Guıa de Lımites y Continuidad. Prof. Wilson Herrera. 1. lım (x + 2) x2

Wilson Herrera 1
Guı́a de Lı́mites y Continuidad.
Prof. Wilson Herrera.
x2 − 5x + 10
x→5
x2 − 25
(x + 2)2
x→∞ x2 + 1
12. lı́m
1000x
x→∞ x2 − 1
13. lı́m
x2 − 5x + 1
x→∞
3x + 7
14. lı́m
2x2 − x + 3
x→∞ x3 − 8x + 5
15. lı́m
(2x + 3)3 (3x − 2)2
x→∞
x5 + 5
16. lı́m
2x2 − 3x − 4
√
x→∞
x4 + 1
17. lı́m
2x + 3
√
x→∞ x + 3 x
18.
1. lı́m
2. lı́m
3. lı́m
4. lı́m
5. lı́m
6. lı́m
7. lı́m
x2
√
x→∞ 10 + x + x x
√
3
x2 + 1
9. lı́m
x→∞ x + 1
√
x
10. lı́m q
p
√
x→∞
x+ x+ x
8. lı́m
x3 + 1
x→−1 x2 − 1
11. lı́m
x2 − 1
x→−1 x2 + 3x + 2
x2 − 2x
x→2 x2 − 4x + 4
x3 − 3x + 2
x→1 x4 − 4x + 3
x2 − (a + 1)x + a
x→a
x 3 − a3
19.
20.
21.
22.
(x + h)3 − x3
h→0
h
1
3 lı́m
−
x→1 1 − x
1 − x3
√
1+x−1
lı́m √
x→0 3 1 + x − 1
√
x−1
lı́m
x→1 x − 1
√
x−8
lı́m √
3
x→64
x−4
√
3
x−1
lı́m √
4
x→1
x−1
Wilson Herrera 2
√
√
3
x2 − 2 3 x + 1
23. lı́m
x→1
(x − 1)2
√
2− x−3
24. lı́m
x→7
x2 − 49
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
41. lı́m
x→a
cos x − cos a
x→a
x−a
42. lı́m
x−8
43.
lı́m √
3
x→8
x−2
√
44.
3− 5+x
√
lı́m
x→4 1 −
5−x
√
√
45.
1+x− 1−x
lı́m
x→0
x
√
√
46.
x+h− x
lı́m
h→0
h
√
√
47.
3
x+h− 3x
lı́m
h→0
h
√
√
48.
x2 − 2x + 6 − x2 + 2x − 6
lı́m
x→3
x2 − 4x + 3
49.
√
√ x+a− x
lı́m
x→+∞
50.
hp
i
lı́m
x(x + a) − x
x→+∞
33. lı́m
x→+∞
√
x2 − 5x + 6 − x
sin x − sin a
x−a
1 − cos x
x→0
x2
lı́m
tan πx
x→−2 x + 2
lı́m
sin(x + h) − sin x
h→0
h
lı́m
sin x − cos x
1 − tan x
lı́mπ
x→ 4
lı́m x sin
x→0
1
x
lı́m x sin
x→∞
1
x
πx
x→1
2
π
−x
lı́m cot 2x cot
x→0
2
lı́m (1 − x) tan
1 − sin x2
x→π π − x
51. lı́m
√
2
34. lı́m x x + 1 − x
52. lı́mπ
sin x
35. lı́m
x→2 x
53. lı́m
sin x
36. lı́m
x→∞ x
54. lı́m
sin 3x
37. lı́m
x→0
x
55. lı́m
sin 5x
38. lı́m
x→0 sin 2x
56. lı́m
sin πx
39. lı́m
x→1 sin 3πx
π
40. lı́m n sin(
n→∞
n
57. lı́m
x→ 3
1 − 2 cos x
π − 3x
x→+∞
cos mx − cos nx
x→0
x2
x→0
tan x − sin x
x3
arcsin x
x→0
x
arctan 2x
x→0
sin 3x
1 − x2
x→1 sin πx
x − sin 2x
x→0 x + sin 3x
58. lı́m
Wilson Herrera 3
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
cos πx
√2
lı́m
x→1 1 −
x
√
1 − cos x
lı́m
x→0
x2
√
√
1 + sin x − 1 − sin x
lı́m
x→0
x
k x
lı́m 1 +
x→∞
x
2 + x x
lı́m
x→0 3 − x
x − 1 x+1
lı́m 2
x→1 x − 1
2x
1 x+1
lı́m
x→∞ x2
x2 − 2x + 3 sinx x
lı́m
x→0 x2 − 3x + 2
x2 + 2 x2
lı́m
x→∞ 2x2 + 1
1 n
lı́m 1 −
n→∞
n
2 x
lı́m 1 +
x→∞
x
x x
lı́m
x→∞ x + 1
x − 1 x+2
lı́m
x→∞ x + 3
x n
