Algebra Lineal

Algebra Lineal
Tarea No 12: Independencia lineal en Rn
Solución a algunos problemas de la tarea (al 29 de junio de 2014)
1. Sean {a, b, c} un conjunto de vectores en Rn . Suponga
que
−3 a − 3 b + 4 c = 0
entonces, ¿el conjunto es linealmente dependiente?
3. Sean {a, b, c} un conjunto de vectores en Rn . Suponga
que existe un vector que puede ser escrito de dos formas
diferentes como combinación lineal de los vectores del
conjunto anterior. El conjunto es linealmente dependiente?
A Cierto
B No se sabe: puede haber otra combinación que también dé cero
A No se sabe: debemos saber si todos los coeficientes
correpondientes son diferentes
C No se sabe: la combinación con ceros también da cero
B No se sabe: debemos buscar una combincación que
dé el vector cero
D No se sabe; depende de n
C Cierto
Solución
D No se sabe: la combinación con ceros también da cero
Cierto. La información
−3 a − 3 b + 4 c = 0
es una combinación lineal de {a, b, c} que da el vector 0
y tiene por lo menos un coeficientes diferente de cero (El
coeficiente de a que es −3, por ejemplo) 2. Sean {a, b, c} un conjunto de vectores en Rn . Suponga
que
3a − 2b − 2c = 0
E
No se sabe; depende de n
Solución
Cierto que es linealmente dependiente. Supongamos que
para el vector d tenemos dos formas de escribirlo como
combinación lineal de {a, b, c}. Es decir, supongamos que
existen c1 , c2 , c3 , e1 , e2 , y e3 tales que
c1 a + c2 b + c3 c
e1 a + e2 b + e3 c
entonces, ¿el {a, b} conjunto es linealmente dependiente?
A Cierto
B No se sabe; depende de n
C No se sabe: la combinación con coeficientes ceros también da cero
= d
= d
y para que efectivamente sean dos formas diferentes de escribir a d: c1 6= e1 ó c2 6= e2 ó c3 6= e3 . Es decir c1 − e1 6= 0
o c2 − e2 6= 0 ó c3 − e3 6= 0. Al restar las combinaciones
lineales tenemos que
(c1 − e1 ) a + (c2 − e2 ) b + (c3 − e3 ) c = 0
D No se sabe
Solución
La información
3a − 2b − 2c = 0
implica que el conjunto {a, b, c} es linealmente dependiente. Es decir, que ese conjunto tiene redundancia. Sin embargo, puede ser que la redundancia se elimine o permanezca quitando un vector. Decir que al remover el último
no la eliminamos es todo un atrevimiento. Ası́ que lo mejor
que podemos decir es que no sabemos si el conjunto {a, b}
queda linealmente dependiente o independiente. Decir que
depende del número de componentes no es cierto (opción
B) o decir, que no se sabe porque la combinación con coeficientes ceros también da cero, realmente no da con la
causa donde la condición c1 −e1 6= 0 o c2 −e2 6= 0 ó c3 −e3 6= 0 es
justo que un coeficiente en la combinación lineal no es cero. Indicando que el conjunto es linealmente dependiente
4. Indique si el siguiente conjunto de vectores es linealmente
independiente:

 


4
1
−1 
x =  6 , x2 =  3 , x3 =  −2 
 1

1
4
−2



Solución
Debemos ver cómo deben ser las constantes c1 , c2 y c3
para que:
c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 = 0
Ma1019, Tarea No 12: Independencia lineal en Rn
2
El sistema anterior tiene matriz aumentada que al reducirla queda:




1 0 0 0
4 1 −1 0
 6 3 −2 0  →  0 1 0 0 
1 4 −2 0
0 0 1 0
Como el sistema tiene solución única c1 = 0, c2 = 0 y
c3 = 0 se deduce que la única forma de combinar los vectores x’s para que den el vector cero es la que tiene todos
los coeficientes cero. Por tanto, el conjunto de vectores es
linealmente independiente 5. Indique si el siguiente conjunto de vectores es linealmente
independiente:







15 
5
0

x =  −3 , x2 =  −2 , x3 =  −15 

 1
3
−2
3
Solución
Al armar la aumentada y reducir

1
rref 
[a1 a2 a3 |0] −−−→ 0
0
obtenemos:

0 4 0
1 4 0 
0 0 0
Teniendo infinitas soluciones, concluimos que el conjunto de vectores {a1 , a2 , a3 } es linealmente dependiente: es
falso que sea linealmente independiente 7. Indique si el siguiente conjunto de vectores es linealmente
dependiente:




