Repaso de Matemticas

Repaso de Matemáticas
En este apéndice se hará un breve repaso de las ecuaciones y fórmulas básicas de utilidad en
Química Física en general y en Termodinámica Química en particular.
EXPONENTES Y POTENCIAS
Muchos números se expresan en forma más conveniente como potencias de 10. Por ejemplo:
1 = 100 0,1 = 10−1 0, 00001 = 10−5 1000 = 103 3,1623 = 100,5
En general se escribe an, donde a es la base y n el exponente. Las siguientes relaciones son de
utilidad:
m
n
m+n
Operación: a ·a = a
am
= a m−n
n
a
( a m ) = a m·n
n
100,2
= 10−2,8
3
10
0
Hay que observar que a = 1 para todos los valores de a, excepto para a=0, y que 0n = 0 y
1n = 1 , para todos los valores de n.
Ejemplo: 100,2 ·103 = 103,2
(10 )
0,2 3
= 100,6
LOGARITMOS
El concepto de logaritmo es una extensión natural de los exponentes. El logaritmo de base a de
un número x es un número igual al exponente y al cual debe elevarse el número base a para que
x = ay. Por tanto, si
x = a y entonces y = log a x
Ejemplo, como 34 = 81 se cumple que 4 = log 3 81
Análogamente, para el logaritmo de base 10:
Logaritmo log10 1 = 0
Exponente 100 = 1
log10 2 = 0,30103
100,30103 = 2
log10 10 = 1
101 = 10
log10 100 = 2
log10 0,1 = −1
102 = 100
10-1 = 0,1
El logaritmo de base 10 recibe el nombre de logaritmo común y por convenio se usa la notación
log a en lugar de log10 a.
Como los logaritmos de los números son exponentes, tienen las mismas propiedades que los
exponentes:
A
Logaritmo log A·B = log A + log B
log = log A − log B log An = n·log A
B
10 A
A
B
A+ B
Exponente
10 ·10 = 10
= 10 A− B
B
10
Los logaritmos de base e se conocen con el nombre de logaritmos naturales o neperianos. El
número e está dado por:
1 1 1
e = 1 + + + + ... = 2, 71828182845... 2, 7183
1! 2! 3!
En Química Física es de gran importancia la función exponencial y = ex. Tomando el logaritmo
común en ambos miembros:
log y = x·log e = ln y·log e = 0, 4343·ln y
o bien
ln y =
log x
= 2,3026·log x
log e
ya que x = lny.
Análogamente, si y = 10x, tomando el logaritmo neperiano:
ln y = x ln10 = 2,303 x = 2,303log y
ya que x = logy.
ECUACIONES SIMPLES
Ecuación lineal. Una ecuación lineal se representa por y = mx + b
La representación de y frente a x da una línea recta de pendiente m y ordenada en el origen b.
Ejemplo:
Ecuación de una recta que pasa por dos puntos. La ecuación de la recta que pasa por los
puntos (x1 y1) y (x2 y2) es:
y −y
x y −x y
y = 2 1 x+ 2 1 1 2
x2 − x1
x2 − x1
Ecuación cuadrática. Una ecuación cuadrática toma la forma y = ax 2 + bx + c donde a, b y c
son constantes y a≠0. Los valores de x que hacen cero a y son:
x=
−b ± b 2 − 4ac
2a
La representación de y frente a x da
lugar a una parábola como, por ejemplo, la que se muestra en la figura
adjunta:
VALORES MEDIOS
Si se repite la medida de un experimento, se suele obtener un valor diferente de la lectura
precedente y resulta adecuado representar el resultado como la media le estos dos números. El
valor medio más común es la media aritmética. Para dos lecturas a y b, la media aritmética está
dada por (a+b)/2. Hay ocasiones en que las lecturas no varían en forma aleatoria. En estos casos,
se considera la media geométrica. La media geométrica de dos números a y b está dada por
(a·b)1/2.
SERIES Y DESARROLLOS EN SERIE
Serie aritmética
1, 2, 3, 4,...
ó
a, 2a, 3a, 4a, ...
ó
a, 2a, 4a, 8a, ...
Serie geométrica
1, 2, 4, 8,...
Desarrollo en serie de un binomio
(1 + x )
n
= 1 + nx +
n(n − 1) 2 n(n − 1)(n − 2) 3
x +
x + ...
2!
3!
Desarrollo en serie exponencial
e± x = 1 ±
x x 2 x3
± ± ± ...
1! 2! 3!
e± ax = 1 ±
ax (ax) 2 (ax)3
±
±
± ...
1!
2!
3!
Desarrollo en serie trigonométrico
x3 x5 x 7
sen x = x − + − + ...
3! 5! 7!
x2 x4 x6
cos x = 1 − + − + ...
2! 4! 6!
Desarrollo en serie logarítmico
ln (1 + x) = x −
x 2 x3 x 4
+ − + ...
