Tema 2. Funciones elementales de variable compleja

CÁLCULO IV (0270)
Tema 2. Funciones elementales de variable compleja – Junio 2016
1. Pruebe que
a. e(2 ± 3πi) = −e2
b. e(z + πi) = −ez
( 2 + πi )
4
c. e
2
d. ez
=
≤e
e
(1
2
z
+ i)
2
e.
e−2z < 1 si y sólo si Re(z) > 0
f.
eiz = eiz si y sólo si z = kπ , k ∈ Z
g. si ez es real, entonces Im(z) = kπ , k ∈ Z
2. ¿Cómo debe ser z para que ez sea imaginario puro?
3. Describa el comportamiento de ez cuando x tiende a −∞ y luego cuando x tiende a +∞ .
4. Escriba Re(e1/z ) en términos de x e y.
5. Pruebe que la fórmula de Euler es válida si θ se sustituye por z, es decir eiz = cos(z) + isen(z) .
6. Demuestre que
a. senh(2z) = 2senh(z).cosh(z)
b. senh(z + πi) = −senh(z)
c. cos h(z + πi) = − cos h(z)
d. tanh(z + πi) = tanh(z)
7. Para cada caso, halle todas las raíces de la ecuación:
a. senh(z) = i
b. cos h(z) =
1
2
Rta. (2k + 12 )πi , k ∈ Z
Rta. (2k ± 13 )πi , k ∈ Z
8. Pruebe que
a. log(−ei) = 1 − 2π i
b. log(e) = 1 + 2kπi , k ∈ Z
c. log(i) = (2k + 12 )πi
d. L og(1 + i)2 = 2L og(1 + i)
e. L og(−1 + i)2 ≠ 2L og(−1 + i)
f.
2
1 + i
log 
 = (1 + 4k)π , k ∈ Z
i
1 − i 
 3 
 i1121 

 1 
g. log 
= ln 
+  arctg 
+ 2kπ  , k ∈ Z







 2

 1 + 2i 
 3  
Prof. José Luis Quintero
1
− 1)2 + y2  , z ≠ 1

i. si Re(z1 ) > 0 y Re(z2 ) > 0 , entonces L og(z1z2 ) = L og(z1 ) + L og(z2 )
h. Re log(z − 1) =
1
ln (x
2

9. Halle todas las raíces de la ecuación log(z) =
π
2
Rta. z = i
i.
10. Demuestre que para cualquier par de números complejos no nulos z1 y z2 ,
L og(z1z2 ) = L og(z1 ) + L og(z2 ) + 2Nπi ,
donde N toma alguno de los valores 0, ±1 .
11. Pruebe que (−1)i/ π = e(2k +1)π , k ∈ Z .
12. Calcule log2 − 2i(1 + i) .
13. Pruebe que (−1)i/ π = e(2k +1)π , k ∈ Z .
14. Halle el valor principal de
a. ii
b. (1 − i)4i
Rta. e−π /2
Rta. eπ cos(2 ln(2)) + isen(2 ln(2))
15. Pruebe que (i2 )i ≠ i2i .
Prof. José Luis Quintero
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