janj janj y cn

ANALISIS
MATEMATICO
BASICO.
CRITERIOS DE CONVERGENCIA DE SERIES.
En general, repetimos, no vamos a poder encontrar la suma de una serie
convergente. Pero si su caracter, es decir si es convergente o no lo es. Para
ello se tiene una coleccion de criterios que vamos a presentar a continuacion.
En general se basan en el criterio de comparacion de series que ya hemos
visto. Esta comparacion solo se puede hacer con series del mismo signo, por
lo que la mayora de criterios que presentamos lo son para series de terminos
positivos.
Proposicion. 1. Dada una serie
1
X
n=1
an ; si la serie en valor absoluto
es convergente, entonces tambi
en lo es la primera serie
1
X
n=1
1
X
n=1
janj
an :
Demostracion: Consideramos
a
0 si an 0
n si an 0
bn = 0 si a < 0
y
cn =
an si an < 0 :
n
Como bn jan j y cn jan j para todo n 2 N; se tiene por comparacion
que las series
1
X
n=1
bn
y
1
X
n=1
cn son ambas convergente. Ahora como an =
bn cn para todo n; se tiene que
1
X
n=1
Denicion. 1.
an =
1
X
n=1
(bn
Dada una serie
1
X
n=1
cn ) =
an
1
X
n=1
bn
1
X
n=1
cn
se dice que
a: converge absolutamente si la serie en valor absoluto converge (e.d.
P1
si la serie
janj es convergente);
n
b: es condicionalmente convergente si la serie converge, pero no lo
=1
hace en valor absoluto.
1
2
C. RUIZ
1
X
Procedimiento: Dada una serie
n=1
an ;
P
janj;
primero la ponemos en valor absoluto 1
n
P1
a la serie n jan j le aplicamos los criterios de convergencia para
series de terminos positivos que veremos a continuacion;
P ja j es convergente, tambien lo es la serie P1 a ;
si la serie 1
n
n
Pn1 n
si la serie n jan j no es convergente, entonces aplicamos los criteP
rios de convergencia para series alternadas a la serie 1
an ;
n
=1
=1
=1
=1
=1
=1
Teorema. 1. (Criterio de Leibniz) Si (an )1
n
=1
te con
lmn!1 an = 0;
es una sucesi
on decrecien-
entonces la serie alternada
1
X
n=1
gente.
( 1)n an
es conver-
PN
la sucesion de
1)n an ))1
N
1
sumas parciales. Entonces, usando que (an )n es decreciente,
Demostracion: Consideramos (sN =
n=1 (
=1
PN
=1
la subsucesion de terminos pares (s
ya que
s
N
2
s N +(
2
1)
N +1
2
a
N +1
2
=
N
2
+ ( 1)
N +1)
a
N +1
=
2(
la subsucesion de terminos impares (s
ciente, ya que
2
1 es decreciente,
n=1 an ))N =1
2
N +1)
2(
PN
2
=s
N +1) ;
2(
+1
n=1
an ))1
N
=1
es cre-
s N + ( 1) N a N + ( 1) N
a N
=s N
;
s si siempre que i sea impar y s sj siempre que j sea par. De
forma general, si sj siempre que i sea impar y j par (ejercicio).
PN 1
a )
es decreciente y esta acotada
Como la subsucesion (s =
s
2
N +1
2
2
+2
2(
+1
2
+1)+1
+2
2(
2
+1)+1
2(
+1)+1
1
2
n=1 n N =1
N
2
inferiormente por s tiene lmite, pongamos
1
N
X
2
an = :
n=1
2N +1
an )1
n=1
N =1
lm
N !1
P
Como la subsucesion (s N =
es creciente y esta acotada superiormente por s tiene lmite, pongamos
2
+1
2
N
X
2
lm
N !1
+1
n=1
an = :
Es claro ademas que : Como
0
s
N
2
s
N +1
2
=a
2
N +1
!N !1= 0;
se deduce que = y por tanto la serie alternada es convergente a APUNTES MMI
Ejemplos. 1.
P1
3
El ejemplo t
pico de serie alternada condicionalmente
convergente es
n=1
(
n
1)
n
:
En valor absoluto es la serie arm
onica
que no converge. El criterio de Leibniz nos dice que la serie converge.
Se considera la serie alternada
1
X
n=1
lm (
n!1
Luego
1
X
n=1
1 n
) =e
1+ n
n
+1
+1
1
1
1
X
j (n(+ n1))n j =
( n)n
(n + 1)n
n=1
: Por un lado
2 ( 13 ; 12 ):
1
1
1 n 1X 1
) (
= 1:
n+1 1+ n
3n n+1
1
=1
Es decir la serie no converge absolutamente. Por otro lado
nn
(n + 1)n
+1
=
ya que ambas sucesiones
1
1
n + 1 (1 + n )n
1
( n )1
n
1
+1
=1
y
(
#n!1 0;
1
1 n )n=1
n)
1
(1+
son decrecicentes.
Luego por el criterio de Leibniz la serie converge y es por tanto condicionalmente convergente.
Las series condicionalmente convergentes pueden tener propiedades sorprendentes como la siguiente debida a B. Riemann.
Observacion. 1.
