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Ecuaciones diferenciales exactas .
E: .y C xe x C 2/ dx C .x C e y / dy D 0;
con y.1/ D 0.
D: H Verifiquemos primero si la ED es exacta:
@M
@
D
.y C xe x C 2/ D 1
@y
@y
@
@N
D
.x C e y / D 1
@x
@x
…
) la ED es exacta.
Entonces la solución de la ED es f .x; y/ D C donde f .x; y/ satisface:
Z y
@f
@f
y
DN )
D x Ce ) f D
.x C e y / dy D xy C e y C k.x/:
@y
@y
(1)
Derivando f con respecto a y e igualando a N :
@f
@
D
Œxy C e y C k.x/ D y C k 0.x/ D y C xe x C 2 )
@x
@x
Z
) k 0.x/ D xe x C 2 ) k.x/ D
.xe x C 2/ dx ) k.x/ D xe x
e x C 2x:
Sustituyendo k.x/ en (1) e igualando a C , obtenemos la solución general de la ED:
xy C e y C xe x
e x C 2x D C:
Usando la condición inicial, obtenemos el valor de C :
y.1/ D 0 ) 0 C 1 C e
e C 2 D C ) C D 3:
La solución del PVI es
xy C e y C xe x
e x C 2x D 3:
18. canek.azc.uam.mx: 23/ 11/ 2010
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