Flujo no viscoso (flujo potencial)

Flujo no viscoso (flujo potencial)
16 de noviembre de 2004
1
Flujo alrededor de una esfera
Para r > a, donde a es el radio de la esfera, se debe verificar
∇2 φ = 0
para r → ∞
φ ∼ U r cos θ
para r = a
∂φ
=0
∂r
Este problema se puede resolver en coordenadas esféricas por separación de
variables
φ(r, θ) = f (r)g(θ)
2
La ecuación de Laplace es
1 ∂
2 ∂φ
r
r2 ∂r
∂θ
1
∂
∂φ
+ 2
sin θ
r sin θ ∂θ
∂θ
=0
substituyendo
1 d
df
r2
f (r) dr
dr
=−
1
d
dg
sin θ
g(θ) sin θ dθ
dθ
La parte dependiente de θ es
d
dg
sin θ
= −n(n + 1)g(θ) sin θ
dθ
dθ
3
y sus soluciones son los polinomios de Legendre Pn(cos θ), los primeros son
P0(cos θ) = 1,
P1(cos θ) = cos θ,
1
P2(cos θ) = (3 cos2 θ − 1),
2
1
P3(cos θ) = (5 cos3 θ − 3 cos θ).
2
La parte radial es
r2f 00(r) + 2rf 0(r) − n(n + 1)f (r) = 0
cuyas soluciones sonde la forma Arn + B/rn+1.
4
La solución de la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas es, por lo
tanto,
∞
X
(Anrn + Bn/rn+1)Pn(cos θ).
φ(r, θ) =
n=0
Aplicando las condiciones de contorno obtenemos
1
φ = U r cos θ + U a3 cos θ/r2
2
Fuerza sobre la esfera
Utilizamos el teorema de Bernouilli
1
1
p0 + ρU 2 = p + ρv 2
2
2
5
para r = a tenemos
3
∇φ = (0, − U sin θ, 0)
2
con lo cual
9 2 2
v = U sin θ.
4
2
La fuerza sobre la esfera será
Z
−
Z
p cos θdS = −
0
π
p cos θ2πa2 sin θdθ = 0.
6
Paradoja de DÁlembert
En un flujo no viscoso, la fuerza F sobre un cuerpo de forma arbitraria,
que se mueve con velocidad U verifica
F·U=0
es decir, no hay rozamiento viscoso.