lı́m 1 +
n→∞
n
lg (1 + 10x)
73. lı́m
x→0
x
74. lı́m
1
x
x→0
r
ln
1 + x
1−x
h
i
75. lı́m x ln (x + 1) − ln x
x→+∞
76. lı́m
x→0
ln cos x
x2
ex − 1
77. lı́m
x→0
x
√
78. lı́m n( n a − 1)
n→∞
eax − e−bx
x→0
x
79. lı́m
1 − e−x
x→0 sin x
80. lı́m
sinh x
x→0
x
81. lı́m
cosh x − 1
x→0
x2
x
83. lı́m √
x→−∞
x2 + 1
82. lı́m
84. lı́m tanh x
x→−∞
85. lı́m tanh x
x→+∞
86. lı́m+
x→0
87. lı́m−
x→0
1
1
1 + ex
1
1
1 + ex
ln (1 + ex )
88. lı́m
x→−∞
x
1. Una función está dada por las formulas

 x2 − 4
cuando x 6= 2,
f (x) =
 Ax − 2 cuando x = 2.
¿Cómo debe elegirse el valor de la función A = f (2), para que la función
Wilson Herrera 4
f (x), completada de esta forma, sea continua cuando x = 2? Construir la
gráfica de la función y = f (x).
2. El segundo miembro de la igualdad
f (x) = 1 − x sin
1
x
carece de sentido cuando x = 0. ¿Cómo elegir el valor de f (0) para que la
función sea continua en este punto?
3. La función
f (x) = arctan
1
x−2
carece de sentido cuando x = 2. ¿Puede elegirse el valor de f (2) de tal
forma, que la función completada sea continua cuando x = 2?
4. La función f (x) es indeterminada en el punto x = 0. Determinar f (0) de
tal forma, que f (x) sea continua en este punto, si:
(1 + x)n − 1
(n es un número natural)
x
1 − cos x
f (x) =
x2
ln (1 + x) − ln (1 − x)
f (x) =
x
ex − e−x
f (x) =
x
1
f (x) = x2 sin
x
a) f (x) =
b)
c)
d)
e)
f ) f (x) = x cot x
5. Averiguar si son continuas las funciones:
a) y =
x2
x−2
1 + x3
1+x
√
7+x−3
c) y =
x− 4
b) y =
d) y =
x
|x|
e) 1) y = sin
π
x
2) y = x sin
π
x
Wilson Herrera 5
x
sin x
g) y = ln cos x
1
k ) y = e x+1
f) y =
1
l ) y = e − x2
1
h) y = ln | tan |
x
1
i ) y = arctan
x
j ) y = (1 + x) arctan
m) y =
1
1 − x2
1
1
1 + e 1−x
2
x
cuando x ≤ 3,
n) y =
2x + 1 cuando x > 2.
6. Demostrar, que la función de Dirichlet χ(x), que es igual a cero cuando x
es irracional e igual a uno cuando x es racional, es discontinua para cada
uno de los valores de x.
7. Dar un ejemplo que demuestre que la suma de dos funciones discontinuas
puede ser una función continua.
8. Una función f está definida como sigue:
sin x
si x ≤ c,
f (x) =
ax + b si x > c,
siendo a, b, c constantes. Si b y c están dados, hallar todos los valores de a
(si existe alguno) para los que f es continua en el punto x = c.
9. Resolver el ejercicio anterior si f se define de este modo:
2 cos x si x ≤ c,
f (x) =
ax2 + b si x > c.