razones trigonométricas de un ángulo en posición normal

C apít ulo
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
5
Definiciones Previas:
I.
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Llamado también en posición canónica o stándar. Es aquél ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen
del sistema cartesiano y su lado inicial coincide con el eje "x" positivo.
Cuando un ángulo, está en posición normal, el lado final puede estar en uno de los cuadrantes, en cuyo caso se dice
que éste pertenece a tal cuadrante.
y
y
Vértice
Lado Final

(+)

x
Lado Inicial
Vértice
Lado Inicial
x
(-)
Lado Final
Del gráfico :
*
 : es un ángulo en posición normal
*
 : es un ángulo en posición normal
*
  IIC ;   0
*
  IIIC ;   0
Definición de las Razones Trigonométricas:
Para determinar el valor de las R.T. de un ángulo en posición normal, tomaremos un punto P(x 0 ; y 0 ) perteneciente a su
lado final.
y
P(x ;y )
o o
y
o
r
'
x
o
2
2
* r  x o  yo

x
Se define:
y
Sen  o
r
xo
Cos 
r
yo
Tan  
xo
x
Cot  o
yo
Sec 
r
xo
Csc  r
yo
*  ' : se denomina ángulo de referencia
1
(+)
Seno
y
Cosecante
(+)
Tangente
Coseno
y
y
(+)
Cotangente
Secante
Signo de las R.T. en los cuadrantes
Dependiendo del cuadrante al que
pertenezca un ángulo en posición
normal, sus R.T. pueden ser positivas
o negativas. Es así como se obtiene
el cuadro adjunto.
(+)
Todas
son
positivas
Razones Trigonométricas de Ángulos Cuadrantales
 radianes
0  2

2

 (grados)
0
Sen 
0
Cos 
1
Tan 
0
Cot 
N. D.
Sec 
1
Csc 
N. D.
90º
1
0
N. D.
0
N. D.
1
180º
0
-1
0
N. D.
-1
N. D.
270º
-1
0
N. D.
0
N. D.
-1
3
2
Nota: N.D. no definido
Ángulos Coterminales:
Son aquellos ángulos trigonométricos que poseen el mismo vértice, el mismo lado inicial y final.
Ejemplo:
i)
Lado
inicial
y
ii)
Lado
final
x
Vértice

P(x ;x )
o o
Se tiene que :
*
 y  : son coterminales
*
 y  : son coterminales (están en P. N.)
Propiedades:
Si  y  son coterminales se cumple que:
I.
II.
 -  = 360ºn
2
;
n
Z
R.T. () = R.T.()
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Del siguiente gráfico, calcular: E  10 Sen  12Cot
07. Calcular:
E
y
a) 1
d) -3
x
(a  b)2 Sec 360 º (a  b)2 Cos180
2abCsc 270
b) 2
e) -2
c) 3
08. Si: x  IVC y | Cscx | 4 Sen

(1;-3)
Calcular: E = Senx +
a) 0
d) 3
b) 1
e) 4
c) 2
a) 1
d) 2/3
02. Por el punto P(2; 5 ) pasa el lado final de un ángulo
en posición normal cuya medida es "  ". Calcular:
Cos  .
a) -1/2
d) -4/3
b) -2/3
e) -3/2
c) -3/4
Calcular: E  Tan2  Sec
a) 0
d) -1
c) -3
b) , , 
e) +, , +
c) 1/3
b) 2
e) 5
c) 3

Calcular: f( )
2
04. Indicar el signo de cada expresión:
I. Sen200ºTan240º
II. Cos120ºTan100º
III. Sen150ºCos340º
a) +, +, +
d) +, , 
b) 1/2
e) 3/2
10. Si: f(x)=2Sen2x+3Cos3x+4Tan4x.
E  5 (Tan   Sec)
b) -2
e) 3
3 Cosx

09. Si: Cos   0,3 y   IIC
a) 1
d) 4
2
03. Si: Sen   y   IIIC. Calcular:
3
a) -1
d) 2
 0
6
b) 1
e) -2
c) 2
11.Una raíz de la ecuación: x 2  2x  3  0 es un valor de
"Tan  ", si:   IIIC . Calcular: E  10 (Sen   Cos )
a) -1
d) -4
c) , +, +
b) -2
e) -5
c) -3
12. Si: f(x)=Senx+Cos2x+Tan4x.
05. ¿A qué cuadrante pertenece "  ", si: Tan  0 y
Cos  0 .
a) IC
d) IV
b) II
e) IC y IIC
c) IIIC

Calcular: f( )
2
a) 0
d) -1
06. De la figura, calcular: " Tan"
b) 1
e) -2
c) 2
13. Si:  y  son medidas de ángulos coterminales y se
cumple que: Tan  <0 y |Cos  |=-Cos  . ¿A qué
y
cuadrante pertenece "  "?
(1-x;2x)
a) IC
d) IVC
17

b) IIC
e) IC y IIC
c) IIIC
x
a) 1
d) -4
b) -2
e) -5
c) -3
3
14. Calcular: E  25 Sen  Tan , a partir de la figura
mostrada:
y
a) -3/7
d) -6/7
b) -4/7
e) -7/4
c) -5/7
20. Del gráfico, calcule: " Tan" .
y
(24;7)

x

x

(-4;-8)
a) 1
d) 7
b) 3
e) 9
c) 5
(2;-3)
15. Por el punto P( 2 ; 7 ) pasa por el final de un ángulo
en posición normal cuya medida es "  ". Calcular:
a) 1/2
d) 4/3
b) 2/3
e) 3/2
21. De acuerdo al gráfico calcular:
K  5Cos   Cos 
y
7 Csc  .
a) 1
d) -3
c) 3/4
b) 2
e) -2
c) 3
(-24;7)

16. Calcular: E  Senx  Cosx  1
a) 0
d)
b) 1
2
(-4;-3)
c) 2
e) 2 2
a) 2
d) 2
17. Si:   IV , determine el signo de: E 
a) +
d) - y +
E
Tan(1  Cos)
Sen  Cos 
b) c) + ó e) Todas son correctas
18. Con ayuda del
3Cos(
x
gráfico
c)  4
canónino "  ".
Calcular:
R  Csc  Cot 
mostrado, calcular:
 
)  Sen(  )
6

3 Sen(
)
2
a) 0,4
d)  0,6
b)  0,4
e)  0,3
c) 0,6
23. Simplificar:
(a  b)2 Sen3     (a  b)2 Cos 5 
 2
L
3
aSen   bCos 2 
2
2

b) 2/3
e) 3/2
b)  3
e) 4
22. Si el punto Q(8; 5) pertenece al lado final de un ángulo

a) 1/2
d) 4/3

a) 2a
d)  4a
c) 3/4
b)  2a
e)  4b
c) 4a
24. Señale los signos de:
19. De la figura, calcule: "Tan  "
M  Sen140º Cos140º
Tan 300º Tan 260º
y
y
R  Tan160º Cos 217º  Tan116º
Cos 248º  Sen 348º
37º
x

4
a)
b)
c)
d)
e)
() No se puede precisar.
(+) ; (+)
(+) ; ()
() ; ()
() ; (+)
25. Señale Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda
en:
I.
Si: Sen  0  Cos  0 , entonces   IV .
II. Si: Tan  0  Sec  0 , entonces   IIIC .
III. Si: Csc  0  Cot  0 , entonces   IIC .
a) VVF
d) FFV
b) VVV
e) FVV
a) (+)
b) ()
c) (+) o ()
d) (+) y () e) No se puede precisar.
32. Del gráfico, calcular :
E  3 Tan  1
y
c) VFV
53º
26. Sabiendo que:
Sen  0
Tan Sec  0

