Problema 16 - Matemáticas

Matemáticas para Economistas II
LECCIÓN 6.- PROGRAMACIÓN CLÁSICA
PROBLEMA 16
(Examen Septiembre 2005). Dado el problema:
Opt. xy + xz + yz
s.a. x + y + z = 6
Resuélvalo mediante la función de Lagrange. ¿Qué ocurre si el término independiente de la
restricción aumenta? Justifique su respuesta.
Solución:
Construimos la función de Lagrange asociada a este problema:
L( x, y, z; λ ) = xy + xz + yz − λ ( x + y + z − 6)
y aplicamos las condiciones necesarias de primer orden, es decir, calculamos sus puntos
críticos:
∂L( x, y, z; λ )
= y + z−λ = 0 ⇒ λ = y + z
∂x
∂L( x, y, z; λ )
= x+ z−λ = 0 ⇒ λ = x+ z
∂y
∂L( x, y, z; λ )
= x+ y−λ= 0⇒ λ = x+ y
∂z
∂L( x, y; λ )
= −( x + y + z − 6) = 0 ⇔ x + y + z = 6
∂λ
De las tres primeras ecuaciones obtenemos que x = y = z, y sustituyendo en la última
obtenemos el punto x = 2, y = 2, z = 2, λ = 4. Para ver si es óptimo debemos utilizar la
condición de segundo orden. Para ello necesitamos la hessiana reducida (es decir, sólo con
respecto a las variables originales del problema) evaluada en el punto crítico y el gradiente o
la matriz jacobiana de las funciones que determinen las restricciones:
⎛0 1 1⎞
⎛ 1⎞
⎜
⎟
⎜ ⎟
HL( x , y , z ) ( x, y, z , λ ) = ⎜ 1 0 1 ⎟
∇ g ( x , y , z ) = ⎜ 1⎟
⎜1 1 0⎟
⎜ 1⎟
⎝
⎠
⎝ ⎠
Y, en consecuencia, la forma cuadrática que tenemos que clasificar es:
© R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz
Matemáticas para Economistas II
⎛ 0 1 1 ⎞⎛ h1 ⎞
⎟⎜ ⎟
⎜
φ (h1 , h2 , h3 ) = (h1 h2 h3 )⎜ 1 0 1 ⎟⎜ h2 ⎟ = 2h1 h2 + 2h1 h3 + 2h2 h3
⎜ 1 1 0 ⎟⎜ h ⎟
⎠⎝ 3 ⎠
⎝
⎛ h1 ⎞
⎜ ⎟
(1 1 1)⎜ h2 ⎟ = 0 ⇒ h1 + h2 + h3 = 0 ⇒ h1 = −h2 − h3
s.a.
⎜h ⎟
⎝ 3⎠
Sustituyendo la información de la restricción en la función, obtenemos:
φ R (h2 , h3 ) = −2h22 − 2h32 − 2h2 h3
cuya matriz asociada es:
⎛− 2 −1⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ −1 − 2⎠
la cual es definida negativa y, por tanto, en el punto crítico tenemos un máximo.
Por otra parte, el signo del multiplicador nos proporciona la variación de la función objetivo
ante variaciones del término independiente de la restricción a la que va asociada. En este
caso, el multiplicador es positivo y nos indica que si se aumenta (disminuye) el término
independiente de la restricción el valor máximo de la función aumenta (disminuye).
© R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz