Series de McLaurin y su Aplicación en la Linearización de Sistemas

Series de McLaurin y su Aplicación en la
Linearización de Sistemas Vibratorios No
Lineales.
José Marı́a Rico Martı́nez
Departamento de Ingenierı́a Mecánica
Facultad de Ingenierı́a Mecánica Eléctrica y Electrónica
Universidad de Guanajuato
Salamanca, Gto. 38730, México
email: [email protected]
1
Objetivo
Existen una gran variedad de sistemas vibratorios cuya naturaleza es no lineal,
pero que cuando las amplitudes de las vibraciones del sistema son “pequeñas”,
el comportamiento del sistema se aproxima a un comportamiento lineal. En
ese tránsito, es necesario emplear la aproximación de funciones trigonométricas
mediante series de potencias, alrededor del valor 0 de la variable independiente.
Esas series de potencias se conocen como series de McLaurin y este pequeño
apunte muestra de manera concisa su aplicación
2
El Problema de Aproximación de Funciones
Mediante Series de Potencias.
Suponga que se desea aproximar una función f (x), alrededor del valor x = 0 de
la variable independiente, mediante series de potencias; es decir
f (x) = C0 x0 + C1 x1 + C2 x2 + C3 x3 + · · · =
∞
Cn xn .
(1)
n=0
La serie indicada en la ecuación (1) se conoce como serie de McLaurin. El
objetivo es determinar los coeficientes C0 , C1 , C2 , C3 , . . . de la serie.1
1 Desde un punto de vista matemático, existen muchos otras interesantes interrogantes,
como las condiciones de existencia y unicidad y el intervalo de convergencia que no se discutirán
aquı́
1
El proceso de determinación de los coeficientes de la serie de McLaurin consiste en derivar, repetidamente, ambos lados de la ecuacion (1).
f (1) (x)
f (2) (x)
=
=
1 C1 x0 + 2 C2 x1 + 3 C3 x2 + · · ·
(2) (1) C2 x0 + (3) (2) C3 x1 + · · ·
(2)
(3)
f (3) (x)
=
(3) (2) (1) C3 x0 + · · ·
(4)
Donde, el exponente de f indica orden de la derivada. Es fácil generalizar
el resultado para obtener
f (n) (x) = (n) (n − 1) · · · (3) (2) (1)Cn x0 + · · · = n! Cn x0 + · · ·
(5)
Es importante notar que en las ecuaciones (2-6), los términos indicados por
puntos suspensivos siempre incluyen la variable independiente x a una potencia
igual o mayor a la primera. Por lo tanto, evaluando ambos lados de la ecuación
(5) para x = 0, se tiene que
f (n) (0) = n! Cn (0)0 ,
(6)
y los coeficientes de la serie de McLaurin están dados por
Cn =
f (n) (0)
n!
(7)
Ası́ pues, la serie de McLaurin puede escribirse como
f (n) (x) =
∞
Cn xn =
n=0
3
∞
f (n) (0) n
x .
n!
n=0
(8)
Desarrollo Mediante Series de McLaurin de
las Funciones Seno y Coseno.
En esta sección se aplicarán los resultados obtenidos para obtener el desarrollo
de las funciones Seno y Coseno mediante series de Mclaurin.
3.1
La Función Seno.
Considere la función f (x) = Sen (x) y su aproximación alrededor de x = 0.
Derivando la función, se tiene que
f (x) = Sen (x),
f (1) (x) = Cos (x),
f (2) (x) = −Sen (x),
2
f (3) (x) = −Cos (x)
(9)
Por lo tanto, los coeficientes de la serie son
C0
=
C1
=
C2
=
C3
=
Sen(0)
f (0)
=
= 0,
0!
1
Cos(0)
f (1) (0)
=
= 1,
1!
1
−Seno(0)
f (2) (0)
=
= 0,
2!
2
−Cos(0)
1
f (3) (0)
=
=− ,
3!
6
6
(10)
(11)
(12)
(13)
Por lo tanto, la aproximación lineal de la función Sen(x) está dada por
Sen(x) ≈ C0 x0 + C1 x1 = x,
(14)
y la aproximación cúbica de la función Sen(x) está dada por
1
Sen(x) ≈ C0 x0 + C1 x1 + C2 x2 + C3 x3 = x − x3 .
6
(15)
La figura 1 muestra la función Sen(x) junto con sus aproximaciones lineales
y cúbicas.
3.2
La Función Coseno.
Considere la función f (x) = Cos (x) y su aproximación alrededor de x = 0.
Derivando la función, se tiene que
f (x) = Cos (x),
f (1) (x) = −Sen (x),
f (2) (x) = −Cos (x),
f (3) (x) = Sen (x)
(16)
Por lo tanto, los coeficientes de la serie son
C0
=
C1
=
C2
=
C3
=
f (0)
=
0!
f (1) (0)
1!
f (2) (0)
2!
f (3) (0)
3!
Cos(0)
= 1,
1
Sen(0)
=−
= 0,
1
Cos(0)
1
=−
=− ,
2
2
Sen(0)
=
= 0,
6
(17)
(18)
(19)
(20)
Por lo tanto, la aproximación “constante” de la función Cos(x) está dada por
Cos(x) ≈ C0 x0 = 1,
(21)
y la aproximación cuadrática de la función Cos(x) está dada por
1
Cos(x) ≈ C0 x0 + C1 x1 + C2 x2 = 1 − x2 .
2
3
(22)
La Funcion Seno y sus Aproximaciones Lineal y Cubica
Valor de la Funcion Seno y su Aproximacion Lineal y Cubica
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Valor del Angulo en Radianes
0.7
0.8
0.9
1
Figure 1: Función Sen(x) junto con sus Aproximaciones Lineales y Cúbica.
La figura 2 muestra la función Cos(x) junto con sus aproximaciones “constante” y cuadrática.
4
La Funcion Coseno y sus Aproximaciones Constante y Cuadratica
Valor de la Funcion Coseno y su Aproximacion Constante y Cuadratica
1
0.95
0.9
0.85
0.8
0.75
0.7
0.65
0.6
0.55
0.5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Valor del Angulo en Radianes
0.7
0.8
0.9
1
Figure 2: Función Cos(x) junto con sus Aproximaciones “Constante” y
Cuadráticas.
5