¿A qué cuadrante pertenece el ángulo canónico  ?
a) IC
d) IVC
b) IIC
c) IIIC
e) No se puede precisar.
27. Señale el cuadrante al que pertenece "  " si:
Cos  Tan   
a) IC
d) IVC
b) IIC
c) IIIC
e) No se puede precisar
28. Señale Verdadero (V) o Falso, según corresponda en:
I.
a) 0
d) 2
b) 1
e)  2
33. Tomando
x
c)  1
5  2,236 y sabiendo que:
Ctgx = - 0,5 y que x  IVC .
¿Cuál es el valor de Cscx?
a)  2,236
d) 1,118
b) 2,236
e)  1,118
c)  0,4472
34. Los cuadrantes en los que el Coseno y Tangente tienen
el mismo signo son:
Si:   90º ; 180º , entonces   IIC .
II. Si:   IIC , entonces   90º ; 180º .
III. Si:   IIIC , es positivo y menor que una vuelta,
entonces   180º ; 270º .
a) VVF
d) FVV
b) VFV
e) VVV
c) VFF
1
13
5 13
d)
13
13
13
b) 
e)
5
c) 
13
c) 2820º
Cos  Cos
Calcular:
K  2Sen   3Cos 
a) 1
d)  2
2
Calcular: K  Cot   Tan 
b) 4
e) 12
b) 2760º
e) 3000º
4 Sen  1  1  1  1
5
4 28 70 130
30. Si el lado final de un ángulo canónico "  " pasa por los
puntos P(m+n; n) y Q(n;mn),
a) 2
d) 8
c) 2º y 3º
36. Siendo:
3
13
2
b) 1º y 3º
e) 1º y 4º
35. Se tienen dos ángulos coterminales tales que el mayor
es al menor como 23 es a 2. Su suma está comprendida
entre 2820º y 3100º.
¿Cuál es la medida del mayor?
a) 2540º
d) 2420º
2
29. Sabiendo que: Tan  
3
  IIC
Calcular: Q  Sen  Cos 
a)
a) 1º y 2º
d) 2º y 4º
c) 6
b)  1
e)  3
c) 2
37. El valor numérico de la expresión:
Sen180º+2Cos180º+3Sen270º+4Cos270º- 5Sec180º-6Csc270º
es:
a)  4
d) 16
b) 12
e) 8
c) 6
31. Sabiendo que "  " es un ángulo positivo menor que
una vuelta perteneciente al IIIC señale el signo de:


Q   Sen   Cos 2  Tan 3
2
3 
5

5
38. Indicar los signos de las siguientes expresiones en el
orden F. G. H.
F
Sec 285º
Tan2
138 º Sen 210º
Csc 215º Ctg 338º
Sen3260º Ctg 2115º Cos116º
Csc195ºTan 336º
H
3
3
G
Tg135º Sec 298º
3
2
Sen195º Ctg 340º Csc128º
e)
3
43. Sabiendo que: CosQ  1
4
270º < Q < 360º
Calcular el valor de la expresión:
SecQ  CscQ
1  CtgQ
a) 0,25
d) 4,00
f()  Cos(3)  1  Sen 2(2)  Cos 2
Calcular:

  
f     f    1
 3 3
b) 2 
a) 2
c) 2,50
44. Si  es un ángulo del tercer cuadrante, tal que:
Calcular: (8 Sec)3
3
a) 8 63
d) 
3
2
c) 5
40. Determinar el signo de S en cada uno de los cuadrantes
(I, II, III, IV).
S = Ctgx + Senx - Cscx
I.
I
+
+
+

+
II
+


+
+
III
+
+
+


IV
+
+

+

Sen3QSec5QCtg 4 Q
 ; si Q pertenece al IC.
+ ; si Q pertenece al IIC.
+ ; si Q pertenece al IIIC.
+ ; si Q pertenece al IVC.
 ; si Q pertenece al IIC.
2
2
42. Dado: Cosx   p  q ; p > q > 0
p2  q 2
Calcular Tgx, con x en el segundo cuadrante.
2 pq
a)  2
q  p2
b)
2 pq
c)  2
q  p2
d)
83
63
e) 
86
63 63
c)
83
63
q 2  p2
2 pq
q 2  p2
 
Tan x 
4
x
 
Sen Co sec  x 
 2
4
II.
 


Cot  x  Sec 3x 
 3
 4 
 
Cos x 
5
III.
 


Sen x Tan 2x 
3
 3 


Sec 3x 
4


41. Determinar el signo de:
2pq
83
3 63
b) 
45. Si el ángulo x es positivo, pertenece al cuarto cuadrante
y es tal que: 0  x  2 . Entonces, hallar el signo de
las siguientes expresiones trigonométricas.
d) 3  2 3 e) 2  3 3
2
6
b) 0,50
e) 4,50
1  Ctg 2  8
39. Si:
a)
b)
c)
d)
e)
q 2  p2
3
a)  , + ,  b)  ,  , + c)  ,  , 
d) + ,  ,  e) + , + , +
a)
b)
c)
d)
e)
q2  p2
a) (+) (+) (+)
c) (+) (+) ()
e) () () (+)
b) () () ()
d) () () ()
46. Hallar el signo de las expresiones trigonométricas, en
el orden dado:
Sen 52 Cos 25 ; Sen 32 Cot 22 ;
3
3
5
3


