Tema 4: Representación de señales paso banda

1.1
REPRESENTACIÓN DE SEÑALES PASO – BANDA
En este apartado repasaremos conceptos básicos de las comunicaciones paso-banda.
Transformada Hilbert de una señal x(t):
x(t )
h(t ) =
xˆ (t )
h(t)
1
1 ∞
1
xˆ (t ) = x(t ) ∗
= ∫ x(τ ) ⋅
⋅ dτ
π ⋅ t π −∞
t −τ
1
π ⋅t
Se puede demostrar que:
−j
F {h(t )} = H (ω ) = − j ⋅ sign ω = 0
j
ω > 0
ω = 0
ω < 0
Por tanto el transformador de Hilbert es un filtro desfasador de 90º ideal. En el dominio de la
frecuencia:
H(ω )
j
ω
-j
φ (ω )
π
2
ω
−π
2
En el dominio de la frecuencia:
Xˆ (ω ) = H (ω ) ⋅ X (ω ) = (− j sign ω ) ⋅ X (ω )
Un par de transformadas muy útil:
H
cos(ω 0 ⋅ t ) ←⎯→ cos(ω 0 ⋅ t −
π
2
) = sin(ω 0 ⋅ t )
H
sin(ω 0 ⋅ t ) ←⎯→
− cos(ω 0 ⋅ t )
cos (ω 0 t + φ ) ←⎯→ sin (ω 0 t + φ )
H
Si m(t) es una señal paso bajo con frecuencia de corte ω1 y c(t) es una señal paso alto con frecuencia
de corte inferior ω2>ω1:
H
m(t ) ⋅ c(t ) ←⎯→
m(t ) ⋅ cˆ(t )
Señal analítica o pre-envolvente asociada a x(t)
x + (t ) = x(t ) + j ⋅ xˆ (t )
Por ejemplo:
x(t ) = cos(ω c t )
x + (t ) = cos(ω c t ) + j ⋅ sin (ω c t ) = e jωct
Otro
ejemplo:
sea
x(t ) = m(t ) ⋅ cos (ω c t )
m(t)
una
señal
paso
bajo
con
frecuencia
de
corte
ω<ωc,
x + (t ) = m(t ) ⋅ cos(ω c t ) + j ⋅ m(t ) ⋅ sin(ω c t ) = m(t ) ⋅ e jωct
2 X (ω ) ω > 0
En general se puede demostrar que: X (ω ) = 2 ⋅ X (ω ) ⋅ u (ω ) = X (0 ) ω = 0
+
ω<0
0
X (ω )
X(0)
ωc
−ωc
ω
X + (ω )
2X(0)
ω
ωc
Envolvente compleja de x(t)
x (t ) = x + (t ) ⋅ e − jω c t
Se define siempre con respecto a una frecuencia portadora ωc: ~
~
y su transformada de Fourier es: X (ω ) = X + (ω + ω c ) = 2 ⋅ X (ω + ω c ) ⋅ u (ω + ω c )
La envolvente compleja se define por tanto para señales paso-banda, , y la frecuencia portadora ωc
x (t ) es una
se encuentra normalmente en la banda de paso de la señal paso-banda x(t). Por eso, ~
señal paso-bajo, también llamada EQUIVALENTE PASO-BAJO.
Desarrollando:
~
x (t ) = [x(t ) + jxˆ (t )] ⋅ e − jω c t
ℜe{~
x (t )} = x(t ) ⋅ cos ω c t + xˆ (t ) ⋅ sin ω c t = xF (t ) → Componente en fase
ℑm{~
x (t )} = xˆ (t ) ⋅ cos ω c t − x(t ) ⋅ sin ω c t = xc (t ) → Componente en cuadratura
~
x (t ) = x F (t ) + j ⋅ xc (t )
{
}
{
}
{
y también: x(t ) = ℜe x + (t ) = ℜe ~
x (t ) ⋅ e jω ct = ℜe ( x F (t ) + j ⋅ xC (t )) ⋅ e jω ct
x(t ) = xF (t ) ⋅ cos ω ct − xC (t ) ⋅ sin ω ct
Envolvente real de x(t)
Se define como:
e(t ) = ~
x (t ) = x F2 (t ) + xC2 (t )
También: e(t ) = x + (t ) =
x 2 (t ) + xˆ 2 (t )
Fase instantánea de x(t):
θ (t ) =p ~x (t ) = arctg
xc (t )
x F (t )
y así x(t ) = e(t ) cos(ω c t + θ (t ))
Nótese que:
x(t ), xˆ (t ) son señales paso-banda.
~
x (t ), xF (t ),
xC (t ), e(t ) y θ (t ) son todas ellas señales paso-bajo.
x(t ), xˆ (t ), x F (t ), xC (t ), e(t ), θ (t ) son señales reales.
y x(t ) = e(t ) cos(ω c t + θ (t ))
}