Series de Tiempo 2015 Mini-Proyecto 2 1. Sea Yt un proceso

Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Matemáticas
Departamento de Estadı́stica
Series de Tiempo
2015
Mini-Proyecto 2
1. Sea Yt un proceso estacionario de segundo orden de media cero, con función de autocovarianza (·) absolutamente sumable. Se define la ordenada del periodograma IN ( ) como:
IN ( ) = {A( )}2 + {B( )}2 ,
2 ( ⇡, ⇡],
donde
A( ) =
r
N
1 X
Yt cos( t),
2⇡N
B( ) =
t=1
r
N
1 X
Yt sin( t).
2⇡N
t=1
a) Verifique que la expresión anterior puede escribirse como
N
1 X
IN ( ) =
Yt e
2⇡N
2
it
.
t=1
b) Muestre de a) que
1
IN ( ) =
2⇡
(
b(0) + 2
N
X1
t=1
2. Suponga que Xt es un proceso ARMA(p, q)
(1
1B
donde "t ⇠ RB(0, 2 ) y "t =
por las ecuaciones
···
P1
pB
p
)
b(t) cos(t ) .
)Xt = (1 + ✓1 B + · · · + ✓q B q )"t ,
j=0 ⇡j Xt j .
Muestre que la secuencia {⇡j } esta determinada
mı́n(q,j)
⇡j +
X
✓ k ⇡j
k
=
j,
j = 0, 1, . . .
k=1
donde se define
0
=
1, ✓k = 0 para k > q y
j
= 0 para j > p.
Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Matemáticas
Departamento de Estadı́stica
Series de Tiempo
2015
Mini-Proyecto 2: Esquema de Solución
1.
a) Recordar que
p
eit = cos(t ) + i sin(t ) (Identidad de Euler) con i =
PN |k|
b(k) = N 1 t=1 Yt Yt+|k| .
1
Tenemos
IN ( ) = {A( )}2 + {B( )}2
(r
)2 (r
)2
N
N
1 X
1 X
=
Yt cos( t) +
Yt sin( t)
2⇡N
2⇡N
t=1
t=1
"( N
)#2
"( N
)#2
X
X
1
1
=
Yt cos( t)
+
Yt sin( t)
.
2⇡N
2⇡N
t=1
t=1
Por otra parte, usando la identidad de Euler se obtiene que
cos(t ) =
eit + e
2
it
,
sin(t ) =
eit + e
2i
it
.
Luego, reemplazamos en (2) y obtenemos
IN ( ) =
=
1
2⇡N
1
2⇡N
"(
"(
N
X
t=1
N
X
t=1
"( N
X
eit + e
Yt
2
it
eit + e
Yt
2
it
)#2
)#2
)
1
+
2⇡N
1
2⇡N
(
"(
"(
N
X
1
eit + e it
eit
=
Yt
Yt
2⇡N
2
t=1
t=1
"( N
) (N
it
it
X e +e
X eit
e
⇥
Yt
+
Yt
2
2
t=1
t=1
"N
# "N
#
X
X
1
=
Yt e it ⇥
Yt eit
2⇡N
=
1
2⇡N
b) De a) tenemos que
t=1
N
X
t=1
t=1
Yt e
it
.
