1 Ecuaciones difernciales homogéneas . E: y dx C x.ln x ln y 1/ dy D
Anuncio
1 Ecuaciones difernciales homogéneas . E: y dx C x.ln x ln y 1/ dy D 0; con y.1/ D e D: H Reescribimos la ED, dividimos entre x y factorizamos el signo . / en el segundo término: y dx x Entonces: y x Œln y Œln ln x C 1dy D 0: y C 1 dy D 0: dx x y Con el cambio de variable u D , se tiene y D ux, por lo que: x du dy DuCx I dx dx sustituyendo en la ED: u du du du D 0 ) u u ln u x ln u u x D0 ) dx dx dx du du du x ln u x D 0 ) u ln u D xŒln u C 1 : dx dx dx Œln u C 1Œu C x ) u ln u Al separar variables: dx .ln u C 1/du D : x u ln u Ahora integramos; en el miembro derecho nos apoyaremos en el cambio de variable: 1 w D u ln u ) dw D u C ln u du, es decir, dw D .1 C ln u/ du: u Tenemos: Z dx D x Z .ln u C 1/du ) u ln u ln x D ln.u ln u/ C C o bien ln.u ln u/ ln x D C ) ln.u ln u/ C ln x D C ) ln.ux ln u/ D C ) ux ln u D C: Para encontrar C se usa: y.1/ D e; puesto que u D y e , entonces u D D e, así: x 1 e ln e D C ) C D e: De esta manera, al usar u D y encontramos: x y y y x ln D e ) y ln D e: x x x Ésta es la solución particular de la ED. 14. canek.azc.uam.mx: 22/ 11/ 2010
