo
Las características dinámicas están dadas por los polos de la FdeT de
lazo cerrado:
Condición de Ángulo:
Condición de Módulo:
Condiciones de Ángulo y Módulo
Los puntos del plano complejo, “s”, que CUMPLEN CON LAS
CONDICIONES DE ÁNGULO Y DE MÓDULO son RAÍCES DE LA
ECUACION CARACTERÍSTICA , son POLOS DE LA FUNCIÓN DE
TRANSFERENCIA DE LAZO CERRADO
El LGR es una gráfica de los PUNTOS DEL PLANO COMPLEJO QUE
CUMPLEN CON LAS CONDICIÓN DE ÁNGULO
La condiciones de ángulo no depende de K (el ángulo de K es nulo)
Las raíces de la ecuación característica (polos de lazo cerrado que están
sobre el LGR) que corresponden a un valor específico de la ganancia, K,
pueden determinarse a partir de la condición de módulo
El valor específico de la ganancia, K, necesaria para obtener raíces de la
ecuación característica en un lugar determinado del LGR puede
determinarse a partir de la condición de módulo
Ejemplo: Condiciones de Ángulo y Módulo
Que es el
“PUNTO DE PRUEBA”?
(Test Point)
Resumiendo
La técnica del LGR nos permite:
conocer la ubicación de los polos de lazo cerrado de un sistema de
control, a través de la condiciones de ángulo de la función de
transferencia de lazo abierto:
Además, permite encontrar el valor de la ganancia, K ,correspondiente a
la ubicación de polos que hagan cumplir las especificaciones transitorias
en función de la condición de módulo:
Reglas para el Trazado del Lugar de Raíces
Ejemplo de Sistema de 3er Orden
Ejemplo de Problema de Diseño de un Sistema de 3er Orden
1) Trazar la gráfica del lugar geométrico de las raíces del sistema de la figura.
2) Determinar el valor de K tal que el factor de amortiguamiento relativo de los polos
dominantes complejos conjugados de lazo cerrado sea 0,5.
CONDICIONES DE ÁNGULO Y DE MÓDULO:
1 – Número de Ramas
Cada polo de lazo cerrado se mueve cuando varía la ganancia.
Si se define como rama la trayectoria que recorre un polo, entonces existirán tantas ramas
como polos de lazo cerrado.
CONCLUSIÓN:
El número de ramas es igual al número de polos de la F de T de lazo
cerrado.
2 – Simetría
Si no existiesen polos complejos en lazo cerrado en pares conjugados, el polinomio resultante
formado al multiplicar los factores que contienen los polos en lazo cerrado tendrían
coeficientes complejos.
Conocen algún sistema físico real que pueda ser representado por un modelos con parámetro
complejos?
(No!!) Esto significa que los sistemas realizables físicamente no pueden tener coeficientes
complejos.
CONCLUSIÓN:
El lugar geométrico de las raíces es simétrico respecto al eje real.
3 – Puntos de Inicio y Fin.
FTLA  K G ( s ) H ( s )

FTLC 
lim K 
K 0
FTLC 
KGn( s ) Hn( s )
Gd ( s) Hd ( s)
C (s)
R( s)

KGn( s ) Hd ( s )
KGn( s ) Hd ( s )

K  Gd ( s ) Hd ( s ) Gd ( s ) Hd ( s )
KGn( s) Hd ( s)
KGn( s) Hn( s)  Gd ( s) Hd ( s)
 los polos de la FTLC  polos de la FTLA
lim K 
K 
FTLC 
KGn( s ) Hd ( s )
Gn( s ) Hd ( s )