2 3 4
ÁNGULOS y RADIANES
La unidad común de la medida angular es el grado, el cual se define como 1/360 del círculo
completo. En Química Física se encuentra que con frecuencia es más conveniente utilizar otra
unidad, llamada radián (rad). La relación entre ángulo y radián puede entenderse de la manera
siguiente. Considérese cierta porción de la circunferencia de un círculo de radio r. La longitud del
arco (s) es proporcional al ángulo θ y el radio r de modo que:
s = r ·θ
Si se considera el círculo completo como el arco, entonces:
s = 2π r
ó
2π = θ
Esto significa que θ = 2π radianes corresponde a θ = 360º. Por tanto:
1 rad =
360º
360º
= 57,3º
2π
2·3,1416
Por otra parte,
2π
2·3,1416
= 0, 0174 rad
360º
360º
Es importante recordar que aun cuando el radián es una unidad de medida angular, no tiene
dimensiones físicas. Por ejemplo, la circunferencia de un círculo de radio de 5 cm tiene una
longitud dada por:
2π (rad) x 5 cm = 31,42 cm
1º =
ÁREAS y VOLUMENES
Triángulo. Considérese un triángulo con lados a, b, c y altura h (con el lado a como base). El
área está dada por:
A = a·h / 2
Si a, b y c son los lados de un triángulo rectángulo y c es la hipotenusa, entonces:
c2 = a 2 + b2
Rectángulo. El área de un rectángulo de lados a y b es ab
Paralelogramo. El área de un paralelogramo de lados a y b es ah es donde distancia perpendicular entre los dos lados cuyas longitudes son a
Círculo. La longitud de una circunferencia es 2πr y el área del círculo es πr2, donde r es el radio.
Esfera. El área de la superficie de una esfera de radio r es 4πr2 y el volumen 4/3πr3.
Cilindro. El área de la superficie curva de un cilindro de radio r y longitud h es 2πrh y el
volumen del cilindro es πr2h.
Cono. El área de la superficie curva de un cono es πrl, donde r es el radio de la base y l es la
altura oblicua. El volumen del cono es 1/3r2h donde h es la altura vertical.
OPERADORES
Un operador es un símbolo matemático que dice en forma específica qué es lo que hay que hacer
con un número o función. Algunos ejemplos de operadores son los siguientes:
Operador Función o número
log
Forma final
24,1
log 24,1=1,382
974,2
974, 2 = 31, 21
sen
61,9º
sen 61,9º=0,882
cos
X
cos x
d /dx
e kx
dekx / dx = ke kx
CÁLCULO DIFERENCIAL
Funciones de Variables Simples. Las siguientes son derivadas de algunas funciones comunes.
y = f ( x)
dx / dy
xn
ex
e kx
sen x
sen (ax + b)
cos x
cos (ax + b)
ln x
ln( ax + b)
nx n −1
ex
ke kx
cos x
a cos (ax + b)
− sen x
−a sen (ax + b)
1/ x
a /(ax + b)
Derivadas parciales
Si una función tiene más de una variable, entonces deben utilizarse derivadas parciales para ver
cómo varía esta función con una variable en particular.
En general, si se tiene que:
y = f ( x1 , x2 , " )
entonces la derivada parcial de y con respecto a x1 debe escribirse de la manera siguiente:
⎛ ∂y ⎞
⎜
⎟
⎝ ∂x1 ⎠ x2 , x3 ,"
Por ejemplo, en la ecuación de Van der Waals:
P=
nRT
an2
− 2
V − nb V
es decir
P = f (V , T )
para ver cómo varía la presión con la temperatura se escribe:
nR
⎛ ∂P ⎞
⎜
⎟ =
⎝ ∂T ⎠V V − nb
Derivadas totales
Considérese el caso en el que las variables independientes de una función deben hacerse variar en
forma simultánea. De nuevo se utilizará la ecuación de Van der Waals como ejemplo.
La diferencial total dP se relaciona con las diferenciales dV y dT en la forma:
⎡
nR
nRT
2an 2 ⎤
⎛ ∂P ⎞
⎛ ∂P ⎞
+
=
+
−
+
dP = ⎜
d
T
d
V
d
T
⎟
⎜
⎟
⎢
⎥ dV
2
V − nb
V3 ⎦
⎝ ∂T ⎠V
⎝ ∂V ⎠T
⎣ (V − nb)
Tanto las derivadas parciales como las totales se aplican extensamente en Química Física, en
especial en Termodinámica.
Diferenciales exactas e inexactas
Se dice que la expresión:
dF ( x, y ) = M ( x, y )dx + N ( x, y )dy
es una diferencial exacta si se satisface la siguiente condición:
⎛ ∂M ⎞ ⎛ ∂N ⎞
⎜
⎟ =⎜
⎟
⎝ ∂y ⎠ x ⎝ ∂x ⎠ y
La importancia de las diferenciales exactas e inexactas es que si df es una diferencial exacta,
entonces el valor de la integral siguiente sólo depende de los límites de integración; esto es:
∫
f2
f2
df = f 2 − f1
mientras que si df es una diferencial inexacta, entonces:
∫
f2
f2
df ≠ f 2 − f1
Algunas integrales útiles
1
∫ x dx = 1 + n x
n
n +1
+C
dx
= ln x + C
x
dx
1
∫ ax + b = a ln(ax + b) + C
∫
∫ sen x dx = − cos x + C
∫ cos x dx = sen x + C
∫ ln xdx = x ln x − x + C
∫ e dx = e + C
x
x
e kx
+C
k
Como las integrales son indefinidas, debe agregarse un término constante C a los resultados.
kx
∫ e dx =