Problemas de integrales indefinidas

INTEGRALES INDEFINIDAS. Problemas con Solución.
Nota: En todas las soluciones hay que añadir una constante k ya que la primitiva es un conjunto
de funciones que se diferencian entre sı́ por una constante. Tan solo se especifica la constante k en
el primer problema, en los demás se sobreentiende pero se omite por brevedad. También, utilizamos
la letra c para una constante de integración.
1) Calcula las integrales:
Z √
a)
x3 dx;
Z
b)
3
dx;
x3
Z
Z
√
3
(2x + 5 x)dx;
c)
√
x3 (2 x − 3)dx.
d)
Solución:
1a)
2x5/2
3
10
x4
3
4
+ k; 1b) − 2 + k; 1c) x3/2 +
+ k; 1d) − x4 + x9/2 + k.
5
2x
3
2
4
9
2) Calcula las integrales:
Z
a) (x3 + 1)3 dx;
Z
b)
Z
2
4
x(x + 1) dx;
(x + 3)2 (x2 + 1)dx.
c)
Solución:
3
3
1
1
10
3
1
2a)x + x4 + x7 + x10 ; 2b) (1 + x2 )5 ; 2c)9x + 3x2 + x3 + x4 + x5 .
4
7
10
10
3
2
5
3) Calcula las integrales:
Z
a)
Solución:
3a) −
1
dx;
(2x − 1)3
b)
Z
c)
(2 + 3x)3
dx.
2x
¢
1
4 7/6 1 5/3
1¡
2
;
3b)
−
x
+
x
;
3c)
9x(4
+
3x
+
x
)
+
8
ln
x
.
(2x − 1)2
7
5
2
4) Calcula las integrales:
Z
a)
x
dx;
(2 + x2 )3
Solución:
4a) −
5) Calcula las integrales:
Z
a)
Solución:
√
x−2 x
√
dx;
33x
Z
Z
b)
Z
2
cos x sen xdx;
c)
ln x
dx.
x
1
1
1
; 4b) sen 3 x; 4c) ln2 x.
2
2
4(2 + x )
3
2
sen x
dx;
1 + cos x
Z
b)
2 tan x
dx;
cos2 x
Z
c)
2cos x sen xdx.
1
2cos x
5a) − ln(1 + cos x); 5b) tan2 x; 5c) −
.
2
ln 2
1
6) Calcula las siguientes integrales de modo inmediato o mediante una simple sustitución:
Z
Z
Z
−2x3
x
a)
dx; b) xe dx; c) x sen (x2 − π)dx.
1 + x4
Z
Z
Z
x
2
x
d)
dx; e) √
dx; f ) √
dx.
4
2
1+x
4−x
4 − x2
Z
Z
Z
√
x
2x + 4
2
g) (x + x + 1)/ xdx; h) √
dx.
dx; i) √
3
2
2
6−x
x + 4x + 2
Solución:
1
1 2
1
1
6a) − ln(1 + x4 ); 6b) ex ; 6c) − cos(x2 − π) = cos(x2 ).
2
2
2
2
√
1
6d) arctan(x2 ); 6e)2 arc sen(x/2); 6f ) − 4 − x2 .
2
√
3
2 √
x(315 + 210x + 189x2 + 90x3 + 35x4 ); 6h) − (6 − x2 )2/3 ; 6i)2 x2 + 4x + 2.
6g)
315
4
7) Halla las siguientes integrales mediante cambio de variable o integrando por partes:
Z
Z
Z
x
a)
dx; b) ln xdx; c) x ln xdx.
sen 2 (x2 )
Z
Z
Z
ex
2
d) ln xdx; e)
dx; f ) x2 ex dx.
1 + e2x
Z
Z
Z
tan x
2x
g) e cos xdx; h)
dx; i) arctan xdx.
cos2 x
Z
Z
Z
1
log210 x
j)
dx;
k)
x
cos
xdx;
l)
dx.
x cos2 (ln x)
x
Solución:
1
1
cot(x2 ); 7b)x(ln x − 1); 7c) x2 (2 ln x − 1).
2
4
2
x
7d)x(ln x − 2 ln x + 2); 7e) arctan(e ); 7f )ex (2 − 2x + x2 ).
7a) −
1
1
1
1
7g) e2x (2 cos x + sen x); 7h) tan2 x + k =
+ c; 7i)x arctan x − ln(1 + x2 ).
2
5
2
2 cos x
2
3
ln x
7j) tan(ln x); 7k)x sen x + cos x; 7l)
.
3 ln2 (10)
8) Calcula las integrales racionales siguientes:
Z 4
Z
Z
x −9
2
2x + 1
a)
dx; b)
dx; c)
dx.
2
3
x+2
−2 + x + x
x − x2 − x + 1
Z
Z
Z
x3
2x + 1
x3
d)
dx;
e)
dx;
f
)
dx.
