Ecuaciones diferenciales ordinarias

ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS
Análisis Matemático II
Clasificación
➢
EDO de Primer orden
1.
2.
A variabes
separables
(integramos ambos
miembros)
A variables no
separables
➢
EDO de segundo
orden
3.
Homogéneas
4.
No Homogéneas
Para los casos 1,2 y 3 usaremos el Método del operador diferencial
𝑒 𝛼𝑥 : 𝛼 = −𝑟𝑎𝑖𝑧
1. EDO de primer orden a Variables
Separables
Ejemplo
2
2𝑦𝑦´ = 𝑥 𝑥 − 16
1
−2
Condición de contorno: 𝑦(5) = 2
Primero, reescribimos la ecuación haciendo 𝑦´ =
Separamos los diferenciales:
𝑑𝑦
:
𝑑𝑥
𝑑𝑦
2𝑦
= 𝑥 𝑥 2 − 16
𝑑𝑥
2𝑦𝑑𝑦 = 𝑥
Integramos ambos miembros:
𝑥2
න 2𝑦𝑑𝑦 = න 𝑥
− 16
𝑥2
−
1
−2
− 16
1
2
𝑑𝑥
1
−2
𝑑𝑥
1. EDO de primer orden a Variables
Separables
En el segundo miembro usamos el método de sustitución:
𝑢 = 𝑥 2 − 16
𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥 =
2𝑥
Por lo tanto:
න 2𝑦𝑑𝑦 = න 𝑥 𝑢
1
− 𝑑𝑢
2.
න 2𝑦𝑑𝑦 = න 𝑥 𝑢
1
− 𝑑𝑢
2.
න 2𝑦𝑑𝑦 = න
1
𝑢
2
2𝑥
2𝑥
1
−
2 . 𝑑𝑢
Resolvemos:
1
𝑦 2 = 2. 𝑢1/2 + 𝐶
2
1
𝑦 2 = 2. 𝑢1/2 + 𝐶
2
1. EDO de primer orden a Variables
Separables
Reemplazamos 𝑢:
𝑦 2 = (𝑥 2 − 16)1/2 +𝐶
Despejando “y”, la solución general queda:
𝑦=
𝑥 2 − 16 + 𝐶
Buscamos la solución particular según la condición de contorno dada, 𝑦(5) = 2:
2=
2=
52 − 16 + 𝐶
9+𝐶
Elevamos ambos miembros al cuadrado para eliminar la raíz cuadrada:
(2)2 = ( 3 + 𝐶 ) 2
4=3+𝐶
𝐶=1
La solución particular según la condición de contorno dada es:
𝑦=
𝑥 2 − 16 + 1
2. EDO de primer orden a Variables
No Separables
Ejemplo
2𝑦´ − 4𝑦 = 2𝑥
Condición de contorno 𝑦 1 = 2
𝑑𝑦
En este tipo de ecuaciones si hacemos 𝑦’ =
no conseguimos separar las x de las y. Por eso
𝑑𝑥
utilizamos un método diferente para resolverlas, el Método del Operador diferencial:
𝒆𝜶𝒙 : 𝜶 = −𝒓𝒂𝒊𝒛.
Siempre es conveniente operar sobre la ecuación normalizada, es decir, con el coeficiente que
acompaña al término de mayor grado igual a 1. Por eso, en primer lugar dividimos ambos miembros
por 2:
𝑦´ − 2𝑦 = 𝑥
Luego, hacemos 𝑦’ = 𝐷𝑦:
𝐷𝑦 − 2𝑦 = 𝑥
2. EDO de primer orden a Variables
No Separables
Sacamos factor común 𝑦
𝑦(𝐷 − 2) = 𝑥
La raíz de la expresión anterior es 𝐷1 =2 por lo tanto usaremos el operador 𝑒 −2𝑥 para multiplicar
ambos miembros.
