INTEL·LIGENT

COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA
ÁMBITO CIENTIFICO – TÉCNICO
MATEMÁTICAS
4ESO
2015/2016
SEK-CATALUNYA
COL·LEGI INTERNACIONAL
SISTEMA EDUCATIU SEK
Aula
INTEL·LIGENT
AUTO EVALUACIÓN DE SUCESIONES
Ámbito
Materia:
Científico – Técnico
Matemáticas
Alumno
1
Curso:
PAI
4ESO
COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA
ÁMBITO CIENTIFICO – TÉCNICO
MATEMÁTICAS
4ESO
2015/2016
2.-CRITERIOS DE EVALUACIÓN:
Se evaluará siguiendo los siguientes criterios: A, C,
2.1.-CRITERIO A: CONOCIMIENTO Y COMPRENSIÓN.
a) Identificar elementos pertinentes de la matemática.
b) Seleccionar estrategias apropiadas y contenidos matemáticos para resolver
problemas.
c) Aplicar debidamente las estrategias para la resolución de problemas y
comprobar la precisión de los resultados, cuando se realizan aproximaciones en
la obtención de la solución.
d) Describir si la solución tiene sentido en el contexto del problema.
2.2.-CRITERIO C: COMUNICACIÓN.
a) Usar el lenguaje matemático apropiado (notación, símbolos y terminología) en
explicaciones tanto orales como escritas.
b) Comunicar líneas de razonamiento matemático completas, coherentes y
concisas.
c) Organizar la información empleando una estructura lógica.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN:
CRITERIO A:CONOCIMIENTO Y COMPRENSIÓN.
NIVEL DE LOGRO
0
1-2
3-4
5 -6
DESCRIPTOR
El alumno no alcanza ninguno de los
niveles especificados por los descriptores
que se exponen a continuación.
El alumno intenta hacer deducciones al
resolver problemas sencillos en contextos
conocidos.(Resuelve el ejercicio 1 y 2)
En ocasiones, el alumno hace
deducciones adecuadas al resolver
problemas
sencillos y de carácter más complejo en
contextos conocidos.(El alumno resuelve
el ejercicio 3 y 4 )
Por lo general, el alumno hace
deducciones adecuadas al resolver
problemas que
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plantean un desafío en una variedad de
contextos conocidos.( El alumno resuelve
el ejercicio 5 y 6)
El alumno hace deducciones adecuadas
en todo momento al resolver problemas
que plantean un desafío en una variedad
de contextos, incluidas situaciones
desconocidas .( El alumno es capaz de
resolver el ejercicio 7 y 8)
CRITERIO C: COMUNICACIÓN:
NIVEL DE LOGRO
0
1-2
3-4
5-6
DESCRIPTOR
El alumno no alcanza ninguno de los
niveles especificados por los
descriptores que se figuran a
continuación.
El alumno es capaz de:
1.-Usar un lenguaje matemático
limitado.
2.-Usar formas de representación
limitadas para presentar la información.
3.-Comunicar líneas de razonamiento
que son difíciles de interpretar.
El alumno es capaz de:
1.-Usar cierto lenguaje matemático
apropiado.
2.-Usar formas de representación
apropiadas para presentar la
información adecuadamente.
3.-Comunicar líneas de razonamiento
completas.
4.-Organizar información
adecuadamente empleando una
estructura lógica.
El alumno es capaz de:
1.-Usar normalmente lenguaje
matemático apropiado.
2.-Usar normalmente formas de
representación apropiadas para
presentar información correctamente.
3.-Cambiar normalmente de unas
formas de representación matemática a
otras.
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4.-Comunicar líneas de razonamiento
completas y coherentes.
5.-Presentar su trabajo organizado
normalmente empleando una
estructura lógica.
El alumno es capaz de:
1.-Usar sistemáticamente lenguaje
matemático apropiado.
2.-Usar formas de representación
matemática apropiadas para presentar
información correctamente de manera
sistemática.
3.-Cambiar de unas formas de
representación matemática a otras
eficazmente.
4.-Comunicar líneas de razonamiento
completas, coherentes y concisas.
5.-Presentar su trabajo organizado
sistemáticamente empleando una
estructura lógica.
1.- De una sucesión aritmética determina se conocen dos términos:
a2  2, a7  27
Responde a las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es el término general?
Como tenemos la seguridad de que es una sucesión aritmética aplicaremos el
término general:
an  a1  d (n  1)
Como tenemos dos datos y necesitamos dos variables que son el primer término y la
diferencia vamos a establecer un sistema para determinarlos:
a n  a1  d (n  1)
a 2  2  a1  d (2  1)  2  a1  d 

