Universidad de Santiago Facultad de Ciencia Departamento de

Universidad de Santiago
Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y C.C.
Guı́a No 2 - Integrales
Integración por partes
1. Introdución
Recordemos que :
Si u = u(x) y v = v(x) son funciones derivables entonces tenemos:
d
du
dv
(u · v) = v ·
+u·
dx
dx
dx
⇓
d(u · v) = v · du + u · dv
⇓
Z
Z
Z
d(u · v) =
v · du + u · dv
⇓
u·v =
Z
v · du +
Z
u · dv
Despejando obtenemos la fórmula de integarción por partes:
R
u · dv = u · v −
R
v · du
2. Ejercicios resueltos
(1) Calculemos la integral I =
Z
xex dx
Solución
• Escogemos u y dv en la integral I:
En este caso tenemos:
1
(1)
Ricardo Santander Baeza
2
=
u
dv = ex dx
x
du = dx
ex
=
v
• Aplicamos la fórmula de integración por partes:
Z
x
e|x{zdx}
|{z}
u
dv
Z
= xex − ex dx
I =
(2) Calculemos la integral I =
Z
= xex − ex + C
sin(mx) cos(nx) dx
Solución
• Escogemos u y dv en la integral I:
En este caso tenemos:
u
=
sin(mx)
dv = cos(nx)dx
du = m cos(mx)dx
v
=
1
n
sin(nx)
• Aplicamos la fórmula de integración por partes:
I =
=
Z
sin(mx)
| {z }
cos(nx) dx
| {z }
u
dv
Z
1
m
sin(nx) ∼ (mx) −
sin(nx) cos(mx) dx
n
n
• Calculamos integrando por partes la integral: J =
u
=
cos(mx)
R
sin(nx) cos(mx) dx
dv =
du = −m sin(mx)dx
v
sin(nx)dx
= − n1 cos(nx)
Luego,
J
=
1
m
cos(mx) cos(nx) −
n
n
Z
sin(mx) cos(nx) dx
Ricardo Santander baeza
3
• Sustituimos J en I y obtenemos:
I =
=
1
sin(nx) sin(mx) −
n
1
sin(nx) sin(mx) −
n
Z
m 1
m
cos(mx) cos(nx) −
sin(mx) cos(nx) dx
n n
n
Z
m2
m
cos(mx) cos(nx) + 2
sin(mx) cos(nx) dx
n2
n
|
{z
}
I
I−
m2
n2
I =
I =
1
m
sin(nx) sin(mx) − 2 cos(mx) cos(nx)
n
n
1
n
sin(nx) sin(mx) −
1−
m
n2 cos(mx) cos(nx)
m2
n2
3. Problemas propuestos
Resolver usando integración por partes las siguientes integrales:
Z
(1)
x2 sin 2x dx
Z
(2)
x2 ln x dx
Z
(3)
arcsin 3x dx
Z
(4)
x3 e−x dx
Z
(5)
eax cos(bx) dx
Z
p
(6)
x5 1 − 2x3 dx
Z
(7)
sin(ln x) dx
Z
(8)
sin(3x) cos(5x) dx
Z
√
(9)
cos( x) dx
Z
ln x
√ dx
(10)
x