𝑒 −2𝑥 𝑦. 𝐷 − 2 = 𝑥. 𝑒 −2𝑥
Reescribimos la expresión anterior para poder integrar:
𝐷 𝑒 −2𝑥 𝑦 = 𝑥. 𝑒 −2𝑥
Ahora integramos ambos miembros:
න 𝐷 𝑒 −2𝑥 𝑦 = න 𝑥. 𝑒 −2𝑥
El primer miembro es la integral de una derivada y se resuelve directamente. En el segundo miembro
integramos por partes:
‫𝒈𝒇 ׬‬′ = 𝒇𝒈 − ‫𝒈´𝒇 ׬‬
𝑓=𝑥
𝑓′ = 1
𝑔´ = 𝑒 −2𝑥
1
2
𝑔 = − 𝑒 −2𝑥
2. EDO de primer orden a Variables
No Separables
Resolvemos:
1
1
𝑒 −2𝑥 𝑦 = − 𝑥𝑒 −2𝑥 − න − 𝑒 −2𝑥
2
2
𝑒 −2𝑥 𝑦
𝑒 −2𝑥 𝑦
Despejamos "𝑦”
1 −2𝑥 1
= − 𝑥𝑒
+ න 𝑒 −2𝑥
2
2
1 −2𝑥 1 −2𝑥
= − 𝑥𝑒
− 𝑒
+𝐶
2
4
1 −2𝑥 2𝑥 1 −2𝑥 2𝑥
𝑦 = − 𝑥𝑒 . 𝑒 − 𝑒 . 𝑒 + 𝐶𝑒 2𝑥
2
4
Y obtenemos la ecuación general
1
1
𝑦 = − 𝑥 − + 𝐶𝑒 2𝑥
2
4
2. EDO de primer orden a Variables
No Separables
Usamos la condición de contorno 𝑦 1 = 2 para hallar una solución
particular:
𝟏
− 𝒙
𝟐
𝟏
𝟒
− + 𝑪𝒆𝟐𝒙
1
1
2 = − . (1) − + 𝐶𝑒 2.1
2
4
1 1
2 = − − + 𝐶𝑒 2
2 4
1 1
2
𝐶𝑒 = 2 + +
2 4
11
𝐶 = 42 ≃ 0.3722
𝑒
La solución particular es:
1
1
𝑦 = − 𝑥 − + 0.3722𝑒 2𝑥
2
4
𝒚=
3. EDO de segundo orden Homogéneas
Toda ecuación diferencial de segundo orden homogénea se
resuelve teniendo en cuenta en un polinomio de segundo grado:
𝑎𝑦 ′′ + 𝑏𝑦 ′ + 𝑐𝑦 = 0
𝑐𝑜𝑛 𝑎, 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ 𝑅
Donde sus raíces pueden ser:
a. Dos raíces reales distintas 𝐷1 = 𝛼; 𝐷2 = 𝛽
En este caso la solución general de la ecuación diferencial se
reduce a:
𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝛼𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝛽𝑥
3. EDO de segundo orden Homogéneas
b. Dos raíces reales iguales 𝐷1 = 𝐷2 = 𝛼
La solución será:
𝑦 = 𝐶1 𝑥𝑒 𝛼𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝛼𝑥
c. Dos raíces complejas conjugadas 𝐷1 = 𝛼 + 𝛽𝑖; 𝐷2 = 𝛼 − 𝛽𝑖