Dada una serie condicionalmente convergente
cualquier n
umero real
P1
n=1 an
y
2 R; se puede encontrar una biyeccion : N ! N;
es decir una reordenaci
on de los n
umeros naturales, de modo que
1
X
a n = :
(
n=1
)
Comencemos ahora con los criterios de convergencia para series de terminos positivos. Daremos solo dos, aunque hay muchos mas. Los siguientes son
los que mas aplicaciones tienen, sobre todo el Criterio del Cociente que
veremos en segundo lugar.
Teorema. 2. (Criterio de Comparacion por Cociente). Sean
P1
y
bn dos series de terminos positivos de modo que existe
n
a
lm n = c 6= 0;
n!1 bn
=1
entonces
si una serie converge la otra tambi
en;
equivalentemente, si una serie diverge la otra tambi
en.
P1
n=1 an
4
C. RUIZ
Demostracion: Como an ; bn 0; se tiene que c > 0: Tomemos 0 < < c ;
y recordando la denicion de lmite de una sucesion, existe un n 2 N de
modo que para todo n n se tiene que
j ab n cj < , c < ab n < c + n
n
2
0
0
y por tanto
c
2
Luego
bn an 1
cX
2n
3c
b para todo n n :
2 n
0
bn =1
1
X
n=1
1
3c X
b :
2 n n
an =1
Ahora es claro que si una serie converge, como acota a la otra salvo una
constante, esta otra tambien converge Ejemplo. 1.
Se considera la serie
1
X
1
n n+1
P1n
positivos y se parece a la serie
n
n2 : Ahora
2
: Esta serie es de terminos
=1
1
=1
n2 n+1
1
lm
n!1
Luego como la serie
P1
n2
1
n=1 n2
1
n
= 1:
n!1 n
n+1
= lm
2
2
es convergente, el criterio de comparaci
on por
cociente nos dice que nuestra serie tambi
en lo es.
Teorema. 3. (Criterio del Cociente). Sea
P1
n=1 an
una serie de t
ermi-
nos positivos de modo que existe
an
= :
n!1 an
lm
+1
Entonces
< 1 la serie es convergente;
si > 1 la serie es divergente;
si = 1 el criterio no decide, es
si
decir la serie en cuesti
on puede
converger o no.
Observemos que este criterio es intrinseco a la serie, no necesitamos de
otras para compararla.
Demostracion: Veamos el primer caso, el otro es analogo aunque la consecuencia es la contraria. Si < 1; podemos encontar < r < 1 y un n 2 N
de modo que para todo n n se tiene que
0
0
an
<r
an
+1
) an < ran:
+1
APUNTES MMI
5
As para todo n n tenemos que
0
an < ran
Y por tanto
N
X
n=n0
an N
X
r
n=n0
n n0
< r an
2
1
an0 =
2
X
N n0
k=0
< : : : < rn n0 an0 :
r an0 an0
k
1
X
k=0
rk = an0
1
1
r
;
donde hemos usado la suma de la serie geometrica en la ultima igualdad.
P
an es de terminos positivos y sus sumas parciales
Como la serie 1
n
estan acotadas, concluimos que la serie converge =1
Ejemplos. 2.
La serie
1 1 3 5 (2n + 1)
X
; la podemos es3 6 3n
n
=1
cribir como
1 1 3 5 (2n + 1)
1 1 3 5 (2n + 1) X
X
=
:
3 6 3n
3n 1 2 n
n
n
=1
=1
Aplicando el Criterio del Cociente
1
lm
3
5
n+1)(2n+3)
n!1
1
3
3n (2n + 3)
2
= < 1;
n!1 3n (n + 1)
3
(2
n+1 (n+1)!
3
5
n n!
n+1)
(2
= lm
3
P1
+1
vemos que la serie converge.
La serie
n=1 a
n na ;
para cierto
a > 0 va converger o no dependiendo
a: Aplicanco el Criterio del Cociente
an (n + 1)a
1
= lm a(1 + )a = a:
lm
n!1
n!1
an na
n
a < 1 la serie converge. Si a > 1 la serie diverge.
del valor de
+1
Si
este caso la serie queda
1
X
n=1
n = 1;
luego la serie diverge.
La serie arm
onica
1 1
X
n=1
lm
La serie
1
X
n=1
n!1
1
n
2
n
es divergente y se tiene que
1
n+1
1
n
= lm
n!1
n+1
= 1:
es convergente y se tiene que
n+1)2
1
lm
n
n!1
(
n2
1
= lm
n!1
n
2
(n + 1)
2
= 1:
Y si
a = 1;
en
6
C. RUIZ
Los dos ejemplos anteriores muestran que cuando
= 1; el Criterio
del Cociente no adivina el car
acter de la serie en cuesti
on.
Existen muchos mas criterios de convergencia, pero con los que tenemos se
pueden hacer muchas cosas. En el Tema de la Integral, veremos el Criterio
de la Intergral , sencillo y util que nos permite, entre otras cosas, asegurar
P
que las series del tipo 1
n
np son convergentes si p > 1:
1
Apendice:
=1
Teorema. 4. ( Criterio de la Integral) Dada una funcion f : (0; 1) !
R
R; de modo que f 0; es decreciente y tal que existe la integral 1 f (x)dx;
P1
f (n) es convergente.
entonces la serie de t
erminos positivos
n
0
=1
Demostracion: (Ver Integrales Impropias: Aplicaciones. )
Referencias
lisis Matema
tico, Facultad de Matema
ticas, UniverDepartamento de Ana
sidad Complutense, 28040 Madrid, Spain
E-mail address :
Cesar [email protected]