f x c = ( ) 0

Sec. 3.1 Derivadas de Polinomios y Funciones
Exponenciales
En esta sección vamos a aprender a derivar funciones
constantes de potencias, polinomiales y exponenciales.
Vamos a empezar con la función más sencilla la función
constante.
f ( x) = c.
y=c
Derivada de una función constante
d
(c) = 0
dx
Funciones de Potencias
Vamos a ver las funciones
f ( x ) = xn ,
donde n es entero
positivo.
d
( x) =
dx
n=1
y=x
n=2
d 2
x )=
(
dx
Regla de Potencia
Si n es un entero positivo,
entonces
d n
(x ) =
dx
Demostración:
Ejemplo
Halle la derivada de:
5
f
x
=
x
(
)
1.
d 7
2. dt ( t )
En general: Si n es cualquier número real, entonces
d n
(x ) =
dx
Ejemplo
Halle la derivada de:
1
f
x
=
(
)
1.
x
5 3
y
=
x
2.
5
3. f ( x ) = 3
−7
f
x
=
x
(
)
4.
Ejemplo
Halla la ecuación de la recta tangente y la recta normal a
3
y
=
x
x en x = 1.
la gráfica de
Nuevas derivadas
Regla del múltiplo constante
Si c es constante y f es
una función diferenciable, entonces
d
d
f ( x)
 cf ( x ) = c
dx
dx
Demostración
Regla de suma
Si f y g son funciones diferenciables,
entonces
d
d
d
f ( x) + g ( x)
 f ( x ) + g ( x ) =
dx
dx
dx
Regla de diferencia
Si f y g son funciones
diferenciables, entonces
d
d
d
f ( x) − g ( x)
 f ( x ) − g ( x ) =
dx
dx
dx
Ejemplo
Halle la derivada de:
3
y
=
3
x
1.
5 4
3
f
x
=
x
−
x
+
π
3
(
)
2.
2
2
4 5
y
=
−t
3
3.
t
4. g ( a ) = ( 3a + 1)
2
Ejemplo
2
Halla y ''' si y = 5 − 3x + 7 x .
Ejemplo
La ecuación de movimiento de una partícula es
s = 3t 4 − 2t 3 − 12t 2 + t donde s se mide en metros y t en
segundos.
1. Encuentra la velocidad y la aceleración como
función de t.
2. Encuentra la aceleración después de 2 segundos.
3. Encuentra la velocidad cuando la aceleración es 0.
Ejemplo
x2
Encontrar los puntos de la curva y = x + 2 − 2 x + 5
3
donde la recta tangente es horizontal.
Funciones exponenciales
Se halla la derivada de la función exponencial
usando la definición de la derivada.
f ( x) = ax
Definición del Número e
e es el número tal que
eh − 1
lim
=1
h→0
h
Derivada de la Función Exponencial Natural
d x
e ) = ex
(
dx
Ejemplo
Halla la derivada:
1 − 23
x
y
=
−
x
−
3
e
1.
2
x −1
3
f
x
=
e
+
e
(
)
2.
Ejemplo
x
y
=
e
Encuentre los puntos de la curva
donde donde la
tangente es paralela a recta con ecuación. y = 2 x
Ejemplo
Prob. 71 Encuentra la parábola con ecuación
y = ax 2 + bx. cuya recta tangente en (1,1) tiene ecuación.
y = 3x − 2.