KGn( s ) Hn( s )  Gd ( s ) Hd ( s ) Gn( s ) Hn( s )
 los polos de la FTLC  ceros de la FTLA
CONCLUSIÓN:
El LGR comienza en los
polos de GH, para K que
tiende a 0, y terminan en
los ceros de GH para K que
tiende a infinito.
4 - Determine los lugares geométricos de las raíces sobre el eje real usando la condición de
ángulo.
Primero, marcar los polos y los ceros de la FdeT de lazo abierto (G(s) H(s))en el plano complejo.
Si el punto de prueba está en el eje real positivo:
NO CUMPLE
Si el punto de prueba está en -1<s<0:
SÍ CUMPLE
Si el punto de prueba está en -2<s<-1:
NO CUMPLE
Si el punto de prueba está en -
 <s<-2:
540  180  2k  1
SÍ CUMPLE
X X X
GENERALIZACION DE LOS LUGARES GEOMÉTRICOS DE LAS RAÍCES SOBRE EL EJE REAL :
El LGR existe a la izquierda de un número impar de polos finitos y ceros finitos de la FdeT de lazo
abierto
En nuestro Ejemplo de 3 polos:
Hacia donde van,
donde llegan, las
ramas hacia el
infinito????!!!!
K 
K 0
X
K 
K  Kc
K 0
X
Hay que encontrar las asíntotas de las
ramas hacia el infinito
K 0
X
K 
5 – Determinar las asíntotas de los lugares de raíces
Asíntota =
s 
Con lo que la condición de ángulo queda:
 60 ;  60 ;180
Representan 3 rectas
desfasadas 60 grados
?
Es necesario calcular
donde estas asíntotas
cortan al eje real
5 – Determinar las asíntotas de los lugares de raíces – Corte con el eje real
lim G ( s) 
s 

Lo que representan 3 lineas rectas que se juntan en s=-1
5 – Determinar las asíntotas de los lugares de raíces – Corte con el eje real
Finalmente, se pueden dibujar las asíntotas como:
Recordando:
K 
K  Kc
K 
K 0
X
Hay que encontrar
los puntos de ruptura
sobre el eje real
K 0
X
K 0
X
K 
6 – Determinar los puntos de ruptura sobre el eje real
La ecuación característica:
Puede escribirse la ecuación característica como:
Donde A y B no dependen de K.
Si hay raíces múltiples:
donde:
De donde puede despejarse el valor de K que produce raíces múltiples:
Substituyendo este valor de K en la segunda ecuación puede obtenerse:
6 – Determinar los puntos de ruptura sobre el eje real
Resolviendo esta ecuación en s pueden obtenerse los puntos
en que existen raíces múltiples.
Por otro lado, despejando K de la 2da ecuación de la página
anterior:
Si:
dK
0
ds
Por lo tanto los puntos de ruptura pueden determinarse
simplemente resolviendo :
dK
0
ds
Siendo
6 – Determinar los puntos de ruptura sobre el eje real
Para el actual ejemplo:
2 puntos de ruptura?
El punto de ruptura que buscamos tiene que estar entre 0 y -1, por lo tanto -1,5 no puede ser
solución….. Que significa?
Una vez obtenidos los valores de s, pueden encontrarse los valores de K, en este caso da:
La ganancia no
puede ser
negativa
No está dentro del segmento
entre 0 y -1 para que cumpla
con la condición de ángulo
7- Cruce con el eje imaginario
Para el actual ejemplo:
Substituyendo en la anterior ecuación
s  j
Igualando las partes real e imaginaria a cero:
Resolviendo:
La ganancia no puede ser
cero, por lo tanto no es un
resultado válido
POR QUE?
8- Trazado del lugar de las raíces completo
Ejemplos de Lugares de las raíces
Con el ángulo, interceptando la traza, obteniendo los polos complejos conjugados que
satisfacen las especificaciones:
Usando la condición de módulo sobre la traza:
Usando este valor de K puede ser encontrado el tercer polo:
8- Trazado del lugar de las raíces completo
Par de polos complejos
conjugados DOMINANTES
Ejemplos de Lugares de las raíces
Ejemplos de Lugares de las raíces
Ejemplos de Lugares de las raíces
Compensación
(diseño de la acción de control)
Que hacemos cuando el lugar de raíces no pasa por el lugar donde están
los polos correspondientes a las especificaciones?
Cambiamos al sistema por otro que sí cumpla
con las especificaciones!!
LO COMPENSAMOS:
“Le cambiamos el lugar geométrico de las raíces diseñando
un “COMPENSADOR” o una “ACCIÓN DE CONTROL” o un
“CONTROLADOR” (son sinónimos) adecuado.
Compensación
en cascada
Compensación mediante
realimentación
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Preguntas?