Ejercicio #2 a.
El valor de 𝑦 se encuentra igualando el valor absoluto que se da y el planteamiento para encontrar la
magnitud de forma gráfica:
𝐾1 = 𝐻 ∗
=2∗
𝐾1 =
𝑀𝑝1 𝑧1 𝑀𝑝1 𝑧2 𝑗[(𝜃 +𝜃 )−(𝜃
𝑝1 𝑝2 +𝜃𝑝1 𝑝3 )]
𝑒 𝑝1 𝑧1 𝑝1𝑧2
𝑀𝑝1 𝑝1 𝑀𝑝1 𝑝2
5∗3
√(32 + 𝑦 2 ) ∗ √(32 + 𝑦 2 )
(32
𝑒
𝑦
−𝑦
𝑗{[180°+0°]−[tan−1 ( )−tan−1 ( )]}
3
3
30
𝑒 𝑗(180°)
+ 𝑦2)
Sea 𝑎 el dato dado de la contante 𝐾1 , el ángulo de 180° confirma que el valor de la magnitud des
negativo.
El valor en el eje imaginario se encontrará igualando la magnitud de la contante planteada y el valor
dado.
|𝑎| =
(32
30
30 − 9 ∗ |𝑎|
→𝑦=√
2
|𝑎|
+𝑦 )
Una vez encontrado el valor de y, se procede a encontrar la señal en el tiempo.
Calculo de 𝐾2
𝐾2 = 𝐻 ∗
𝑀𝑝2𝑧1 𝑀𝑝2𝑧2 𝑗[(𝜃 +𝜃 )−(𝜃
𝑝2 𝑝1 +𝜃𝑝2 𝑝3 )]
𝑒 𝑝2 𝑧1 𝑝2 𝑧2
𝑀𝑝2𝑝1 𝑀𝑝2𝑝3
𝐾2 = 2 ∗
√(22 + 𝑦 2 ) ∗ √(62 + 𝑦 2 )
√(32
+
𝑦2)
∗ 2|𝑦|
𝑒 𝑗{[tan
−1 (𝑦 )+tan−1 (𝑦 )]−[tan−1 (𝑦 )+90°]}
2
6
3
= |𝐾2 |𝑒 𝑗𝜃𝐾2
Como los polos 𝑝2 𝑦 𝑝3 son conjugados entonces 𝐾3 es conjugado de 𝐾2 por lo que
𝐾3 = 𝐾2 ∗ = |𝐾2 |𝑒 −𝑗𝜃𝐾2
Por lo tanto 𝑤(𝑠) será igual a:
𝑤(𝑠) =
𝐾1
𝐾2
𝐾2 ∗
𝐾1
|𝐾2 |𝑒 𝑗𝜃𝐾2
|𝐾2 |𝑒 −𝑗𝜃𝐾2
+
+
=
+
+
=
𝑆 + 5 𝑆 + 2 − 𝑦𝑗 𝑆 + 2 + 𝑦𝑗 𝑆 + 5 𝑆 + 2 − 𝑦𝑗 𝑆 + 2 + 𝑦𝑗
Aplicando Laplace inversa:
𝑤(𝑡) = 𝐾1 𝑒 −5𝑡 + |𝐾2 |𝑒 𝑗𝜃𝐾2 𝑒 −(2−𝑦𝑗)𝑡 + |𝐾2 |𝑒 −𝑗𝜃𝐾2 𝑒 −(2+𝑦𝑗)𝑡
Agrupando
𝑤(𝑡) = 𝐾1 𝑒 −2𝑡 {|𝐾2 |𝑒 𝑗(𝑦𝑡+𝜃𝐾2 ) + |𝐾2 |𝑒 −𝑗(𝑦𝑡+𝜃𝐾2 ) }
Aplicando la identidad de Euler
𝑤(𝑡) = 𝐾1 𝑒 −5𝑡 + |𝐾2 |𝑒 −2𝑡 𝐶𝑜𝑠(𝑦𝑡 + 𝜃𝐾2 )
𝑤(𝑡) = 𝐾1 𝑒 −5𝑡 + |𝐾2 |𝑒 𝜃𝐾2