0 
 0
x1 =  4  , x2 =  8 


12
6
A Cierto
B Falso
Debemos ver cómo deben ser las constantes c1 , c2 y c3
para que:
c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 = 0
El sistema anterior tiene matriz aumentada
cirla queda:



1 0 3
0
5
15 0
 −3 −2 −15 0  →  0 1 3
3 −2
3 0
0 0 0
{a1 , a2 , . . . , ak } es l.i. si y sólo si [a1 · · · ak |0] tiene solución única
que al redu
0
0 
0
Como el sistema tiene infinitas soluciones se deduce que
además de la solución c1 = 0, c2 = 0 y c3 = 0 debe tener
otras soluciones y en estas otras al menos un coeficiente
c debe ser diferente de cero. Por ejemplo, reconvirtiendo
los renglones no cero de la matriz reducida a ecuaciones
se obtiene: c1 + 3c3 = 0 y c2 + 3c3 = 0 es decir, c1 = −3 c3
y c2 = −3 c3 . Dando a c3 un valor diferente de cero (por
ejemplo c3 = −1) se pueden obtener coeficientes (siguiendo el ejemplo, c1 = 3 y c2 = 3) que hacen que la combinación lineal de el vector cero. Por tanto, el conjunto de
vectores es linealmente dependiente Solución
Sin hacer ninguna operación es fácil de deducir que el conjunto es dependiente. El segundo vector es un múltiplo
escalar del segundo:
x2 = 2 x1
y por tanto, el conjunto es linealmente dependiente:
−2 x1 + 1 x2 = 0
serı́a una combinación lineal que se anula con un coeficientes diferente de cero 8. Indique si el siguiente conjunto de vectores es linealmente
independiente:







1
−1
2 

x1 =  −2  , x2 =  2  , x3 =  1 


−2
2
4
A Cierto
B Falso
6. Indique si el siguiente conjunto de vectores es linealmente
independiente:







−1
4
12 

a =  4  , a2 =  5  , a3 =  36 
 1

5
0
20
Solución
Sin hacer ninguna operación es fácil de deducir que el conjunto es dependiente. El segundo vector es un múltiplo
escalar del segundo:
x2 = −1 x1
A Falso
B Cierto
Solución
Nuestro resultado clave es
y por tanto, el conjunto es linealmente dependiente:
0 = 1 x1 + 1 x2 = 1 x1 + 1 x2 + 0 x3
serı́a una combinación lineal de {x1 , x2 , x3 } que se anula
y tiene un coeficientes diferente de cero Ma1019, Tarea No 12: Independencia lineal en Rn
9. Indique si el siguiente conjunto de vectores es linealmente
dependiente:

   

3
0
0 

 3 ,  0 ,  6 


−3
0
2
A Falso
B Cierto
Solución
Teniendo al vector cero como elemento un conjunto de
vectores debe ser linealmente dependiente:
0 = 1 · 0 = 0 x1 + 1 · 0 + 0 x3
es una combinación lineal que se anula y tiene un coeficiente diferente de cero (el del vector cero) 10. Indique si el siguiente conjunto de vectores es linealmente
dependiente:

 
 

3
3
6 

 −1  ,  −1  ,  0 


6
6
0
A Falso
B Cierto
Solución
Teniendo vectores repetidos, un conjunto de vectores es
linealmente dependiente:
x1 = x2
implicarı́a
0 = 1 x1 − 1 x2 + 0 x3
que serı́a una combinación lineal que se anula y tiene un
coeficiente diferente de cero 11. Indique si el siguiente conjunto de vectores es linealmente
dependiente:
0
−3
−4
−8
,
,
,
−2
−2
9
2
A Falso
B Cierto
Solución
Sin hacer ninguna operación es fácil concluir que el conjunto es linealmente dependiente: Si imaginamos que formamos la matriz para hacer el proceso de verificación, la
3
matriz de coeficientes queda de dimensión 2 × 4: como los
pivotes van en renglones diferentes, quedarán a lo más dos
pivotes. Por tanto, en la parte de la matriz de coeficientes
que tiene cuatro columnas, quedarán dos de ellas por lo
menos sin pivote. Por tanto, habrá infinitas soluciones en
el sistema homogéneo formado: el conjunto es linealmente
dependiente 12. Indique si el siguiente conjunto de vectores es linealmente
dependiente:

 
 
 