En este caso se tiene como solución:
𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥 (𝐶1 cos 𝛽𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥))
3. EDO de segundo orden Homogéneas
Ejemplo a. (2 raíces reales distintas 𝐷1 = 𝛼; 𝐷2 = 𝛽)
2𝑦 ′′ − 2𝑦´ − 4𝑦 = 0
𝒚 = 𝑪𝟏 𝒆𝜶𝒙 + 𝑪𝟐 𝒆𝜷𝒙
Condiciones de contorno 𝑦 0 = 1; 𝑦 ′ 0 = −1
Como dijimos, conviene operar sobre la ecuación normalizada, por lo que dividimos ambos miembros
por 2:
𝑦 ′′ − 𝑦´ − 2𝑦 = 0
Reescribimos la ecuación:
𝐷 2 𝑦 − 𝐷𝑦 − 2𝑦 = 0
Sacamos factor común "𝑦”
𝑦(𝐷 2 − 𝐷 − 2) = 0
Buscamos las raíces del polinomio de segundo grado que nos queda:
α=2
𝛽 = −1
Por lo tanto, la solución general es:
𝑦 = 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑥
3. EDO de segundo orden Homogéneas
Ahora usaremos las condiciones de contorno para hallar una solución particular:
𝑦 0 =1⇒
1 = 𝐶1 𝑒 2.0 + 𝐶2 𝑒 0
1 = 𝐶1 + 𝐶2
𝐶1 = 1 − 𝐶2
𝑦 ′ 0 = −1 ⇒
𝑦 = 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑥
𝑦 ′ = 2𝐶1 𝑒 2𝑥 − 𝐶2 𝑒 −𝑥
−1 = 2𝐶1 𝑒 2.0 − 𝐶2 𝑒 0
−1 = 2𝐶1 − 𝐶2 reemplazo 𝐶1
−1 = 2(1 − 𝐶2 ) − 𝐶2
−1 = 2 − 2𝐶2 − 𝐶2
−3 = −3𝐶2
𝐶2 = 1 ⟹
𝐶1 = 1 − 𝐶2
⇒ 𝐶1 = 0
3. EDO de segundo orden Homogéneas
Reemplazando las constantes en la solución
general 𝑦 = 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑥
La solución particular para las condiciones de
contorno dadas es:
𝑦 = 𝑒 −𝑥
3. EDO de segundo orden Homogéneas
Ejemplo b. (2 raíces reales iguales𝐷1 = 𝐷2 = 𝛼 )
𝑦 ′′ + 10𝑦 ′ + 25𝑦 = 0
Reescribimos la ecuación:
𝐷 2 𝑦 + 10𝐷𝑦 + 25𝑦 = 0
Sacamos factor común "𝑦"
𝑦(𝐷 2 + 10𝐷 + 25) = 0
Buscamos las raíces del polinomio: 𝛼 = 𝛽 = −5
Por lo que la solución general queda:
𝑦 = 𝐶1 𝑥𝑒 −5𝑥 + 𝐶2 𝑒 −5𝑥
𝒚 = 𝑪𝟏 𝒙𝒆𝜶𝒙 + 𝑪𝟐 𝒆𝜶𝒙
3. EDO de segundo orden Homogéneas