N
X
Yt
eit
e
2i
it
eit
e
it
t=1
N
X
Yt
t=1
e
it
it
2
)#
2
)#
)#2
)#2
(1)
(2)
(3)
N
1 X
Yt e it
2⇡N
t=1
(N
)( N
)
X
X
1
it
it
Yt e
Yt e
2⇡N
t=1
t=1
(N N
)
XX
1
Yt e it Yk eit
2⇡N
t=1 k=1
8
9
N
N
=
1 <X 2 X
Yt +
Yt Yk ei(k t)
;
2⇡N :
t=1
t6=k
(N
)
N
N
X
X
X
1
2
i(k t)
i(k t)
Yt +
Yt Yk e
+
Yt Yk e
2⇡N
t=1
t<k
k<t
(N
)
N
N
X
X
X
1
2
i(k t)
i(t k)
Yt +
Yt Yk e
+
Yk Yt e
2⇡N
t=1
t<k
t<k
(N
)
N
N
X
X
X
1
Yt2 +
Yt Yk ei(k t) +
Yk Yt e i(k t)
2⇡N
t=1
t<k
t<k
(N
)
N
X
X
1
Yt2 +
Yt Yk [ei(k t) + e i(k t) ]
2⇡N
t=1
t<k
(N
)
N
N
X
X1 X
1
Yt2 + 2
Yt Yk cos([k t] )
2⇡N
IN ( ) =
=
=
=
=
=
=
=
=
t=1
t=1 k=t+1
donde,
N
X1
N
X
Yt Yk cos([k
t=1 k=t+1
t] ) = Y1 {Y2 cos( ) + Y3 cos(2 ) + Y4 cos(3 ) + ... + YN cos([N
+ Y2 {Y3 cos( ) + Y4 cos(2 ) + Y5 cos(3 ) + · · · + YN cos([N
+ Y2 {Y4 cos( ) + Y5 cos(2 ) + Y6 cos(3 ) + · · · + YN cos([N
+ YN
+ YN
+ YN
=
N
X1
3 {YN 2 cos(
2 {YN 1 cos(
1 {YN
=
1 cos(2
) + YN cos(3 )}
) + YN cos(2 )}
cos( )}
cos(t )
t=1
N
X1
) + YN
N
Xt
Yk Yk+1
k=1
cos(t )b(t),
t=1
Por tanto,
1
IN ( ) =
2⇡N
c) Tenemos que
(
N
X
Yt2 + 2
t=1
N
X1
cos(t )b(t)
t=1
)
1
=
2⇡N
(B)/⇥(B) = ⇧(B) donde
⇧(B) =
1
X
j=0
j
⇡j B ,
(B) =
p
X
k=0
kB
k
,
(
N
X
t=1
b(0) + 2
⇥(B) = 1 +
N
X1
t=1
cos(t )b(t) .
t=1
q
X
)
✓B t ,
1] )}
2] )}
3] )}
con 0 = 1, luego se tiene que (1 + ✓1 B + ✓2 B 2 + · · · ) ⇥ (⇡0 + ⇡1 B + ⇡B 2 + · · · ) =
2
( 0
· · · ) Igualando términos se deducen las siguientes ecuaciones:
1B
2B
8
>
B 0 : ⇡0 =
>
0,
>
>
<B 1 : ⇡ + ✓ ⇡ =
1
1 0
1,
2
>
B : ⇡2 + ✓1 ⇡1 + ✓2 ⇡0 =
2,
>
>
>
:B 3 : ⇡ + ✓ ⇡ + ✓ ⇡ + ✓ ⇡ =
3
1 2
2 1
3 0
3.
Luego para B j con j en los siguientes casos se tien que
j = 0 : ⇡0 =
0,
P
0 < j  q  p : ⇡j + jk=1 ✓k ⇡j
P
0 < q  j  p : ⇡j + qk=1 ✓k ⇡j
P
0 < q  p < j : ⇡j + qk=1 ✓k ⇡j
P
0 < j  p  q : ⇡j + jk=1 ✓k ⇡j
P
0 < p  j  p : ⇡j + jk=1 ✓k ⇡j
P
0 < p  q  j : ⇡j + qk=1 ✓k ⇡j
k
=
j,
=
j,
= 0,
k
=
k
= 0,
= 0.
k
k
k
j,
Por lo tanto se tiene que los coeficientes ⇡j satisfacen
mı́n{j,q}
⇡0 =
0
= 1,
⇡j +
X
k=1
con
j
= 0, para todo el j > p.
✓k ⇡j
k
=
j,
j = 1, 2, . . .