Componentes principales Riesgo de tipos de interés Componentes principales Gerardo Oleaga 16 de mayo de 2006 Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Contenidos Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Generalidades Controlar el comportamiento de la curva de tipos a través de un solo factor es, a menudo, escaso. En el otro extremo, utilizar una muestra de todos los factores y de sus evoluciones diarias (por ejemplo), puede ser excesivo. La técnica de componentes principales nos puede asistir para seleccionar una combinación adecuada de tipos, y de esta manera controlar a través de unos pocos factores los movimientos más relevantes de la curva. Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Si tenemos una muestra de N variables aleatorias distintas, cada una de tamaño n (N podrı́a ser el número de tipos de interés que podemos estimar en el mercado y n la cantidad de dı́as que hemos observado, con n grande). Vamos a llamar x(j) al vector que indica la muestra j-ésima normalizada alrededor de la media. La longitud del vector x(j) es N para 1 ≤ j ≤ n. Si disponemos a los datos en una matriz X , donde las columnas indican la variable (los tipos centrados) y las filas nos indican la muestra seleccionada, tenemos que (i) (i) (i) fila i := x(i) = (x1 , x2 , . . . , xN ) Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Componentes principales (1) x1 (1) x2 (2) (2) x x2 1 X := .. .. . . (n) (n) x1 x2 ··· .. . .. . ··· (1) (2) xN xN .. . (n) xN La matriz de covarianzas Cov de estos datos puede escribirse como: Covij = 1 T 1 < ci , cj >= X X n n ij de N × N. donde aquı́ < ci , cj > representa el producto escalar entre vectores de dimensión n y cj representa el vector columna de la posición j (es decir, sus coordenadas son las n muestras de la variable fija xj ). Los vectores fila x(i) representan un punto en el espacio de dimensión N. Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Podemos plantearnos ahora el problema siguiente: ¿cuál es la dirección, en el espacio de dimensión N, para la cual la variabilidad de la muestra es máxima? Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Por ejemplo, si tenemos n muestras para 2 tipos (cada vector x(i) tiene dos componentes), podemos pintar los puntos en el plano. Si centramos los datos en el origen (restando las medias), la dirección que buscamos corresponde a la que define la recta de regresión. Una forma de calcularla es la siguiente: denotemos por e al vector de norma 1 que nos da la dirección que queremos hallar. Ahora proyectamos los puntos sobre la recta en la dirección de e. La suma de las proyecciones elevadas al cuadrado vienen dadas por P(e) = n X (< x(i) , e >)2 i=1 donde < ·, · > denota el producto escalar, en este caso en R2 . Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Podemos escribir directamente al vector e en términos de un ángulo θ n X (i) (i) P(θ) = (x1 cos(θ) + x2 sen(θ))2 i=1 Si derivamos respecto de θ e igualamos a cero nos queda 0 P (θ) = 2 n X (i) (i) (i) (i) (x1 cos(θ)+x2 sen(θ))(−x1 sen(θ)+x2 cos(θ)) = 0 i=1 Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Desarrollando los cálculos y teniendo en cuenta que n X (i) (i) xk xl =< ck , cl >= 2Covkl i=1 nos queda la condición < Cov · e, e⊥ >= 0 ⇒ Cov · e = λe donde e⊥ es el vector ortogonal a e girando en el sentido positivo del ángulo, y para algún número λ. De este modo, λ debe ser un autovalor de la matriz de covarianzas y e un autovector correspondiente. Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Si consideramos la base {e1 , e2 } := {e, e⊥ } tenemos que Cov · (e1 e2 ) = (e1 e2 ) λ1 0 0 λ2 con λ1 ≥ λ2 donde la máxima variabilidad se da en la dirección del autovector correspondiente al primer autovalor. Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Esto se puede generalizar a más dimensiones utilizando multiplicadores de Lagrange. Obsérvese que la matriz de covarianzas en cualquier dimensión (número de variables) es simétrica y (semi) definida positiva. Podemos ver esto fácilmente a partir de la definición Covij = 1 1 < ci , cj >= < cj , ci >= Cji . n n Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Para ver que es definida positiva: P 1 PN < Cov · v, v >= N i,j=1 < ci , cj > vi vj i,j=1 Covij vi vj = n P P (k) (k) = n1 nk=1 N i,j=1 xi xj vi vj P P P (k) (k) N N = n1 nk=1 x v x v i j i=1 i j=1 j 2 P PN (k) ≥0 = n1 nk=1 i=1 xi vi Obsérvese que si los datos caen sobre un subespacio de menor dimensión, podemos encontrar un v que sea ortogonal a todos ellos y por lo tanto la matriz de covarianzas no serı́a estrictamente definida positiva (serı́a semidefinida). Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Después de calcular la matriz de covarianzas Cov y de obtener la base de autovectores correspondientes en las columnas de una matriz A podemos escribir Cov = ADAT donde D contiene los autovalores de C ov (≥ 0) ordenados de mayor a menor. Llamemos a estos autovectores ei , como en el ejemplo, ahora para 1 ≤ i ≤ N. Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media La matriz C := AD 1/2 se llama la matriz de componentes. Contiene las direcciones multiplicadas por la desviación estándar de los datos en esa dirección. Tiene la propiedad T Cov = AD 1/2 AD 1/2 = CC T Ilustración: Cálculo de la matriz de componentes para un conjunto de datos de tipos de interés. Ejercicio: Realizar el mismo cálculo para otros conjuntos de tipos de interés. Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media La idea de una componente principal es la de mirar los datos en las direcciones de los vectores ei , especialmente considerando a los primeros vectores de la lista, ya que nos aportarán las direcciones más importantes en cuanto a variabilidad de los datos. Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Volviendo al ejemplo en dos variables, si todos los puntos cayeran sobre una recta nos bastarı́a con el vector e1 para dar cuenta de todo lo que le sucede a los datos, ya que en la dirección de e2 no habrı́a ninguna variación (digamos que la varianza en la dirección de e2 serı́a nula). ¿Cómo podemos aprovechar esta información? Es evidente que en este caso extremo sólo necesitarı́amos considerar a las proyecciones de los datos en la dirección de e1 . Sin embargo, si no es el caso que los datos estén sobre una recta, pero la variación en la dirección de e2 es muy pequeña, esto nos indica que los datos serı́an muy planos, es decir que estarı́an casi sobre una recta y podrı́amos reducir la dimensión de nuestro problema. Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Teniendo en mente estas reflexiones, definamos unas nuevas variables que sean las proyecciones de los datos x(i) sobre las direcciones principales. Por ejemplo (i) (i) (i) p1 =< x(i) , e1 >, p2 =< x(i) , e2 >, . . . , pN =< x(i) , eN > Escrito de forma más compacta esto es p(i) = x(i) A donde ahora disponemos en el vector fila p(i) a las proyecciones de los datos x(i) sobre los autovectores, dispuestos en forma de columna en la matriz A. Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media ¿Cuál serı́a ahora la matriz de covarianzas de los “datos” p(i) ? Calculemos 1 T 1 T T P P = A X XA n n = AT Cov A = D de modo que las proyecciones son independientes y sus varianzas son idénticas a los autovalores! Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Esto nos muestra que si los autovalores son muy pequeños entonces las proyecciones sobre el autovector correspondiente son también pequeñas. Si dejamos de lado deliberadamente los autovalores más pequeños, y sus correspondientes direcciones, podemos “explicar” aproximadamente el comportamiento de todos los datos con un número más reducido de variables de proyección, cuyas direcciones serán las más importantes de todas las componentes principales. Ilustracion: Comprobar que si eliminamos los autovalores pequeños obtenemos una matriz de covarianzas similar al hacer ADAT . Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Reducción de la dimensión e que tiene ceros Si reemplazamos a la matriz P por una matriz P en un número determinado de las últimas columnas, la matriz de e será ahora una diagonal D e donde desaparecerán covarianzas de P el número indicado de autovalores (que suponemos pequeños). Esto nos lleva a una nueva matriz de covarianzas y a una matriz de e al reemplazar a los vectores originales por sus datos aproximados X proyecciones sobre las direcciones principales. Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Podemos estimar el error cuadrático medio que se cometerá al reemplazar los datos X por los datos proyectados (i) (i) (i) T T x(i) = p1 eT 1 + · · · + pN−1 eN−1 + pN eN (i) (i) T T T e e1 eT x(i) = p 1 + · · · + pk ek + 0 ek+1 · · · + 0 eN (los vectores ej son columna), escrito en forma compacta e(i) AT x(i) = p(i) AT ⇒ e x(i) = p Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Componentes principales n ECM = T 1 X (i) x −e x(i) x(i) − e x(i) n i=1 = n 1 X n T e(i) AT A p(i) − p e(i) p(i) − p i=1 n por ser A ortogonal = T 1 X (i) e(i) p(i) − p e(i) p −p n i=1 = N n N X X 1 X (i) 2 pj = λi . n j=k+1 i=1 i=k+1 donde k es el número de autovalores que hemos retenido. Si esta suma es menor que una tolerancia ε, entonces tendremos controlado el error cometido sobre los datos. Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Esto nos muestra que la elección de las componentes principales nos permite reducir la dimensión de nuestro problema, reemplazándolo por uno en el que tendremos menos variables. Por otra parte, si queremos obtener un histograma de valores de una cartera por simulación, podemos generar escenarios para las dos o tres primeras componentes en las correspondientes direcciones principales, obteniendo de esta manera una descripción simplificada de las variables originales. Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Las variables que retenemos van a explicar en cierta proporción al comportamiento de todos los datos originales. Una forma de medir la relevancia de cada variable retenida es mediante el pocentaje que representa en la varianza total. En fórmula Porcentaje explicado por componente i := λi λ1 + λ2 + . . . λ N De este modo, si queremos saber cuál va a ser el porcentaje explicado por las dos primeras componentes deberemos calcular λ1 + λ 2 λ1 + λ 2 + · · · + λN ya que las proyecciones son independientes entre sı́. Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Cuando las variables que consideramos provienen de datos de distinta naturaleza podemos usar la matriz de correlaciones en lugar de la de covarianzas (esto normaliza las escalas con las que vemos a cada dato). ρij = √ Covij p Covii Covjj De este modo, la matriz de correlaciones tiene unos en la diagonal, y a ésta podemos aplicarle la misma reducción de variables que le aplicamos a la de covarianzas. Importante: Nótese que trabajar con la matriz de correlaciones es equivalente a calcular la de covarianzas a las variables normalizadas, esto es, divididos por su desviación tı́pica. Asumiremos a partir de ahora que los datos están normalizados de esta manera y que además se hallan centrados alrededor de la media Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Variaciones del valor de una cartera Dadas las curvas de tipos para tiempo t: (t) (t) (t) r(t) = r1 , r2 , . . . , rN , donde t es la fecha que corresponde a cada muestra, calculamos las variaciones en un plazo de tiempo ∆t (un dı́a o una semana) dadas por s(t) = r(t+∆t) − r(t) . Nótese que si el número de muestras es muy grande, la media de cada diferencia es aproximadamente cero. Sean (σ1 , . . . , σN ) sus desviaciones tı́picas. Suponemos de ahora en más que hemos normalizado a las s(t) . Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Los datos s son los que utilizaremos para hacer el análisis de componentes principales. Como antes, denotaremos por ei a cada autovector unitario de la matriz de autovectores. Nos quedaremos con las proyecciones de los datos en las tres primeras direcciones: (t) (t) (t) s(t) ≈ p1 e1 + p2 e2 + p3 e3 y rescalamos los vectores para tener componentes de varianza 1: (t) (t) (t) s(t) ≈ a1 c1 + a2 c2 + a3 c3 Gerardo Oleaga 1/2 ci := λi ei Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media (t) Recordemos que las variables pi son independientes y tienen varianza λi . Podemos escribir las variaciones del valor de una cartera de bonos a partir del dı́a de hoy (0) para el dı́a ∆t del siguiente modo: Vcartera r(∆t) − Vcartera r(0) donde r(∆t) = (a1 , a2 , a3 ) C T Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Sensibilidad a componentes Si tenemos en cuenta las variaciones de los valores de la cartera cuando cambiamos alguna de las componentes ai , tenemos una forma de calcular la exposición de la inversión ante cambios en estos parámetros. Concretamente, podemos definir sensibilidades en el precio a partir de las componentes del siguiente modo. Para calcular la sensibilidad respecto de la primera componente basta con considerar un movimiento pequeño que solo tenga en cuenta la primera dirección (a1 , a2 , a3 ) = (h, 0, 0) La sensibilidad primera viene dada por h sensibilidad primera ≈ Gerardo Oleaga Vcartera (h,0,0)−Vcartera (0,0,0) h i Vcartera (0, 0, 0) Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Nótese que, al ser la primera componente un movimiento paralelo de los tipos, esta cantidad es (salvo el signo) prácticamente la duración de Fisher-Weil. Ilustración: Determinación de las sensibilidades de una cartera formada por un bono con cupón del 4 % pagado anualmente a 5 años y un bono del 3 % anual a 10 años. Nominal 1, curva inicial dada por la fila del 30 dic 2005 en la hoja de datos. Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Cobertura con componentes Queremos cubrir el riesgo de variación de valor de una cartera de bonos ante el efecto de las componentes principales. Vamos a comprar o vender una cantidad determinada de esos bonos de modo que el valor de hoy sea equivalente a la cartera original y que sea insensible respecto de las tres componentes. Esto nos impone cuatro condiciones y por lo tanto debemos contar (mı́nimo) con cuatro bonos. Supongamos que el valor inicial de nuestra cartera es 100. Sean B1 , B2 , B3 y B4 , queremos hallar (β1 , β2 , β3 , β4 ) tales que X 100 = βi Bi r(0) i y además X X βi Bi r(∆t) = βi Bi r(0) i i Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media donde r(∆t) lo obtenemos con (h, 0, 0) (0, h, 0) (a1 , a2 , a3 ) = (0, 0, h) para una pequeña variación h de cada componente. Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Inversión en una componente Podemos diseñar una inversión en bonos, que por ejemplo sea neutral respecto de dos de las componentes y que suponga una exposición directa a la componente restante. Supongamos, por ejemplo, que sea neutral a las variaciones de las dos primeras. Necesitaremos 3 bonos, B1 ,B2 ,B3 . Buscamos (β1 , β2 , β3 ) tales que Valor inicial = 3 X βi Bi r(0) i=1 y además 3 X 3 X βi Bi r(∆t) = βi Bi r(0) i=1 i=1 Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Componentes principales cuando el r(∆t) lo imponemos usando (a1 , a2 , a3 ) = (h, 0, 0) y (a1 , a2 , a3 ) = (0, h, 0) . Esto se aplicarı́a en particular si una componente tiene reversión a la media, y está alejada de esa media. Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media ¿Cómo determinamos la cercanı́a a la media? Podemos definir una cantidad llamada Z-score del factor, que determina lo “alto” o lo “bajo” que está (respecto del nivel medio). Z= factor − min max − min donde max :=percentil 95 min :=percentil 5 Para una curva determinada s(t) , podemos calcular la primera proyección (el primer factor) del siguiente modo p1 =< s(t) , e1 > Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Un Z -score próximo a 100 % significa factor relativamente alto, mientras que Z -score próximo a 0 % significa factor relativamente bajo. Si creemos que los factores tienen tendencia a situarse en su nivel medio, un Z -score alto debe interpretarse como una señal para entrar en una estrategia que aproveche la potencial bajada de ese factor. Ilustración: Determinación de la cobertura de una cartera. Bonos a 2,5,7 y 10 años en una cartera de valor inicial 100. Cupones del 5 % anual. Ilustración: Cálculo de inversiones en componentes dada una curva inicial (hoy) dada por r = (2.75,2.9,3.02,3.13,3.23,3.31,3.38,3.44,3.49,3.54) Todos los datos son porcentuales y asumimos que hoy es el dı́a posterior al último dato que tenemos. Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Simulación con componentes Sea ahora una muestra de N variables independientes con media cero y varianza 1. Las disponemos en una matriz Z donde indicamos con z(i) al vector que tiene la fila i, del mismo modo que hicimos para las x(i) . Si multiplicamos a la matriz Z por D 1/2 generamos nuevas variables aleatorias que tienen las mismas varianzas que las proyecciones p(i) . p(i) = z(i) D 1/2 Entonces generamos las x(i) por medio de T x(i) = p(i) AT = z(i) D 1/2 AT = z(i) A D 1/2 , donde A D 1/2 = C es la matriz de componentes y nos queda X = Z CT Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media La matriz de covarianzas de las x generadas de esta manera viene dada por Cov = CZ T ZC T = C ZZ T C T = CC T De este modo vamos a poder replicar el comportamiento de las variables x con muestras de variables independientes z asociadas a cada componente principal. Si aprovechamos la capacidad de reducción de la dimensión que nos aportan las componentes principales, sólo debemos considerar dos o tres variables para hacer una simulación. Ejercicio: cálculo de Var y Tail-Var de una cartera de bonos usando simulación Montecarlo basada en componentes principales. Ejercicio: Simular los precios a un dı́a de la cartera obtenida con un factor descubierto. Estimar rendimiento/Var. Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Reversión a la media Los tipos de interés muestran tendencias a largo plazo que suponen un regreso a ciertos niveles, que acaban siendo unas medias a largo plazo. Vamos a ver cómo se modeliza este tipo de comportamiento. Tenemos un proceso evolutivo de comportamiento local con meta a largo plazo y componente aleatoria. El tiempo da saltos de tamaño fijo ∆t. Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Las variables que tenemos son: 1. Sn denota un nivel o rendimiento en tiempo n∆t. 2. La variación entre tiempo (n − 1)∆t y tiempo n∆t se denota por ∆Sn = Sn − Sn−1 . La regla estocástica de evolución viene dada por: √ ∆Sn = a (µ − Sn−1 ) ∆t + σ ∆tZn Esta es la versión discreta del proceso conocido por Ornstein-Uhlenbeck. Este proceso es la base de los modelos continuos (Vasicek y Hull-White): dSt = a (µ − St ) dt + σdWt donde Wt es el movimiento Browniano. Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Deriva y aleatoriedad I El primer sumando del salto ∆Sn : a (µ − Sn−1 ) ∆t I recoge la deriva determinista. El segundo sumando √ σ ∆tZn recoge toda la aleatoriedad del salto ∆Sn . Parámetros I I I µ es la media a largo plazo, es decir, el nivel al que se revierte. a (a > 0) es la tasa de reversión, mide la velocidad con la que se revierte al nivel µ. σ es la volatilidad, el nivel de incertidumbre con el que se va evolucionando. Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Variables aleatorias I Las Zn son variables aleatorias normales estándar independientes. I Dado el nivel Sn−1 , cada ∆Sn es una variable normal con media a (µ − Sn−1 ) ∆t varianza σ 2 ∆t I Cada Sn es una variable normal con media varianza = µ + (1 − a∆t)n (S0 − µ) ≈ µ + e −an∆t (S0 − µ) σ2 ≈ 1 − e −2an∆t 2a Ilustración: Simulación de un proceso de reversión. Variar a y σ. Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Situación determinista El caso σ = 0 es un proceso de reversión a la media puramente determinista: ∆Sn = a (µ − Sn−1 ) ∆t La posición en tiempo n∆t queda completamente determinada por la posición inicial S0 (y los parámetros a y µ). Aproximadamente: Sn − µ = (1 − a∆t)n ≈ e −an∆t . S0 − µ Esto significa que la distancia de Sn a µ se reduce exponencialmente, con velocidad dada por la tasa de reversión a. Ilustración: Gráficas. Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Tiempo a reversión En el caso σ = 0, para llegar a un tiempo N∆t en el que SN − µ 1 = S0 − µ 2 se precisa que ln2 a Es decir, el tiempo necesario para reducir la distancia al nivel de reversión a la mitad es inversamente proporcional a la tasa a. N∆t = Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media En el caso general σ 6= 0 , hay algunas fórmulas explı́citas del tiempo de llegada al nivel de reversión. Pero el cálculo más importante desde el punto de vista estratégico es el tiempo a reversión a un nivel próximo a la media a largo plazo. En este caso, que involucra strikes K , topes T (stop loss) y horizonte temporal H, no disponemos de tales fórmulas y es necesario recurrir a la simulación. Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Ilustración I Simulación del tiempo de llegada a un strike K partiendo de un nivel inicial S0 . Tiempo medio de llegada. Usar: a = 100 %, µ = 20, σ = 500 %, ∆t = 0,05, strike (K )=15, tope (T )=0, S0 = 8. Hacer la gráfica del porcentaje de llegadas contra el tiempo en años. I Dado un horizonte temporal H = N∆t, determinar el strike K que se alcanza (antes de llegar a un tope, y dentro del horizonte temporal) con un nivel de confianza de 80 %. Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Estrategia de inversión Si S0 está por debajo de µ, fijamos strike K , tope T y horizonte temporal H. La estrategia es comprar S (estar “largo”) y vender al llegar al nivel K . La ganancia viene dada por S − S0 . Ilustración: Simular pérdidas y ganancias de la estrategia. Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Calibración de la reversión Supongamos que tenemos una serie de valores históricos de Sn . Podemos hacer una regresión de la serie Yn = ∆Sn contra los valores de Xn = Sn y deducir los valores de a y de µ: ∆Sn = mSn−1 + b + residuo Una vez calculados a y µ podemos estimar σ del siguiente modo: r X √ 1 ∆tσ = (∆Sn − a∆t (µ − Sn−1 ))2 num datos Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Ejercicio: Estimar los parámetros de la curva de los tipos a un año. Estimar a continuación los de la primera componente principal, comparar los parámetros. Simular y comparar con los datos reales. Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales Breve introducción matemática Reducción de la dimensión Uso de componentes Reversión a la media Componentes principales Guı́a para hacerlo en Matlab I I Definimos el vector y con las diferencias diarias de los tipos a un año. Si en el vector x tenemos los datos correspondientes a los tipos a un año, queremos estimar por cuadrados mı́nimos: yi = a(µ − xi )∆t = −a∆t xi + a∆tµ = k1 xi + k2 De este modo, tenemos que resolver el sistema k1 k1 M =y ⇒ = M\y k2 k2 donde x1 1 M = ... ... xn 1 Gerardo Oleaga Riesgo de tipos de interés Componentes principales