Sistemas Lineales e Invariantes a la Traslación 1. 1.2

1. Sistemas Lineales e Invariantes a la Traslación
1.1 Motivación de las imágenes digitales
1.2 Sistemas lineales
1.2.1 Ejemplo de Sistemas Lineales
¿Qué es una imagen digital?
a) Sistema: un sistema realiza una transformación sobre un objeto de
entrada, generando una salida
¿Es un arreglo de píxeles?
entrada
sistema
salida
b) Suma: dos funciones se pueden sumar
Modelo mayor continuidad
Vecino más cercano
Funciones
base
c) Escalamiento: una función se puede escalar por un factor constante
Función 1D
Detalle de una imagen digital
Modelo basado en píxeles
(constante por área cuadrada)
d) Un sistema es lineal cuando se cumplen 2 condiciones:
1. Cuando la transformación de una suma es la suma de las transformaciones:
2. Cuando la transformación de un escalamiento es el escalamiento de la
transformación
El hecho que se trabaja con imágenes digitales tiene que ser considerado al
momento de implementar el procesamiento de esas imágenes.
1.2.3 Propiedad de Linealidad en matemáticas
1.2.2 Ejemplo de sistemas lineales
Se tiene un vector y lo rotamos en 90o a favor de los puteros del reloj, el
−
resultado es . Esta transformación se puede representar con una matriz de la
0 −1
forma .
1 0
−1
0 −1 2
Ejemplo = 1 0 1
2
Recordemos que la multiplicación entre una
matriz K y un vector se calcula de la siguiente
, , , + , = , ,
, + , forma Para el caso específico de una rotación en un ángulo θ,
cos(θ) −sen(θ)
la matriz es R = sen(θ) cos(θ)
Supongamos que tenemos 2 vectores y , los cuales se suman y se aplica
la transformación R(θ):
cos(θ) −sen(θ) # + $
sen(θ) cos(θ)
cos(θ) −sen(θ) cos(θ) −sen(θ) =
+ sen(θ) cos(θ) sen(θ) cos(θ) = #R $ + #R $
Si ; : ℝ → ℂ, ; : ℝ → ℂ y 1 , 1 ∈ ℂ, siendo A: ℂ → ℂ
Linealidad
AB1 ; () + 1 ; ()C = 1 AB; ()C + 1 AB; ()C
entonces κ es una operación lineal
En general, si 8D () = A:;D ()< E = 1, … , G
Para la linealidad
Se tiene 8() = 9:;()<
La transformación de la suma es igual a la suma de las trasformaciones sobre cada
vector en forma individual.
Por otro lado, si es escala uno de los vectores
cos(θ) −sen(θ)
cos(θ) −sen(θ) #1 $ = 1 = 1 #R $
sen(θ) cos(θ)
sen(θ) cos(θ)
La transformación de un vector escalado es igual al escalamiento de la
transformación del vector.
Con estas 2 propiedades se verifica que la transformación R(θ) es lineal.
R
R
A bM 1D ;D ()c = M 1D 8D ()
DO
DO
Una representación 8() = HK I(, );() J
De hecho
N
L I(, ) M 1D ;D () d
K
DO
⬚
=
=
N
M 1D P I (, );D ()J
DO
cumple con la condición de linealidad
K
R
M 1D 8D ()
DO
La versión discreta 8STU = ∑X∈K IST, WU;SWU
La versión matricial es
8
I, I,
8
⋮
⋱
Y ⋮ [= \
⋮
⋰
8R
IR, ⋯
⋯
⋰
⋱
⋯
I,^
⋮
a
⋮
IR,^
;
;
\ a
⋮
;^
1.3 Sistemas lineales e invariantes a la traslación
1.4 Convolución
Un sistema invariante a la traslación es aquel que entregará el mismo resultado
(en forma) ante una entrada, independiente de cuándo (en función del tiempo t)
o en qué posición (en función de x) se realiza el proceso.
Si 8: ℝ → ℂ , y 9 es una transformación lineal ℂ → ℂ, tal que 8() = 9:;()<
Entonces la propiedad de invariancia a la traslación es
8( − d ) = 9:;( − d )<
9:;( − d )< = P I (, );( − d )J = P I(, f + d );(f) Jf
Al reemplazar la linealidad en la invariancia a la traslación en la parte derecha:
g
K
K
Mientras que en la izquierda HK I ( − d , );()J = 8( − d )
Para cumplir con la invariancia a la traslación y despreciando las condiciones de
borde set tiene que I(, + d ) = I( − d , )
Por esta razón, I(, ) = ℎ( − )
En efecto I(, + d ) = ℎ: − ( + d )< = ℎ:( − d ) − < = I( − i , )
8() = P ℎ ( − );()J = ℎ ⊛ ;()
Por lo tanto para un sistema Lineal e Invariante a la Traslación (LIT):
K
La convolución tiene la propiedad de conmutatividad
ℎ ⊛ ;(k) = ; ⊛ ℎ(k)
La versión discreta 8l = ∑ℓ∈K ℎlmℓ ;ℓ = ∑ℓ∈K ℎℓ ;lmℓ
⋱
8d
ℎ
q m
8
Y ⋮ [=p⋯
⋮
8Rm
o ⋰
La versión matricial
ℎ
ℎd
ℎm
⋱
⋯
⋯
ℎ
ℎd
ℎm
⋮
⋯
⋱
ℎ
ℎd
⋱
⋰
;d
⋮t
;
⋯s \ ⋮ a
⋱ ;
Rm
⋱r
Se define como la operación convolución ⊛ como
x
8() = ℎ ⊛ ;() = P ℎ( − );() J
mx
1.4.1 Identidad en la convolución
Se cumple si ; ⊛ y() = ;()
Delta de Dirac y() = }∞ = 0
0 ≠0
Y Hmx y() J = 1 Normalización
x
x
P ;()y( − d ) d = ;(d )
mx
Identidad en versión vectorial
z{ = {
con la identidad es
∖ ⬚
∖ ∖w
⬚ ∖ ∖
m diagonales
0
1
0
0
0
1
1.4.2 Respuesta al impulso (función de transferencia)
ℎ ⊛ y() = ℎ()
ℋBy()C = ℎ()
∖
u∖
1
z = €0
0
h(x) viene a ser el Point Spread Function (psf)
1.5 Transformación de Fourier
1.4.3 Conmutatividad
La convolución tiene la propiedad de conmutatividad
Dem:
ℎ ⊛ ; ( ) = ; ⊛ ℎ ( )
ℎ ⊛ ; ( )
⬚
=
=
P ℎ();( − ) J
mx
x
P ; ()ℎ( − ) J = ℎ ⊛ ;( )
mx
1.4.4 Asociatividad (bloques)
Notar que el orden de los
sistemas se puede intercambiar ,
debido a la conmutatividad
siendo ⊛ la convolución
Se tiene un sistema H
x
8( ) = ℎ ⊛ ℎ ⊛ ;( )
= ℎ ⊛ (ℎ ⊛ ; )( )
= (ℎ ⊛ ℎ ) ⊛ ;( )
= ℎ ⊛ ;()
1.5.1 Procesamiento de sistemas LIT
x
;()
8()
ℎ⊛
8() = ℎ ⊛ ;() = P ℎ( − );() J
mx
usando ;() = ‚ Dƒ„ ,
x
†††
E = √−1
x
8() = P ℎ();( − ) d = P ℎ()eŠƒ(„m‹) d
=e
mx
Šƒ„
x
P ℎ()‚
mx
mDƒ‹
mx
d = eŠƒ„ ‡(ˆ)
entrada valor ℂ
x
con la transformación de Fourier ‡(ˆ) = P ℎ()‚ mDƒ„ J
ℎ () = ℎ ⊛ ℎ ()
= ℎ ⊛ ℎ ()
.˙. ;() = ‚ Dƒ„ es una función propia
mx
‡; = ;
donde ‡(ˆ) son los valores propios correspondientes
Valor propio
1 x
La transformación inversa de Fourier es ℎ() = †††P ‡(ˆ)‚ Dƒ„ Jˆ
2‰ mx
1.5.2 Propiedades de traslación de la Transformación de Fourier
ℱ
; ( − d ) ⇔ (ˆ)‚ mDƒ„‘
ℱ
; ( )‚ Dƒ‘„ ⇔ (ˆ − ˆd )
Ejemplo del efecto de traslación:
Desplazamiento en
posición (o tiempo)
Desplazamiento
en frecuencia
1.5.3 Escalamiento
ℱ 1
ˆ
; (’ ) ⇔ ††† ”††•
|’ |
’
Ejemplo: una función gaussiana
Amplitud original y desplazada
Señal Original
Fase img. original
Fase img. desplazada
Señal Desplazada
Amplitud en el espacio de Fourier 2D
em–
—„—
ℱ
↔
—
††
™ mƒ ›š–—
√
†††‚
–
1.6 Las funciones sinusoidales
1.5.4 Ejemplos de Transformaciones de Fourier
• Onda plana (viajera) que avanza en el espacio
a) Delta de Dirac
Por la transformada de una integral de una función
b) Respuesta al escalón
(Heaviside)
1
Ÿ†††+ ‰y(ˆ) 1
0 žE < 0
Eˆ
¢() = }
1 žE > 0
x
= P y(¡)J¡
mx
c) Función Rectangular
¥‚¦k„‘ () = ¢( + d ) − ¢( − d )
¦
• Está representada por la función:
;(, k) = A sin(ˆk − ) ,
¦ = ˆ› ,
con c siendo la velocidad de propagación
• Frecuencia: es la cantidad de ciclos que se repite una función sinusoidal en
un intervalo determinado
Angular: ˆ = 2‰ /© Sª–«⁄¬­®U
²
Temporal: ° = ⁄± †††
ó ‡‚¥k¶ ³´µ
• Frecuencia
por simetría
(Dualidad)
d) Función sinc:
por lo tanto
ℱ
e) Función constante 1 ↔
ℱ
2‰y (ˆ)
f) Función exponencial como
;()‚ Dƒ‘ „ ↔ (ˆ − ˆd )
entonces ‚ Dƒ‘ „
ℱ
⇔ 2‰y (ˆ − ˆd )
g) Para el caso del coseno
cos œ = †:‚ D + ‚ mD <
Y del seno žET œ = ††:‚ D − ‚ mD <
D
ℱ
 ( ) ⇔2‰; (−ˆ)
(Por dualidad y
transf. Delta Dirac)
Espacial:
††††½
= ™⁄· ¸¹º»
³¼
• Representación de una señal en base a sinusoides:
;ℓ̅ () = ¿ℓ žET(ℓ + œℓ ) ,
• Amplitud
ℓ = ℓd
•
Fase
1.7 Series de Fourier
1.7.2 Series de Fourier
Al definir una serie de Fourier como ;(̅ ) = ËÁ∈ℤ ÆÁ ‚ DÁƒ‘ „ ,
siendo una función compleja ;:̅ ℝ → ℂ ¦Á ∈ ℂ. El espacio de; ̅ es el de las
™
funciones periódicas, cuyo período es © = ††
.
Å
1.7.1 Suma de funciones sinusoidales
;(̅ ) = M ;ℓ̅ () = M ¿ℓ sin(ℓ + œℓ ) ,
Composición de funciones sinusoidales:
ℓ∈ℤ
ℓ∈ℤ
ℓ = ℓd
‘
ℱ
Ocurre que si tenemos el par de Fourier ;() ↔(ˆ)
Ejemplo: Una función continua puede
descomponerse en diferentes
funciones sinusoidales
Entonces la relación será
™
¦Á = ††(ˆ
y
;(̅ ) = ∑x
i)
lOmx ;( + T©)
±
Por esta razón, al utilizar versiones discretas en el espacio de Fourier, en el
espacio de la función original, ésta es periódica.
Volviendo al problema del tren de pulsos, si tenemos una función continua
ℱ
que es aperiódica ;d () ↔d (ˆ), la versión periodizada ; ̅ se puede obtener
como
Estas funciones sinusoidales se
indexan por la frecuencia kω0,
especificando
††††††††††††
la amplitud ¿Á = É(’Á ) + (ÄÁ )
y la fase
ÊÁ = arctan ÄÁ ⁄’Á
Una serie de Fourier se define en base a una suma de armónicos (múltiplos de
una frecuencia base) de funciones periódicas (sinusoidales o exponenciales con
exponente imaginaria).
;(̅ ) = M ÆÁ ‚ ÇÁƒ‘ „
;(̅ ) = M ’ ¦Âž(ˆ ) + Ä žET(ˆ )
Á∈ℤÃ
Á
d
Á
función real ; ̅: ℝ → ℝ ’Á , ÄÁ ∈ ℝ,
d
Discretización en
la frecuencia
Á∈ℤ
función compleja ; ̅: ℝ → ℂ, ¦Á ∈ ℂ
El espacio de ; ̅ es el de las funciones periódicas, cuyo período es © = ††
Å
™
‘
Notar que ésta forma de representación aparte de ser periódica, es también
lineal.
ℱ
; ⊛ ; () ↔ (ˆ)  (ˆ)
Pues hay que aplicar la propiedad de Fourier de
ℱ
; () ↔ (ˆ)
ℱ
; () ↔ (ˆ)
1.8 Representación de señales análogas mediante imágenes digitales
1.8.2 Cálculo de B-splines
Propiedades generales
1.8.1 Espacios invariantes a la traslación entera
Tenemos un espacio generado por la traslación y el escalamiento de una
función Ê
Propiedades de aproximación
Partición de la unidad
;() = M ¦X Ê( − W)
X∈ℤ
T: intervalo de muestreo, L:
potencia de aprox
Al tener valores discretos y[k], se puede interpolar estos valores
mediante la relación { = ̦{
Por ejemplo, se pueden utilizar funciones rectangulares, triangulares, splines
cúbicos o wavelets:
Rectángulo:
Spline cúbico
multiresolución
1.8.3 Ejemplo de wavelets con B-spline
1.8.4 Ejemplo Wavelet con B-spline de orden mayor
La descomposición por wavelets se basa en filtros pasa-bajos y filtros pasaaltos que se aplican en forma progresiva y que se basan en funciones de
soporte local
Ejemplo Haar Wavelet
media móvil(ancho m=2)
(ySTU + yST − 1U)
ℒSTU = ††
DK
††:1 + ‚ mDK <
Î:e < =
⬚
=
DK›
cos:ϛ
‚m
2<
(ySTU − yST − 1U)
ℎSTU = ††
DK
††:1 − ‚ mDK <
‡:e < =
⬚
Ejemplo 1D
=
Ejemplo 2D Haar Wavelet:
DK›
sin:ϛ
−E‚ m
2<
1.8 Representación de señales análogas mediante imágenes digitales
1.8.1 Espacios invariantes a la traslación entera
Tenemos un espacio generado por la traslación y el escalamiento de una
función Ê
;() = M ¦SWUÊ( − W)
X∈ℤ
Al tener valores discretos y[k], se puede interpolar estos valores
mediante la relación { = ̦{
Sea
Si queremos encontrar el kernel (función base) que interpola los
valores y[k], podemos expresarlo en términos del espacio generado
por la traslación de la función Ê
Para que sea una función interpoladora
Por lo tanto
y la func. cardinal