control 1 - Universidad de Talca

CONTROL 1
Universidad de Talca. Cálculo I. (2013-2)
Un Nombre y los dos apellidos
CON LETRA MAYúSCULA y CLARA
Rut
Firma
ACTIVIDADES
Resolver las siguientes integrales
Z arctan x
e
1) [15 pts]
dx
1 + x2
Z
z3
√
2) [15 pts]
dz
4 − z2
Z
3) [15 pts]
Z
4) [15 pts]
t2 · ln t dt
x2 + 5x + 1
dx
(x − 4)3
Duración = 60 minutos
DESARROLLO
1) Haciendo u = arctan x =⇒ du =
Z
earctan x
1 + x2
dx
1 + x2
Z
dx = eu du = eu + C = earctan x + C
Observación: Esta integral también se puede resolver usando el cambio de variable
u = earctan x
z 2 2
z
2) Notar que 4 − z 2 = 4 1 −
=4 1−
4
2
Haciendo
Z
z
= sen α =⇒ dz = 2 cos α dα
2
z3
√
dz =
4 − z2
Z
z3
Z
8 sen3 α
√
· 2 cos α dα
2 1 − sen2 α
Z
8 sen3 α
· 2 cos α dα
2 cos α
s dz =
z 2 4 1−
2
=
Z
8 sen3 α dα
=
Z
(1 − cos2 α) sen α dα
Z
Z
= 8
sen α dα − 8 sen α cos2 α dα
= 8
8
= −8 cos α + cos3 α + C
3
√
√
3
2
8
4−z
4 − z2
+
= −8
+C
2
3
2
3
√
1 √
4 − z2 + C
= −4 4 − z 2 +
3
Observación: Esta integral también se puede resolver usando:
el cambio de variable z = 2 cos α
el cambio de variable u = 4 − z 2
√
el cambio de variable v = 4 − z 2
integración por partes, eligiendo u = z 2 , y
dv = √
z
dz
4 − z2
A continuación se muestra la última opción (integración por partes), recién comentada:
u = z 2 =⇒ du = 2z dz
√
z
dv = √
dz =⇒ v = − 4 − z 2
4 − z2
Z
√
z3
√
dz = −z 2 4 − z 2 + 2
4 − z2
Z
√
√
2
z 4 − z 2 dz = −z 2 4 − z 2 − (4 − z 2 )3/2
3
3) Por integración por partes:
u = ln t =⇒ du =
dv = t2 dt =⇒ v =
Z
t3
t · ln t dt = · ln t −
3
2
Z
dt
t
t3
3
t3 dt
t3
1
·
= · ln t −
3 t
3
3
Z
t2 dt =
t3
1
· ln t − t3 + C
3
9
4) Por fracciones parciales:
x2 + 5x + 1
B
A
C
+
=
+
3
2
(x − 4)
x − 4 (x − 4)
(x − 4)3
Luego
x2 + 5x + 1 = A(x − 4)2 + B(x − 4) + C
Si x = 4 =⇒ 42 + 20 + 1 = C =⇒ C = 37
Si x = 0 =⇒ 1 = 16A − 4B + 37 =⇒ 16A − 4B = −36
Si x = 1 =⇒ 7 = 9A − 3B + 37 =⇒ 9A − 3B = −30
Por lo tanto
16A − 4B = −36
=⇒ A = 1 , B = 13
9A − 3B = −30
Entonces
Z
x2 + 5x + 1
dx =
(x − 4)3
Z
Z
Z
dx
13
37
13
37
+
dx+
dx = ln |x−4|−
−
+C
2
3
x−4
(x − 4)
(x − 4)
x − 4 2(x − 4)2
Observación: Esta integral también se puede resolver usando el cambio de variable u = x − 4