Unidad 2: Variables Aleatorias.

Estadı́stica
Tema 3: Cálculo de Probabilidades
Unidad 2: Variables Aleatorias
Área de Estadı́stica e Investigación Operativa
Licesio J. Rodrı́guez-Aragón
Noviembre 2010
Contenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Variables Aleatorias
3
Variable Aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Función de Distribución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Distribución Discreta de Probabilidad
6
Variable Aleatoria Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Distribución de Probabilidad Contı́nua
8
Variable Aleatoria Continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Distribuciones de Probabilidad Bidimensionales
Variables Aleatorias Bidimensionales. . . . . . . . .
Bidimensional Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bidimensional Contı́nua . . . . . . . . . . . . . . . . .
Distribuciones Marginales . . . . . . . . . . . . . . . .
Distribuciones Condicionadas . . . . . . . . . . . . .
Independencia de Variables Aleatorias. . . . . . . .
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1
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Contenidos
Variables Aleatorias.
– Discretas y Contı́nuas.
Distribución Discreta de Probabilidad.
Distribución de Probabilidad Contı́nua.
Distribuciones de Probabilidad Bidimensionales.
– Distribuciones Marginales y Condicionadas.
– Independencia.
El cálculo de probabilidades utiliza variables numéricas que se denominan aleatorias, porque
sus valores vienen determinados por el azar.
Licesio J. Rodrı́guez-Aragón
Tema 3, Unidad 2 – 2 / 16
3 / 16
Variables Aleatorias
Variable Aleatoria
Definición: Sea un experimento E y S el espacio muestral asociado con el experimento. Una función
X que asigne a cada uno de los elementos s ∈ S, un número real X(s), es una Variable Aleatoria.
X : S −→ R
Si una Variable Aleatoria toma un número finito o numerable de valores, x1 , x2 , . . . , xn , . . . , se
denomina Variable Aleatoria Discreta.
En caso contrario, se denominará Variable Aleatoria Continua.
Propiedad: Para todo intervalo I ⊂ R, {X ∈ I} es un suceso,
{X ∈ I} = {s ∈ S : X(s) ∈ I} = X −1 (I)
Entonces, para las variables aleatorias tiene sentido el preguntarse por la probabilidad:
P(X ∈ I).
El intervalo I puede ser abierto, cerrado, semiabierto, ∅, reducido a un punto, acotado, ilimitado o
todo R.
Licesio J. Rodrı́guez-Aragón
Tema 3, Unidad 2 – 4 / 16
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Función de Distribución
Para cada Variable Aleatoria, podemos definir la función,
F (x) = P(X ≤ x), con x ∈ R.
Esta función se conoce como Función de Distribución, de la variable aleatoria X.
Algunas propiedades inmediatas de la Función de Distribución son:
F (−∞) = 0 y F (+∞) = 1.
La función de distribución es creciente:
Si x1 ≤ x2 , entonces F (x1 ) ≤ F (x2 ).
P(a < X ≤ b) = F (b) − F (a).
F es continua por la derecha.
Licesio J. Rodrı́guez-Aragón
Tema 3, Unidad 2 – 5 / 16
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Distribución Discreta de Probabilidad
Variable Aleatoria Discreta
Una Variable Aleatoria, se dirá Discreta, cuando toma un número finito o numerable de valores,
x1 , x2 , . . . , xn , . . . , cada uno de ellos con probabilidades p1 , p2 , . . . , pn , . . . . Entonces se tendrá:
n
X
pi = 1,
i=1
∞
X
n
X
pi = lim
n→∞
i=1
pi = 1,
i=1
según se tome un número finito o infinito numerable de valores distintos.
El conjunto de valores de X junto con sus probabilidades se llamará Función de Probabilidad, de X,
f , y se puede representar gráficamente mediante un diagrama de barras.
f (xi ) = P(X = xi ) = pi
X
f (xi ∈ I) = P(X ∈ I) =
pi
xi ∈I
0.10
0.00
0.05
Probabildad
0.15
Variable Aleatoria Discreta
0
2
4
6
8
10
12
14
X
La Función de Distribución de la variable aleatoria X es:
X
X
P(X = xi ) =
pi ,
F (x) = P(X ≤ x) =
xi ≤x
xi ≤x
y su representación gráfica es mediante un diagrama de frecuencias acumuladas.
0.6
0.4
0.0
0.2
Probabilidad
0.8
1.0
Función de Distribución V. A. Discreta
0
2
4
6
8
10
12
14
X
4
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Tema 3, Unidad 2 – 7 / 16
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Distribución de Probabilidad Contı́nua
Variable Aleatoria Continua
Se dice que X es una Variable Aleatoria Contı́nua si existe una función, f , denominada Función de
Densidad, que satisface las siguientes condiciones:
f (x) ≥ 0 para todo x.
R∞
−∞ f (x)dx = 1.