  d  2  a1
a 7  27  a1  d (7  1) 27  a1  6d 
27  a1  6(2  a1 )  27  a1  12  6a1  27  12  5a1
15  5a1  a1  3  d  5
a n  a1  d (n  1)  a n  3  5(n  1)  5n  8
b) ¿Cuál es el término que se encuentra en la posición 200?
En este caso conocido el término general sustituimos n por 200:
an  5n  8
a200  5·200  8  992
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c) ¿Cuánto vale la suma de los 150 primeros términos de la sucesión?
Por ser aritmética:
Sn 
(a1  an )n
(a  a )150 (3  5·150  8)150
 S150  1 150

 55425
2
2
2
2.- Para la siguiente sucesión:
1 1
3,1, , ,....
3 9
a) Justifica de qué tipo es y determina la expresión de su término general.
En este caso podemos ver que es una progresión geométrica:
a2 1 a3 1 / 3 1 a4 1 / 9 1
 

 

 r
a1 3 a2
1
3 a3 1 / 3 3
Entonces como el primer término es 3:
an  a1r
n 1
1
 3· 
 3
n 1
1
 3· n1  3·31n  32n
3
b) ¿Cuál es el término que ocupa la posición 20?
Utilizando el término general:
a20  3220  318  0,00000000258  2,58·109
c)¿Cuánto vale la suma de los 20 primeros términos?
Como es una progresión geométrica la fórmula para la suma es:
a (1  r n )
3(1  (1 / 3) 20 ) 9
Sn  1
 S 20 
 (1  (1 / 3) 20 )  4,499999999
1
1 r
2
1
3
d)¿Es convergente?¿por qué?
Lo es porque es una progresión geométrica de razón comprendida entre -1 y 1.
d) En el caso de que lo sea, determina el valor de la suma de los infinitos
términos que la componen.
a
3
9
S  1 

1
1 r 1
2
3
Vemos que es convergente y además tiende hacia 4,5 de forma muy rápida ya
que podemos ver como la suma de los primeros veinte términos está muy cerca
del valor final de la suma.
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3.- Un médico le ha recetado a un paciente, para superar una determinada
enfermedad, que tome un medicamento en las siguientes dosis. El primer día
debe tomar 100 mg y desde el segundo en adelante la dosis debe ser 5 mg
menos que el día anterior. El tratamiento le ha sido prescrito para 12 días.
a) ¿Cuántos mg debe tomar el día séptimo de tratamiento?
Lo primero que tenemos que hacer es determinar el tipo de sucesión:
100,95,90,85…….
Vemos como entre cada término hay una diferencia de -5 por lo tanto es
aritmética. Luego el término general será:
an  a1  d (n  1)  100  5(n  1)  105  5n
Luego:
a7  105  5·7  105  35  70mg
b)¿Cuántos mg en total de medicamente habrá tomado al final del
tratamiento?.
Como nos pide la cantidad total de medicamente me está pidiendo la suma de
todos los términos de la sucesión, que son 12 ya que el tratamiento dura 12
días.
(a  a )12 (100  105  5·12)12
S12  1 12

 870mg
2
2
4.- Una nadadora entrenó todos los días durante tres semanas. El primer día
nadó 15 minutos, y cada día nadaba 5 minutos más que el día anterior.
¿Cuánto tiempo nadó el último día? ¿Y a lo largo de las tres semanas?
Estudiemos primero la sucesión:
15,20,25,30…….
Vemos que es aritmética de diferencia 5 y primer término 15, luego el término
general será:
an  a1  d (n  1)  15  5(n  1)  10  5n
Donde n representa el día.
El tiempo que nadó el último día sería el término correspondiente a la posición 21:
a21  10  5·21  10  105  115m int  1hora _ 55 _ m int
Durante toda la semana, es la suma de los 21 términos que componen la sucesión:
(a  a )21 (15  115)21
S 21  1 21