(x + 2)3
x3 + x
4x3 + 8x2 − x − 2
Z
Z
1
3x + 1
g)
dx; h)
dx;
2
2
2
(x + 1)(x + 4)
x + 2x + 3
2
Solución:
2
8a) − 100/3 − 8x + 2x2 − 2x3 /3 + x4 /4 + 7 ln(2 + x); 8b) (ln(x − 1) − ln(x + 2)) ;
3
µ
¶
1
6
4(5 + 3x)
8c)
− 6 ln(x + 2);
ln(x − 1) − ln(x + 1) −
; 8d)x −
4
x−1
(x + 2)2
1
1
ln(1 + x2 ); 8f )
(60x − 128 ln(x + 2) + 3 ln(2x − 1) + 5 ln(2x + 1)) ;
2
240
µ
¶
√
1
1
3
x+1
2
8g) arctan(x) − arctan(x/2); 8h) ln(x + 2x + 3) − 2 arctan √
3
6
2
2
8e)2 arctan(x) + ln x −
9) Halla las siguientes primitivas de funciones trigonométricas:
Z
Z
Z
cos5 x
3
4
3
a)
sen xdx; b) cos (2x) sen (2x)dx; c)
dx.
sen 3 x
Z
Z
Z
3
2
d) tan xdx; e) sen xdx; f )
sen 2 x cos2 xdx.
Z
g)
Solución:
cos2 x
dx;
1 + sen 2 x
Z
h)
1
dx;
1 + 3 cos x
Z
i)
1 − cos x
dx;
1 + cos x
3
1
1
1
cos x +
cos(3x); 9b) −
cos5 (2x) +
cos7 (2x);
4
12
10
14
1
1
1
9c) − cos2 x − 2 ln( sen x) −
; 9d) tan2 x + ln(cos x);
2
2
2 sen x
2
√
√
x 1
x
1
9e) − sen (2x); 9f ) −
sen (4x); 9g) 2 arctan( 2 tan x) − x;
2 4
8 32
³
√
¡
¢
¡√
¢´
1
9h) √ ln 2 + tan(x/2) − ln 2 − tan(x/2)
9i)2 tan(x/2) − x
2 2
9a) −
10) Halla las siguientes primitivas de funciones irracionales con los cambios que se indican:
Z √
Z
1
√
a)
r2 − x2 dx; x = r sen t; b)
dx; x = 2 tan t;
x2 4 + x2
Z
Z
x2
x2
c) √
dx; x = 2 sec t; d) √
dx; x − 1 = 2 sen t;
x2 − 4
2x − x2
Solución:
√
´
√
1³ √ 2
4 + x2
2
10a) x r − x2 + r arctan(x/ r2 − x2 ) ; 10b) −
;
2
4x
√
√
1 √
1
3
10c) x x2 − 4 + 2 ln |x + x2 − 4|; 10d) arc sen(x − 1) − (x + 3) 2x − x2 ;
2
2
2
11) Halla el valor medio de f (x) = sen x en [0, π]. Calcula el valor medio de f (x) = x2 en [0, 2].
Solución:
11)2/π; 4/4.
3
12) Demuestra que si
Z
Z 2π
dx
dx
√
√
, I2π =
,
Iπ =
5 + 4 sen x
5 + 4 sen x
0
0
√
entonces, se cumple π/3 ≤ Iπ ≤ π/ 5, 2π/3 ≤ Iπ ≤ 2π.
R1
R1
2
13) La integral 0 e−x dx no se puede hacer por métodos elementales. Demuestra que 0 e−x dx ≤
R 1 −x2
R1
2
e dx. Prueba que 1 − 1/e ≤ 0 e−x dx ≤ 1.
0
π
14) Calcula el área comprendida entre el eje de abcisas y la parábola y = 2x − x2 . Demuestra sin
hacer la integral que esa área está entre 0 y 2.
Solución: 14)4/3.
15) Calcula el área entre el eje de abcisas y la hipérbola y = 1/x desde x = −4 hasta x = 1.
Solución: 15) ln 4.
16) Sea p > 0, halla el área del recinto limitado por la parábola y = x2 − px, y las rectas tangentes
a dicha parábola en los puntos en que ésta corta al eje OX.
Solución: 16)p3 /12.
17) Se consideran las funciones y = sen x, y = sen (2x) en el intervalo I = [0, π/2]. Halla el área
encerrada entre estas dos funciones en I.
Solución: 17)1/4.
18) Halla el área encerrada por las funciones y = x2 y x = y 2 . Calcula el área del primer cuadrante
encerrada entre y = xn y x = y n , n natural.
Solución: 18)1/3; (n − 1)/(n + 1).
19) Halla el área comprendida entre el eje y y la curva x = 9 + 2y − y 2 .
Solución: 19)36.
20) Calcula el área entre y = e−x y y = x + 1 desde x = −1 hasta x = 1.
Solución: 20)e + 1/e − 1 ≈ 2.086.
21) Calcula el área del primer cuadrante encerrada entre las curvas y = x2 , y = 2 − x y y = 0.
Solución: 21)5/6.
22) Calcula el √
área entre y = sen x, y = cos x desde x = 0 hasta x = π/2.
Solución: 22)2( 2 − 1) ≈ 0.8284.
23) Halla el área limitada entre las curvas y = 2x2 , y = x3 − 3x.
Solución: 23)71/6.
24) Calcula el área limitada entre y = sen x, y = 1 desde x = 0 hasta x = π/2.
Solución: 24)π/2 − 1 ≈ 0.57.
√
25) Calcula el área entre el eje de abcisas y la función y = ex − 1 para x ∈ [0, 1]. Prueba sin
hacer la integral
que 1.32.
√que el área es menor
√
Solución: 25)2( e − 1 − arctan e − 1) ≈ 0.78.
4
26) Se considera la elipse de semiejes a y b, x2 /a2 + y 2 /b2 = 1. Prueba que el área se puede expresar
por la integral
Z
b a√ 2
A=4
a − x2 dx.
a 0
Resuelve esta integral y demuestra que el área es A = πab. ¿Qué ocurre para a=b?
Solución: 26) Si a = b, área del cı́rculo πa2 .
5