REGLAS DE CONSTRUCCION DEL LUGAR DE RAIC... 40KB Aug

REGLAS DE CONSTRUCCION DEL LUGAR DE RAICES
(1) Puntos de
origen (K =0)
(2) Puntos
terminales ( K → ∞ )
(3) Número de ramas
separadas
(4) Simetría del lugar
de las raíces
(5) Asíntotas del lugar
de las raíces para
s→∞
Los puntos de origen (K = O) del lugar de las raíces son los polos de G(s)H(s). (Los polos
incluyen los que se hallan en el plano s finito y en el infinito).
Los puntos terminales (K = +0) del lugar de las raíces son los ceros de G(s)H(s). (Los ceros
incluyen los que se hallan en el plano s finito y en el infinito).
Número de ramas N = Z si Z > P
Número de ramas N = P si Z < P
donde P = número de polos finitos de G(s)H(s)
Z = número de ceros finitos de G(s)H(s)
Los lugares de las raíces de los sistemas con funciones de transferencia racionales con
coeficientes constantes son simétricos con respecto al eje real del plano s.
Para grandes valores de s, las ramas del lugar de las raíces (K positiva) son asintóticas a rectas
con ángulos dados por
θk =
y para el lugar inverso de las raíces (K negativa)
θk =
(6) Intersección de las
asíntotas (centroide)
(7) Lugar de las raíces
sobre el eje real
(8) Ángulos de salida y
de llegada
(9) Intersección del
lugar de las raíces con
el eje imaginario
(10) Puntos de
separación (puntos
en silla de montar)
( 2k + 1) π
(P − Z )
( 2k ) π
(P − Z )
donde k = 0, 1, 2,..., hasta k = (P – Z) (exclusive).
(a) La intersección de las asíntotas tiene lugar sobre el eje real del plano s.
(b) El punto de intersección de las asíntotas sobre el eje real viene dado por (para todos los
valores de K)
σ1 = ∑
Polos de G ( s ) H ( s ) −∑ Ceros de G ( s ) H ( s )
(P − Z )
Un punto del eje real del plano s pertenece al lugar de las raíces (K positiva) si el número total de
polos y ceros de G(s)H(s) que hay a la derecha del punto considerado es impar. Si el número total
de polos y ceros a la derecha del punto es par, pertenece al lugar inverso de las raíces.
El ángulo de salida del lugar de las raíces (K positiva) de un polo (o el ángulo de llegada a un
celo) de G(s)H(s) puede determinarse suponiendo un punto s1 muy próximo al polo (o cero), que
pertenece a la rama asociada al polo (o cero) y aplicando la siguiente ecuación:
m
m+ n
i =1
j =1
G ( s1 ) H ( s1 ) = ∑ s1 + zi − ∑ s1 + p j = (2k + 1)π
Los valores de ω y K en los puntos de corte con el eje imaginario del plano s pueden obtenerse
utilizando el criterio de Routh-Hurwitz; para casos más complicados puede utilizarse el lugar de
Bode de G(s)H(s).
Los puntos de separación del lugar de las raíces (para todos los valores de K) se determinan
buscando las raíces de dK/ds= 0, o d[G(s)H(s)]/ds= 0 (condición necesaria solamente). Otra
posibilidad para determinar los puntos de separación del lugar de las raíces (para todos los
valores de K) es mediante la tabla del punto de separación utilizando los coeficientes de la
ecuación característica F(s) = 0 y F'(s) (necesaria y suficiente).
El valor absoluto de K en cualquier punto s1 del lugar de las raíces o del lugar inverso se
determina mediante la siguiente ecuación:
(11) Cálculo del valor
de K en el lugar de las
raíces
⎛ Producto de las longitudes de
⎞
⎜
⎟
⎜ todos los vectores trazados desde ⎟
⎜ los polos de G ( s ) H ( s ) a s
⎟
1
1
⎝
⎠
=
K =
G ( s1 ) H ( s1 ) ⎛ Producto de las longitudes de
⎞
⎜
⎟
⎜ todos los vectores trazados desde ⎟
⎜ los ceros de G ( s) H ( s ) a s
⎟
1
⎝
⎠