Ejemplo Teórico: Estimación MC2E Marta Regúlez (UPV/EHU

Ejemplo Teórico: Estimación MC2E
Marta Regúlez (UPV/EHU)
Considera el siguiente modelo de dos ecuaciones
y1t = β12 y2t + γ11 x1t + γ12 x2t + u1t
y2t = β21 y1t + γ23 x3t + u2t
donde y1 , y2 son las variables endógenas, x1 , x2 y x3 son las variables exógenas independientes de los términos de error u1t , u2t . Los errores estructurales satisfacen las siguientes
hipótesis:
uit ∼ N ID(0, σi2 ) , E(u1t u2t ) = σ12 ∀t y E(u1t u2s ) = 0 ∀t ̸= s.
Se dispone de la siguiente información muestral de productos cruzados de las variables
del modelo utilizando 25 observaciones,
y1
y2
x1
x2
x3
y1
35
y2
30
115
x1
10
10
10
x2
10
30
0
10
x3
0
40
0
10
20
1. Estima la primera ecuación por MC2E. ¿Coincide con la estimación por MCI
Respuesta:
Primera ecuación
y1 = Y1 β1 + X1 γ1 + u1
|{z} |{z} |{z} |{z} |{z}
|{z}
T x1
T xG1 G1 x1
T xK1 K1 x1
T x1
o de forma más compacta
y1 =
|{z}
T x1
Z1
|{z}
δ1
|{z}
u1 ∼ (0, σ12 IT )
+ u1
|{z}
T x(G1 +K1 ) (G1 +K1 )x1
T x1
donde T = 25, G1 = 1, K1 = 2


y11
 .. 
y1 =  . 
|{z}
y1T
T x1





X1  = 
Z1 =  Y1
|{z} |{z}

T xG1
T xK1
y21
y22
..
.
x11
x12
..
.
x21
x22
..
.
y2T x1T x2T





[
δ1 =
β1
γ1
]

β12
=  γ11 
γ12

La primera ecuación está exáctamente identificada por lo que la matriz (Z1′ X) es
cuadrada (3x3) e invertible por lo que
)−1 (
(
)−1
−1
= X ′ Z1 )−1 (X ′ X) (Z1′ X
Z1′ X (X ′ X) X ′ Z1
1
Marta Regúlez (UPV/EHU)
Ejemplo Teórico: Estimación MC2E
entonces sustituyendo en la expresión para el estimador MC2E se puede escribir
como:
)−1
(
−1
−1
δ̂1M C2E = Z1′ X (X ′ X) X ′ Z1
Z1′ X (X ′ X) X ′ y1
obtenemos,
(
)−1 ′
−1
−1
δ̂1M C2E = X ′ Z1 )−1 (X ′ X) (Z1′ X
(Z1 X) (X ′ X) X ′ y1 = (X ′ Z1 ) X ′ y1 = δ̂1M CI
Esto es, dada la muestra:

 
−1 
 

10 10 0
10
−1
β̂12
δ̂1,M C2E =  γ̂11  =  30 0 10   10  =  2 
40 0 10
0
4
γ̂12
Dado que la ecuación está exáctamente identificada han de coincidir las estimaciones
de MC2E con las de MCI. Y eso es lo que ocurre.
2. Estima la segunda ecuación por MC2E.
Respuesta:
Segunda ecuación
y2 = Y2 β2 + X2 γ2 + u2
|{z} |{z} |{z} |{z} |{z}
|{z}
T x1
T xG2 G2 x1
T xK2 K2 x1
T x1
o de forma más compacta
y2 =
|{z}
T x1
Z2
|{z}
δ2
|{z}
+ u2
|{z}
u2 ∼ (0, σ22 IT )
T x1
T x(G2 +K2 ) (G2 +K2 )x1
donde T = 25, G2 = 1, K2 = 1


y21
 .. 
y2 =  . 
|{z}
y2T
T x1





Z2 =  Y2
X2  = 
|{z} |{z}

T xG2
T xK2
y11
y12
..
.
x31
x32
..
.





[
δ2 =
β2
γ2
]
[
=
β21
γ23
]
y1T x3T
La segunda ecuación está sobreidentificada por lo que la matriz (Z2′ X) no es cuadrada (2x3). Por lo tanto consideramos la expresión del estimador MC2E:
)−1
(
−1
−1
M C2E
′
′
′
Z2′ X (X ′ X) X ′ y2
δ̂2
= Z2 X (X X) X Z2
dada la muestra obtenemos las siguientes estimaciones:
] [
]−1 [
] [ ]
[
30 0
30
1
β̂21
=
=
δ̂2,M C2E =
0 20
40
2
γ̂23
En este caso la ecuación está sobreidentificada por lo que no tendrı́an que coincidir
MC2E y MCI aunque dada esta muestra eso ocurre.
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