Sen  205 Cot 73
10
 3 
a) (+) (+) ()
c) () (+) (+)
e) (+) () (+)
b) () (+) ()
d) () () (+)
47. Si  es un ángulo en el primero cuadrante y
Sen  0,25 .
¿Cuál es el valor de Csc  Ctg 2 ?
a) 15
d)
19
21
21
b)
19
II.
19
c)
15
48. Si Tg   1,5 , siendo  un ángulo en el III cuadrante,
el valor de la expresión:
M
1
(Sec  Csc) es :
13
1
a) 
6
b) 
1
6
5
d) 
6
e)
4
d) 
5
b)
1
6
3
5
2
c) 
3
d) 2 10
5
b)  10
10
e)  2 10
5
c)
10
10
51. En la figura adjunta, hallar:
V  5Sen  15Cos  Tan
y
141
35
b)
29
7
d)
39
7
e)
1
4
e) Cos 2
b) Cosx = 0,6
d) Cosx = 0,9
55. Si "  " y "  " son ángulos cuadrantales, positivos y
menores que una vuelta, tales que: Cot  Cos
Calcule:

Cos  Sen
2
K
Sen   Cos
2
a)
2 2
b)
d)
2 2
e) 1
2 1
c)
2 1
56. Si  y  son ángulos positivos, que no son agudos;
a =  Sen(  )
x
0
c)
d) Sen 2
Sean:

a)
c) 1  Cos 2
Cos  0 ; Tan   0 ; (    360º )
24
-7
b)  Sen 2
a) Cosx = 0,8
c) Cosx =  0,7
e) Cosx =  0,8
1
e) 
3
Hallar : K  3(Cos   5 Sen)
2Ctg 
10
a) 2  Sen 2
54. Si: Senx = 0,6, ¿cuál es el valor de Cosx, sabiendo que
x es un ángulo del segundo cuadrante?
50. Si Tan   1 y  está en el segundo cuadrante.
3
a)
53. Sea  un ángulo del tercer cuadrante.
Indicar la alternativa correcta al simplificar:


E  1   1  Sen2 Cos


cuadrante, tal que Sen  3 .
5
4
5
a) + ;  ; + b) + ; + ;  c)  ;  ; +
d) + ;  ;  e) + ; + ; +
1
6
49. Calcular el Coseno del ángulo  del segundo
a)




Sen 3   Cos 3 
4
4




 5   Sec(315º )

III. Tan 
 4 
e) 19
c)
52. Indicar la alternativa correcta para el signo de las
siguientes expresiones:
I. Sen(361º)  Cos(455º)
99
35
b =  Sen 2
c = Sen 2
Entonces, son positivas.
a) a y b.
d) a.
b) a y c.
e) b y c.
c) a , b y c.
7
2
a
57. Si: Tanx    3
b
Calcular el valor de:
E a  b
; x  IC
bSenx aCosx
1 
 1
 3
3 
a
b



a)  1
1 
 b3 a3 


3
1
b2  2
 a2
c)  2  2 
a 
b
b)
ab
b a
3
2 2
 2
 3
3 
a
b


d)  2  2 
 b3 a3 


1
3 3
b
 a3
e)  3  3 
a 
b
58. Hallar todos los valores que puede tomar el ángulo 
del primer cuadrante, cuyo ángulo doble está en el
segundo cuadrante, su ángulo triple está en el tercer
cuadrante y su cuádruple en el cuarto cuadrante; pero
inferior a 2
  
4
2
5    
c)
12
2
e) Faltan datos
a)
8
  
3
2
3    
d)
8
2
b)
59. Si:   IIC y
34
Sen 2  (Sen)Cos
Calcular: Tg   Sen
11 143
a) 
12
b)
13 143
12
13 143
c) 
12
d)
9 143
12
e)
11 143
12
60. Se tiene dos ángulos que se diferencian en un múltiplo
de 360º. Se sabe que el cuádruple del menor es a la
suma del ángulo menor más el triple del mayor de los
ángulos, como 4 es a 5. Hallar el menor de los ángulos,
si se sabe que está comprendido entre 1080º y 3240º.
a) 1280º
d) 3210º
b) 2160º
e) 3230º
c) 3200º
Claves
01.
b
31.
b
02.
b
32.
c
03.
a
33.
e
04.
c
34.
a
05.
d
35.
b
06.
d
36.
d
07.
e
37.
c
08.
a
38.
a
09.
e
39.
c
10.
a
40.
c
11.
d
41.
c
12.
b
42.
b
13.
b
43.
d
14.
e
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