EFECTOS DE LA REALIMENTACIÓN

Ing. Miguel G. Alarcón
Octubre 2013
Cátedra Sistemas de Control
LA REALIMENTACIÓN AFECTA A…
 La respuesta a las perturbaciones y al ruido.
 La posición de los polos y la respuesta transitoria del
sistema.
 El ancho de banda del sistema.
 La sensibilidad con respecto a las variaciones de los
parámetros.
 La estabilidad.
PERTURBACIONES???
«Una perturbación es una señal que tiende a afectar
negativamente el valor de la salida de un sistema.»
lc(t): Carga, le(t): Esfuerzo central, n(t): Ruido
COMO AFECTAN LA SALIDA?
Utilizando superposición calcularemos como afectan las
diferentes perturbaciones a la salida del sistema.
Con respecto a la «carga»:
𝒀
𝟏
𝒔 =
𝑳𝒄
𝟏 + 𝑮𝒑 ∙ 𝑮𝑪 ∙ 𝑯
Con respecto al
«esfuerzo de control»:
𝑮𝒑
𝒀
𝒔 =
𝑳𝒆
𝟏 + 𝑮𝒑 ∙ 𝑮𝑪 ∙ 𝑯
RUIDO
Para realimentar un sistema, se dispone de una medición de la
salida del mismo y esa medición esta alterada por el ruido.
También el ruido se realimenta y perturba al sistema de
control. Veamos su influencia en la salida:
−𝑮𝒑 ∙ 𝑮𝑪 ∙ 𝑯
𝒀
𝒔 =
𝑵
𝟏 + 𝑮𝒑 ∙ 𝑮𝑪 ∙ 𝑯
CUAL ES EL EFECTO DESEADO?
Lo que se desea al implementar realimentación es reducir el
efecto que producen las perturbaciones y el ruido en la salida
del sistema.
Para obtener este efecto observamos las funciones de
transferencia calculadas previamente y concluimos que para
disminuir el efecto que produce la carga en la salida del
sistema:
𝒀
𝒔 → 𝟎 ⇔ 𝑮𝑳 (𝒔) ≫ 𝟏
𝑳𝒄
Para disminuir el efecto del esfuerzo de control:
𝒀
𝒔 → 𝟎 ⇔ 𝑮𝑳 (𝒔) ≫ 𝑮𝒑 (𝒔)
𝑳𝒆
Para disminuir el efecto del ruido:
𝒀
𝒔 → 𝟎 ⇔ 𝑮𝑳 (𝒔) ≪ 𝟏
𝑵
POSICIÓN DE LOS POLOS
La realimentación de un sistema puede mover los polos del
mismo hacia posiciones deseadas, pero no puede mover los
ceros de la planta.
𝑵𝒄 (𝒔)
𝑮𝒄 𝒔 =
𝑫𝒄 (𝒔)
𝑵𝒑 (𝒔)
𝑮𝒑 𝒔 =
𝑫𝒑 (𝒔)
𝑮𝒄 (𝒔) ∙ 𝑮𝒑 (𝒔)
𝑵𝒄 (𝒔) ∙ 𝑵𝒑 (𝒔)
𝒀
𝒔 =
=
𝑹
𝟏 + 𝑮𝒄 (𝒔) ∙ 𝑮𝒑 (𝒔) 𝑫𝒑 𝒔 ∙ 𝑫𝒄 𝒔 + 𝑵𝒄 (𝒔) ∙ 𝑵𝒑 (𝒔)
Supongamos un sistema de control de posición:
El motor produce un par T(s) proporcional a la señal E(s) y la
carga esta formada por la inercia del motor y la fricción D.
Así la función de transferencia de la planta será:
𝜽(𝒔)
𝑨/𝑱
𝑲
=
=
𝑬(𝒔) 𝒔(𝒔 + 𝑫 𝑱) 𝒔(𝒔 + 𝒂)
Calculando las raíces de lazo cerrado:
𝜃(𝑠)
𝐾
=
𝑅(𝑠) 𝑠 𝑠 + 𝑎 + 𝐾
𝑠1,2
𝑎
𝑎2
=− ±
−𝐾
2
4
Veremos que sucede al variar el valor de K:
𝑠1,2
𝑠1 = −𝑎
= 𝑠 =0
2
𝑠1,2
𝑎
=−
2
𝐾→∞
𝑠1,2
𝑎
=− ±𝑗 𝐾
2
𝑎2
𝐾<
4
𝑠1,2 : raíces reales negativas
𝑎2
𝐾>
4
𝑠1,2 : raíces complejas conjugadas
𝐾=0
𝑎2
𝐾=
4
Como se puede observar se
modifica la posición de los
polos al realimentar el
sistema y por consiguiente
también cambiará la
respuesta transitoria del
mismo ya que la forma de la
misma depende de la posición
de los polos de lazo cerrado.
ANCHO DE BANDA
«Ancho de banda se puede definir como la frecuencia en la
cual la magnitud de salida de un sistema es
aproximadamente 0,707 veces la magnitud de la salida a
muy baja frecuencia.»
SENSIBILIDAD
«La función sensibilidad es una variación porcentual de
alguna cantidad especifica del sistema tal como la ganancia
con respecto a la variación porcentual del parámetro del
sistema en cuestión.»
𝑆𝛼𝑀
% 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑀 𝛼 𝑑𝑀
=
= ∙
% 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝛼 𝑀 𝑑𝛼
𝑆𝑖 𝑀 = 𝑓(𝐺, 𝛼) ⇒ 𝑆𝛼𝑀 = 𝑆𝐺𝑀 ∙ 𝑆𝛼𝐺
𝑁(𝛼)
𝑆𝑖 𝑀 =
⇒ 𝑆𝛼𝑀 = 𝑆𝛼𝑁 − 𝑆𝛼𝐷
𝐷(𝛼)
Vemos la sensibilidad del sistema a lazo cerrado: