Hoja 01b.- Desarrollo en serie de Fourier

Hoja 01b.- Desarrollo en serie de Fourier
1. Hallar el periodo positivo más pequeño de las siguientes funciones: cos(x), sin(x),
cos(2·x), sin(2·x), cos(π·x), sin(π·x), cos(2·π·x), sin(2·π·x).
2. Dibujar la gráfica de las siguientes funciones:
a) f(x) = - π/4 en (-π,0)
= π/4 en (0,π)
f(x+2·π) = f(x)
b) f(x) = x/2 en (-π, π)
f(x+2·π) = f(x)
3. Hallar los coeficientes de Fourier de la función:
f(x) = -k en (-π,0)
= k en (0, π)
f(x+2· π) = f(x)
4. Una corriente sinusoidal pasa a través de un rectificador de madia onda que corta la
porción negativa. hallar la serie de Fourier de la función periódica resultante:
u(t) = 0 en (-T/2,0)
= E·sin(w·t) en (0,T/2)
con T = 2·π/w
5. Desarrollar en serie de Fourier f(t), función periódica de periodo T, tal que:
a) f(t) = -f(t + T/2)
b) f(t) = f(t + T/2)
c) f(-t) = -f(t) y además f(t) = -f(t + T/2)
d) f(-t) = -f(t) y además f(t) = f(t + T/2)
e) f(-t) = f(t) y además f(t) = f(t + T/2)
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f) f(-t) = f(t) y además f(t) = -f(t + T/2)
6. Siendo
u(t) = 0 para t < 0
= 1 para 0 ≤ t
a) Representar y = u(cos(x))
b) Desarrollar en serie de Fourier la función u(cos(x)).
7. Desarrollar en serie de Fourier en el intervalo (-π,π) la función:
f(t)
= -(π + t)/2 en (-π,0)
= (π - t)/2 en (0, π)
8. Desarrollar en serie de Fourier en el intervalo (-π,π) la función:
f(t)
= 1 en (-π,0)
= sin(t) en (0, π)
9. Desarrollar en serie en el intervalo (0,π/2) la función:
f(t) = -t·(-t + π/2)
a) en serie de cosenos impares
b) en serie de senos impares.
10. Desarrollar f(x) = x2 en el intervalo (0,2·π) en serie de Fourier con periodo 2·π.
11. Desarrollar en el intervalo (0,c) la función:
f(t)
= t en [0,c/2]
= c - t en [c/2,c]
a) en serie de senos
b) en serie de cosenos.
12. Desarrollar en serie de Fourier en el intervalo (-π,π) la función:
f(t)
= cos(x) en (π,0]
= -cos(x) en (0,π].
13. Dada la función f(x) = (x + 1)·u(sin(x)), definida en el intervalo [0,2·π], siendo
u(t) = 0 para t < 0
= 1 para 0 ≤ t
a) Representar la función
b) Hallar el desarrollo en serie de senos de dicha función
c) Expresarla como desarrollo en serie de las funciones {1, sin(n·x/3),cos(n·x/3)}, si es
posible, en el intervalo [0,2·π].
14. Desarrollar en serie de Fourier la función f(t) = cos(x)·(sin(x)·cos(x))2
15. Representar mediante una serie senoidal de Fourier, la función
a) f(x) = x en (0, π)
b) f(x) = x en (0,1)
c) f(x) = x en (0,π/2)
= π /2 en (π/2,π)
d) f(x) = π/2 - x en (0,π/2)
= 0 en (π/2,π)
Establecer en cada caso el periodo de la función resultante.
16.
Representar mediante una serie cosenoidal de Fourier y determinar el período de
la función:
f(x) = sin(π·x/L) si 0 < x < L.