1 Ecuaciones diferenciales homogéneas . E: y dx D x.ln x ln y/dy

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Ecuaciones diferenciales homogéneas .
E: y dx D x.ln x
ln y/ dy; con x.1/ D 1
D: H Reescribimos la ED:
x
x
x
dx
D .ln.x/ ln.y// D ln
:
y
dy
y
y
x
Hacemos el cambio de variable u D , luego:
y
x D uy )
(1)
dx
du
DuCy :
dy
dy
Sustituyendo en (1):
du
du
D u ln.u/ ) y
D u ln.u/
dy
dy
Si separamos variables, hallamos:
uCy
du
u ln.u/
Al integrar, encontramos:
Con w D ln.u/
1; dw D
D
u
Z
dy
du
)
y
uŒln.u/
du
uŒln.u/
1
D
Z
1
D
u:
dy
:
y
dy
:
y
du
, obtenemos:
u
lnŒln.u/
De x.1/ D 1 concluimos que u D
1 D ln y C C:
(2)
x
1
D D 1. Por lo tanto:
y
1
ln.u/
1 D ln.1/
1D
1 < 0:
Así, de (2) se obtiene:
ln.1
ln u/ D ln y C C:
Para calcular C :
ln.1
ln 1/ D ln 1 C C ) C D 0:
Por lo tanto:
ln.1
ln u/ D ln y ) 1
x
Utilizamos u D :
y
ln u D y ) ln u D 1
x
D ee
y
y
) x D eye
y ) u D e1
y
y
D ee
y
:
:
Ésta es la solución particular de la ED.
201. canek.azc.uam.mx: 22/ 11/ 2010