Ejemplo c. (2 raíces complejas conjugadas 𝐷1 = 𝛼 + 𝛽𝑖; 𝐷2 = 𝛼 − 𝛽𝑖)
𝒚 = 𝒆𝜶𝒙 (𝑪𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝜷𝒙 + 𝑪𝟐 𝒔𝒆𝒏(𝜷𝒙))
𝑦 ′′ − 4𝑦 ′ + 13𝑦 = 0
Reescribimos la ecuación:
𝐷 2 𝑦 − 4𝐷𝑦 + 13𝑦 = 0
Sacamos factor común "𝑦”:
𝑦(𝐷 2 − 4𝐷 + 13) = 0
Buscamos las raíces del polinomio:
4± 4 2 −4×1×13
2
=
4± −36
2
𝐷1 = 2 + 3𝑖; 𝐷2 = 2 − 3𝑖
La solución general es: 𝑦 = 𝑒 2𝑥 (𝐶1 cos 3𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛(3𝑥))
4±6𝑖
2
=
𝛼 = 2; 𝛽 = 3
4. EDO de segundo orden No
Homogéneas
𝑦 ′′ − 𝑦 = 𝑥𝑒 3𝑥
condiciones de contorno 𝑦 0 = 0; 𝑦 ′ 0 = 1
Reescribimos la ecuación:
𝐷 2 𝑦 − 𝑦 = 𝑥𝑒 3𝑥
Sacamos factor común y
𝑦(𝐷 2 − 1) = 𝑥𝑒 3𝑥
Obtenemos las raíces del polinomio 𝐷1 = 1; 𝐷2 = −1
Factorizamos
𝑦(𝐷 + 1)(𝐷 − 1) = 𝑥𝑒 3𝑥
Hacemos 𝜇 = 𝑦(𝐷 + 1)
𝜇(𝐷 − 1) = 𝑥𝑒 3𝑥
Multiplicamos ambos miembros por el operador diferencial 𝑒 𝛼𝑥 : 𝛼 = −𝑟𝑎𝑖𝑧
𝑒 −𝑥 𝜇(𝐷 − 1) = 𝑥𝑒 3𝑥 𝑒 −𝑥
𝑒 −𝑥 𝜇(𝐷 − 1) = 𝑥𝑒 2𝑥
4. EDO de segundo orden No
Homogéneas
Reescribimos la ecuación para poder integrar
𝐷(𝑒 −𝑥 𝜇) = 𝑥𝑒 2𝑥
Integramos ambos miembros:
‫ 𝑒(𝐷 ׬‬−𝑥 𝜇) = ‫ 𝑒𝑥 ׬‬2𝑥
‫𝑔𝑓 ׬‬′ = 𝑓𝑔 − ‫𝑔´𝑓 ׬‬
𝑓=𝑥
𝑓′ = 1
𝑔′ = 𝑒 2𝑥
1
𝑔 = 𝑒 2𝑥
2
Entonces
1
1
𝑒 −𝑥 𝜇 = 𝑥𝑒 2𝑥 − න 𝑒 2𝑥
2
2
1
1
𝑒 −𝑥 𝜇 = 𝑥𝑒 2𝑥 − න 𝑒 2𝑥
2
2
1
1
𝑒 −𝑥 𝜇 = 𝑥𝑒 2𝑥 − 𝑒 2𝑥 + 𝐶1
2
4
Ahora necesitamos despejar 𝜇 dividiendo ambos miembros por 𝑒 −𝑥
4. EDO de segundo orden No
Homogéneas
Despejamos 𝜇
𝜇=
1 2𝑥 𝑥 1 2𝑥 𝑥
𝑥𝑒 . 𝑒 − 𝑒 . 𝑒 + 𝐶1 . 𝑒 𝑥
2
4
1
1
𝜇 = 𝑥𝑒 3𝑥 − 𝑒 3𝑥 + 𝐶1 𝑒 𝑥
2
4
Reemplazamos 𝜇 = 𝑦 𝐷 + 1
1 3𝑥 1 3𝑥
𝑦(𝐷 + 1) = 𝑥𝑒 − 𝑒 + 𝐶1 𝑒 𝑥
2
4
Multiplicamos ambos miembros por el operador diferencial 𝑒 𝛼𝑥 : 𝛼 = −𝑟𝑎𝑖𝑧
1 3𝑥 1 3𝑥
𝑒𝑥𝑦 𝐷 + 1 =
𝑥𝑒 − 𝑒 + 𝐶1 𝑒 𝑥 . 𝑒 𝑥
2
4
1 4𝑥 1 4𝑥
𝑥
𝑒 𝑦 𝐷+1 =
𝑥𝑒 − 𝑒 + 𝐶1 𝑒 2𝑥
2
4
