Breve resumen sobre el cálculo de derivadas. 1. Propiedades algebraicas: Sean f, g : A −→ R dos funciones derivables en A. Entonces ′ ′ [f (x) + g(x)] = f (′ x) + g ′ (x), f (x) g(x) ′ = [f (x) · g(x)] = g(x)f ′ (x) + f (x)g ′ (x), g(x)f ′ (x) − f (x)g ′ (x) , si g(x) 6= 0. [g(x)]2 Regla de la cadena: Sean f : A −→ R y g : B −→ R dos una función tales que la función compuesta de g en f , g ◦ f : A −→ R exista. Supongamos que f es derivable en x = a y que g es derivable en x = f (a). Entonces la función compuesta (g ◦ f )(x) = g(f (x)) es derivable en x = a y además d f (x) d g(y) ′ ′ ′ ′ · . (g ◦ f ) (a) = g(f (a)) = g [f (a)]f (a) ≡ dy dx y=f (a) x=a Tabla de derivadas: Las funciones elementales son derivables en su ”dominio”. Además: 1. (xα )′ = α xα−1 , 2. (sen x)′ = cos x, ∀α ∈ R, x∈R x∈R ′ 3. (cos x) = − sen x, x∈R 4. (tan x)′ = x∈R\ 1 , cos2 x 1 , 5. (arc sen x)′ = √ 1 − x2 1 , 1 + x2 1 8. ( arcctg x)′ = − , 1 + x2 1 , x ln a x∈R x∈R ∀a > 0, a 6= 1, x∈R x > 0, a > 0 11. ( sh x)′ = ch x, x∈R 12. ( ch x)′ = sh x, x∈R 1 , ch 2 x 1 , 14. ( cth )′ = sh 2 x Ejemplos: n∈Z x ∈ (−1, 1) 7. (arctan x)′ = 10. (loga x)′ = 2 o + nπ , x ∈ (−1, 1) 1 6. (arc cos x)′ = − √ , 1 − x2 9. (ax )′ = ax ln a, nπ 13. (tanh x)′ = x∈R x ∈ R \ {0} Calcular la derivada de la función f (x) = tan(x2 + 3x + ex ) en x = a. d 2x + 3 + ex d tan(y) d x2 + 3x + ex 2 x = tan(x + 3x + e ) = . · 2 dx dy 2 dx cos (x2 + 3x + ex ) x y=x +3x+e x=a Calcular la derivada de la función h(x) = f (x)g(x) . Para encontrarla calcularemos la derivada de log h(x) = g(x) log f (x), (log h(x))′ = f ′ (x) h′ (x) = g ′ (x) log f (x) + g(x) , h(x) f (x) luego g(x) ′ (f (x) g(x) ) = f (x) f ′ (x) ′ g (x) log f (x) + g(x) . f (x)