1 Ecuaciones difernciales homogéneas . E: y dx C x.ln x ln y 1/ dy D

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Ecuaciones difernciales homogéneas .
E: y dx C x.ln x
ln y
1/ dy D 0; con y.1/ D e
D: H Reescribimos la ED, dividimos entre x y factorizamos el signo . / en el segundo término:
y
dx
x
Entonces:
y
x
Œln y
Œln
ln x C 1dy D 0:
y C 1
dy
D 0:
dx
x
y
Con el cambio de variable u D , se tiene y D ux, por lo que:
x
du
dy
DuCx I
dx
dx
sustituyendo en la ED:
u
du
du
du
 D 0 ) u u ln u x ln u
u x
D0 )
dx
dx
dx
du
du
du
x ln u
x
D 0 ) u ln u D xŒln u C 1 :
dx
dx
dx
Œln u C 1Œu C x
)
u ln u
Al separar variables:
dx
.ln u C 1/du
D
:
x
u ln u
Ahora integramos; en el miembro derecho nos apoyaremos en el cambio de variable:
1
w D u ln u ) dw D u
C ln u du, es decir, dw D .1 C ln u/ du:
u
Tenemos:
Z
dx
D
x
Z
.ln u C 1/du
)
u ln u
ln x D ln.u ln u/ C C
o bien
ln.u ln u/
ln x D C ) ln.u ln u/ C ln x D C ) ln.ux ln u/ D C ) ux ln u D C:
Para encontrar C se usa: y.1/ D e; puesto que u D
y
e
, entonces u D D e, así:
x
1
e ln e D C ) C D e:
De esta manera, al usar u D
y
encontramos:
x
y y y
x ln
D e ) y ln
D e:
x
x
x
Ésta es la solución particular de la ED.
14. canek.azc.uam.mx: 22/ 11/ 2010