Reescribimos la ecuación para poder integrar:
1
1
𝐷(𝑒 𝑥 𝑦) = 𝑥𝑒 4𝑥 − 𝑒 4𝑥 + 𝐶1 𝑒 2𝑥
2
4
4. EDO de segundo orden No
Homogéneas
Integramos ambos miembros:
න 𝐷(𝑒 𝑥 𝑦) = න
1
1 4𝑥 1 4𝑥
𝑥𝑒 − 𝑒 + 𝐶1 𝑒 2𝑥
2
4
1
‫ = )𝑦 𝑥 𝑒(𝐷 ׬‬2 ‫ 𝑒𝑥 ׬‬4𝑥 − 4 ‫ 𝑒 ׬‬4𝑥 + 𝐶1 ‫ 𝑒 ׬‬2𝑥
𝑓=𝑥
𝑒𝑥𝑦 =
𝑓′ = 1
𝑔′ = 𝑒 4𝑥
1
4
𝑔 = 𝑒 4𝑥
1 1 4𝑥 1
1
𝑥𝑒 − න 𝑒 4𝑥 − 𝑒 4𝑥 + 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2
2 4
4
16
1 1 4𝑥
1
1
𝑥𝑒 − 𝑒 4𝑥 − 𝑒 4𝑥 + 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2
2 4
16
16
1
1
1
𝑒 𝑥 𝑦 = 𝑥𝑒 4𝑥 − 𝑒 4𝑥 − 𝑒 4𝑥 + 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2
8
32
16
1
3
𝑒 𝑥 𝑦 = 𝑥𝑒 4𝑥 − 𝑒 4𝑥 + 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2
8
32
𝑒𝑥𝑦 =
Despejamos y:
1
3
𝑦 = 𝑥𝑒 4𝑥 . 𝑒 −𝑥 − 𝑒 4𝑥 . 𝑒 −𝑥 + 𝐶1 𝑒 2𝑥 . 𝑒 −𝑥 + 𝐶2 . 𝑒 −𝑥
8
32
Y finalmente la solución general queda:
1
3
𝑦 = 𝑥𝑒 3𝑥 − 𝑒 3𝑥 + 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 . 𝑒 −𝑥
8
32
4. EDO de segundo orden No
Homogéneas
Para hallar la solución particular según las condiciones dadas hacemos:
𝒚 𝟎 =𝟎
1
3
0 = 0𝑒 3.0 − 𝑒 3.0 + 𝐶1 𝑒 0 + 𝐶2 . 𝑒 0
8
32
3
0 = − + 𝐶1 + 𝐶2
32
3
𝐶1 =
− 𝐶2
32
𝒚´ 𝟎 = 𝟏
1
1
3
𝑦 ′ = 𝑒 3𝑥 + 𝑥𝑒 3𝑥 . 3 − 𝑒 3𝑥 . 3 + 𝐶1 𝑒 𝑥 − 𝐶2 . 𝑒 −𝑥
8
8
32
1
3
9
𝑦 ′ = 𝑒 3𝑥 + 𝑥𝑒 3𝑥 − 𝑒 3𝑥 + 𝐶1 𝑒 𝑥 − 𝐶2 . 𝑒 −𝑥
8
8
32
Reemplazo la condición dada:
1
3
9
1 = 𝑒 3.0 + 0𝑒 3.0 − 𝑒 3.0 + 𝐶1 𝑒 0 − 𝐶2 . 𝑒 0
8
8
32
1
9
1= +0−
+ 𝐶1 − 𝐶2
8
32
1 9
1− +
= 𝐶1 − 𝐶2
8 32
37
= 𝐶1 − 𝐶2
32
4. EDO de segundo orden No
Homogéneas
3
Habíamos encontrado 𝐶1 = − 𝐶2
32
Reemplazamos 𝐶1 :
37
3
=
− 𝐶2 − 𝐶2
32
32
37 3
−
= −2𝐶2
32 32
17
17
= −2𝐶2 ⇒ 𝐶2 = −
16
32
3
17
5
Por lo tanto 𝐶1 = − −
=
32
32
8
Y la solución particular para las condiciones de contorno dadas será:
1 3𝑥
3 3𝑥 5 𝑥 17 −𝑥
𝑦 = 𝑥𝑒 − 𝑒 + 𝑒 − 𝑒
8
32
8
32