Γ ∫∞ 3

EJERCICIOS DE CÁLCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS COMO APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES
EULERIANAS Y DE LA INTEGRACIÓN POR DERIVACIÓN RESPECTO DE UN PARÁMETRO.
CALCULAR:
1.
∫
5.
dx
1
1− x4
0
∫
∫
2.
.
tan x dx.
3
0
∫
6.
.
1− 4 x
0
π
2
dx
1
∫
π
3.
0
3
0
cos 3 x
5
6
⎛ 1⎞
x ⎜ ln ⎟ dx.
⎝ x⎠
1
sen 5 x
3
2
∫
7.
a
4.
∫
π
dx
2
0
cos x
.
a 2 − x 2 dx. (a > 0)
x2
0
dx.
x m −1
∫0
∫0
∫0 1 + x n dx. (0 < m < n)
π
1
dx
dx
12.
.
13.
. (n ∈ N )
11. ∫
.
∫
∫
3 3
0
0 n
0
x
x−3
3 − cos x
1− xn
14. Nuevas expresiones de B ( p, q) en los casos en que los límites de la integral sean:
i) (a, ∞). (a ≠ 0) ii) (0, ∞).
8.
15.
∫
19.
∫
23.
∫
2− x
5
( x − 2) 3
0
∫
0
39.
∫∫∫
∞
Ω
M
∫
2
0
30.
∫
∞
0
∞
dx
3
. 21.
x − 2 e − x dx. 25.
∫
∞
x
∫
0
∫
∞
0
x−3
3
8
0
(
dx
x 2− x
)
∫
2π n
n→∞
1
3
− 14
1
0
∞
dx
0
x
dx. 22.
x5
1
∫
. 18.
( x − 1) 4
∞ 3
28. lim
1+ x2
3
∫
∫ (log x )
1
. 26.
x2
∞
0
0
.
(1 + x 5 ) 3
n
dx.
dx. (n par )
(1 − x 2 ) n dx. (n ∈ N )
m
x
dx. (a > 0; b > 0; n > 0)
(a + bx n ) p
x log x
dx. 35.
1 + x3
log Γ( x) sen π x dx. 37.
0
∫
∞
10.
sen m −1 x
dx. (n > 0), (0 < k < 1)
(1 + k cos x) n
log 2 x
dx. 34.
1+ x4
∫
x 3 ( x − 4)
4
x
dx. (n > 0)
1+ xn
∞
1
dx
m −1
∞
36.
∞
n
0
0
1− x
dx. 17.
1+ x
x a (log x ) dx. (a > 0; n∈ N )
1
0
∞
2
1
x 2 e − x dx. 24.
2
x 2 n e − x dx. (n ∈ N )
−1
∫
5− x
40. ∫∫∫
∫
dx. 20.
2
∞
∞
9.
dx. 16.
0
∫
∫
x2
2
∫
31.
33.
x
dx.
(1 + x) 2
∞
dx
∫
27.
29.
4
∞
∫
∞
0
32.
∫
∞
0
x p −1 log x
dx. (0 < p < 1)
1+ x
x p −1 − x q −1
dx. (0 < p, q < 1)
(1 + x) log x
x p −1
dx. (0 < p < 2) 38.
(1 + x) 2
∫
∞
0
x log x
dx.
(1 + x) 2
dx dy dz
. Ω : 0 < x, y , z < π
1 − cos x cos y cos z
⎛1 1 1
⎞
dx dy dz
. M : x, y, z > 0. (α , β , γ > 0); ⎜⎜ + + < 1⎟⎟
α
β
γ
1+ x + y + z
⎝α β β
⎠
n
41. Probar que
∏∫
m =1
∞
0
x
m −1
⎡ 1
42. Probar que Lim+ ⎢ ∫
t →0 ⎢ 0
⎣
e
− xn
⎛1⎞
dx = ⎜ ⎟
⎝n⎠
n −1
(2 π ) 2 . (n ∈ N )
⎤ Γ´(1) Γ(1 3) − Γ´(1 3)
Γ´(1 3) ⎞
1⎛
⎟.
+ log t ⎥ =
= − ⎜⎜ γ +
Γ(1 3) ⎟⎠
3 Γ(1 3)
3⎝
⎥⎦
x3 + t 3
dx
3
n + 12