 1365m int  22horas _ 45m int
2
2
5.- Un estudiante trabaja de cartero para ayudarse con sus estudios. Cada día
es capaz de repartir 30 cartas más que el día anterior. En el vigésimo día
repartió 2.285 cartas:
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a)¿Cuántas cartas repartió el primer día? ¿Y el décimo?
Veamos qué tipo de sucesión es: Por los datos que tenemos es aritmética con
una diferencia de 30, cada día 30 más que el anterior. Necesitamos conocer el
primer término, esto lo podemos hacer con un dato, sabemos que el término
que se encuentran en la posición veinte es 2285:
a20  2285  a1  30(20  1)
2285  a1  570  a1  1715cartas 
 an  1715  30(n  1)  1687  30n
Y ahora el décimo es a_10:
a10  1687  30·10  1987cartas
b)¿En qué día repartió 2165 cartas?
Como conocemos el término general, nos preguntan en qué posición se
encuentra el término 2165:
an  2165  1687  30·n
30n  2165  1687  478
478
n
 15,93  16
30
c)Calcula cuántas cartas repartió hasta el día 15.
Hasta significa en total, sumemos los 15 primeros términos:
(a  a )15 (1715  1687  30·15)21
S15  1 15

 40446cartas
2
2
6.- Escribe los cinco primeros números impares y luego responde a las
siguientes cuestiones:
a) ¿Qué tipo de sucesión es y cuál es su término general?
1,3,5,7,9…..
Es una sucesión aritmética de diferencia 2 y primer término 1:
an  1  2(n  1)  2n  1
b) ¿Cuánto vale la suma de los 300 primeros impares?
(1  2·300  1)300
S300 
 90000
2
c)¿Es posible sumar una determinada cantidad de números impares y obtener
como resultado de la suma 62750?
En este caso tenemos que calcular cuántos tenemos que sumar, n, para que la
suma valga el valor dado:
(1  2n  1)n
2n 2
Sn 
 63750 
 n2
2
2
n  62750  250,499
Como n no ha dado un número entero significa que no es posible sumar una cantidad
entera de números impares y obtener el resultado pedido.
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7.- Una rana se encuentra en la orilla de un lago de forma circular y desea
llegar saltando desde la orilla hasta el centro del lago. Decide dar un primer
salto de 2m y luego los siguientes que sean la mitad del anterior. Si el lago
tiene un diámetro de 20 metros, con esta táctica ¿llegará exactamente al centro
del lago?
La rana decide intentar llegar al centro dando saltos en progresión geométrica
con un primer salto de 2 metros y luego una razón de 0,5. Si quiere llegar al
centro debe recorrer una distancia de 10 metros, luego la suma de la distancia
recorrido con n saltos, no sabemos cuántos, debe ser exactamente 10m. Luego
tenemos que determinar cuántos saltos, el valor de n, tiene que dar para que la
suma sea 10:
2(1  0,5n )
Sn 
 4(1  0,5n )  10
1  0,5
Como la variable se encuentra en el exponente tenemos que resolver por iteración. Pero
podemos ver que la progresión es geométrica luego si diera infinitos saltos la distancia
recorrida sería:
2
S 
 4m
1  0,5
Luego la rana se moriría dando saltos y no llegará nunca al centro, al final
recorrerá una distancia de 4 metros quedándose a 6 metros de su objetivo.
8.- Tenemos un dinero ahorrado de 10000 € y los queremos poner en un banco
durante 5 años. El banco nos ofrece un interés del 3% anual. ¿Cuánto dinero
recogeremos al final y qué cantidad del total recogido serán nuestras ganancias
si?
a) El interés se compone anualmente.
En este caso tenemos:
C  Co (1  i) n  10000(1  0,03)5  11592,75€
Esta es la cantidad total recogida, como de la misma 10000 euros eran la inversión
inicial hemos ganado la diferencia 1592,75€
b) El interés se compone trimestralmente.
En este caso cada año tiene 12/3=4 trimestres, el interés compuesto
trimestralmente será de ¾% y el número de períodos que dejaremos el dinero
es de 5·4=20 trimestres:
C  Co (1  i) n  10000(1  0,75 / 100) 20  11611,84€
La diferencia respecto al capital inicial es de 1611,84€
d) El interés se compone semestralmente.
En este último caso el número de períodos semestrales en un año es de
12/6=2 por lo tanto el interés pagado semestralmente es de 3/2%=1,5%
y el número de períodos que dejaremos el dinero es de 5·2=10
semestres:
C  Co (1  i) n  10000(1  1,5 / 100)10  11605,41€
Y la ganancia es de 1605,41€
8