Para a y b, tales que −∞ < a ≤ b < ∞,
P(a ≤ X ≤ b) =
Z
b
f (x)dx.
a
Una consecuencia de lo anterior implica que:
P(X = xi ) =
Z
xi
f (x)dx = 0.
xi
Y por lo tanto las siguientes probabilidades son todas iguales:
P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X < b)
Siendo X una Variable Aleatoria Contı́nua, la Función de Distribución de la variable X será,
Z x
F (x) = P(X ≤ x) =
f (s)ds, para − ∞ < x < ∞.
−∞
Como consecuencia de esta definición, tendremos:
P(a < X < b) = F (b) − F (a).
f (x) = dFdx(x) , siendo f (x) la Función de Densidad, e interpretándose f (x) como la probabilidad
por unidad de “longitud”.
Distribución Normal: µ = 0, σ = 1
0.0
0.6
0.0
0.2
0.4
Probabilidad Acumulada
0.2
0.1
Función de Densidad
0.3
0.8
1.0
0.4
Distribución Normal: µ = 0, σ = 1
−3
−2
−1
0
1
2
3
−3
x
−2
−1
0
1
2
3
x
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Tema 3, Unidad 2 – 9 / 16
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Distribuciones de Probabilidad Bidimensionales
Variables Aleatorias Bidimensionales
Una Variable Aleatoria Bidimensional, (X, Y ), es una par de variables aleatorias, las cuales
constituyen una función de S en R2 .
Según X e Y sean contı́nuas o discretas, la variable bidimensional, será contı́nua o discreta.
Recordemos una tabla de frecuencias relativas en el caso de una variable bidimensional discreta.
X \Y
x1
..
.
y1
f11
..
.
...
...
yj
f1j
..
.
...
...
yl
f1l
..
.
Totales
f1·
..
.
xi
..
.
fi1
..
.
...
fij
..
.
...
fil
..
.
fi·
..
.
xm
Totales
fm1
f·1
...
...
fmj
f·j
...
...
fml
f·l
fm·
1
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Tema 3, Unidad 2 – 11 / 16
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Bidimensional Discreta
El par X, Y ) constituye una Variable Aleatoria Bidimensional Discreta, si el número de posibles
valores de (X, Y ) es una cantidad finita o finita numerable.
(xi , yj ) i = 1, . . . , m;
j = 1, . . . , l
Para cada valor posible (xi , yj ) podemos asociar un número pi,j = P(X = xi , Y = yj ), Función de
Probabilidad Conjunta, que satisface:
pi,j ≥ 0, ∀(xi , yj ).
P P
i
j pi,j = 1.
PP
PP
P((X, Y ) ∈ I × J) =
P(X ∈ I, Y ∈ J) =
pi,j , ∀xi ∈ I, yj ∈ J.
P
P
F (x, y) =
xi ≤x
yj ≤y pi,j , Función de Distribución.
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Tema 3, Unidad 2 – 12 / 16
Bidimensional Contı́nua
Para una Variable Bidimensional Contı́nua, se define la Función de Densidad Conjunta, f (x, y),
satisfaciendo las siguientes propiedades:
f (x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ R2 .
RR
R2 f (x, y)dxdy = 1.
R R
P((X, Y ) ∈ I × J) = I J f (x, y)dxdy, ∀ I × J ∈ R2 .
Para la Variable Aleatoria bidimensional (X, Y ) se define su Función de Distribución:
Z x Z y
F (x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y) =
f (u, v)dudv,
−∞
−∞
donde f resulta ser la Función de Densidad, si la Función de Distribución tiene derivadas segundas
se cumplirá que:
∂ 2 F (x, y)
= f (x, y)
∂x∂y
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Tema 3, Unidad 2 – 13 / 16
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Distribuciones Marginales
Las Distribuciones Marginales de X e Y , están dadas por:
Caso discreto:
f (x, ·) = g(x) =
X
f (x, y);
f (·, y) = h(y) =
y
X
f (x, y).
x
Caso contı́nuo:
f (x, ·) = g(x) =
f (·, y) = h(y) =
Z
∞
−∞
Z ∞
f (x, y)dy.
f (x, y)dx.
−∞
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Tema 3, Unidad 2 – 14 / 16
Distribuciones Condicionadas
La distribución condicional de la variable aleatoria Y , cuando X = x, viene dada por:
h(y|x) =
f (x, y)
, para g(x) > 0.
g(x)
La distribución condicional de la variable aleatoria X, cuando Y = y, viene dada por:
g(x|y) =
f (x, y)
, para h(y) > 0.
h(y)
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Tema 3, Unidad 2 – 15 / 16
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Independencia de Variables Aleatorias
Siendo X e Y dos variables aleatorias, discretas o contı́nuas, con Distribución de Probabilidades
f (x, y) y Distribuciones marginales g(x), h(y), diremos que X e Y son estadı́sticamente
independientes si y sólo si,
f (x, y) = g(x) · h(y),
para todo (x, y) en su dominio de definición. En caso contrario serán dependientes.
Este concepto se puede generalizar para el caso de n variables aleatorias.
Licesio J. Rodrı́guez-Aragón
Tema 3, Unidad 2 – 16 / 16
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