6
10
8 
 −1
 −3  ,  2  ,  1  ,  −4 


5
1
4
6
A Falso
B Cierto
Solución
Sin hacer ninguna operación es fácil concluir que el conjunto es linealmente dependiente: Si imaginamos que formamos la matriz para hacer el proceso de verificación, la
matriz de coeficientes queda de dimensión 3 × 4: como los
pivotes van en renglones diferentes, quedarán a lo más 3
pivotes. Por tanto, en la parte de la matriz de coeficientes
que tiene cuatro columnas, quedará por lo menos una sin
pivote. Por tanto, habrá infinitas soluciones en el sistema
homogéneo formado: el conjunto es linealmente dependiente 13. Indique si el siguiente conjunto de vectores es linealmente
independiente:
1
2
,
0
1
A Falso
B Cierto
Solución
Sin hacer ninguna operación es fácil concluir que el conjunto es linealmente independiente: Si imaginamos que formamos la matriz para hacer el proceso de verificación, la
matriz de coeficientes queda escalonada con pivote en cada
columna. Como las posiciones los pivotes de la escalonada
a la reducida no cambian, la matriz reducida tendrá un
pivote en cada columna en la parte izquierda. Lo cual
dará solución única en el sistema homogéneo formado. Por
tanto, el conjunto es linealmente independiente 14. Indique si el siguiente conjunto de vectores es linealmente
independiente:
3
3
,
0
3
A Cierto
Ma1019, Tarea No 12: Independencia lineal en Rn
4
17. ¿Para qué valor de x el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
B Falso
Solución
Sin hacer ninguna operación es fácil concluir que el conjunto es linealmente independiente: Si imaginamos que formamos la matriz para hacer el proceso de verificación, la
matriz de coeficientes queda escalonada con pivote en cada
columna. Como las posiciones los pivotes de la escalonada
a la reducida no cambian, la matriz reducida tendrá un
pivote en cada columna en la parte izquierda. Lo cual
dará solución única en el sistema homogéneo formado. Por
tanto, el conjunto es linealmente independiente 15. Indique si el siguiente conjunto de vectores es linealmente
dependiente:




2 
 3
a1 =  5  , a2 =  3 


0
2

1



 2

 −1



1
 
0
−2
  −5  
x
 
, 
  0  ,  −3 x + x2
30 − x2
−3
 








Indique su respuesta en las posibles:
1 Sólo para x = 0 y para x=
2 No existe valor de x.
3 Hay mas de dos valores de x.
A Cierto
B Falso
4 Sólo para el valor x=
Solución
Nuestro resultado clave es
{a1 , a2 , . . . , ak } es l.i. si y sólo si [a1 · · · ak |0] tiene solución única
Al armar la aumentada y reducir obtenemos:

1 0
rref 
[a1 a2 |0] −−−→ 0 1
0 0

0
0 
0
Solución
El conjunto de vectores será linealmente depnediente si y
sólo si al escalonar la matriz cuyas columnas son los vectores del conjunto por lo menos una columna queda sin
pivote. Al armar la matriz y escalonar mediante las operaciones:
Teniendo solución única, concluimos que el conjunto de
vectores {a1 , a2 } es linealmente independiente: es falso que
sea linealmente dependiente 1.
2.
3.
4.
5.
16. ¿Para qué valor de a el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
6
,
−2
a
R2
R3
R4
R3
R4
→ R2 − 2 R1
→ R3 + 1 R1
→ R4 − 1 R1
→ R3 − 2 R2
→ R4 − 1 R2
la matriz queda:
Solución
Al formar la matriz aumentada y escalonar tenemos:
1 6 0
1
−2 0
R ←R2 +2 R−2
−−2−−−−
−−−−→
−2 a 0
0 12 + a 0
El sistema tendrá solución infinitas cuando 12 + a = 0, es
decir, cuando a = −12. Por tanto, para a = −12 el conjunto es linealmente dependiente. Mientras que para a 6= −12
es linealmente independiente 1
 0

 0
0

−2
−1
0
0

0

x

2

x − 5x
2
−x − x + 30
Estos cálculos se ilustran usando la TI en las siguientes
imágenes.
Ma1019, Tarea No 12: Independencia lineal en Rn
5
to (4, 3) pero no el (3, 3) la columna 3 quedará con pivote.
El conjunto será linealmente dependiente si y sólo si simultáneamente se hacen cero las posiciones (4, 3) y (3, 3)
de la escalonada. EL valor x = 5 es el único valor de x
que hace esto. Por tanto, la respuesta correcta debe ser la
opción 4 completandola con el valor x = 5. La respuesta
que escribiremos será 4, 5 18. Suponga que el conjunto
{v1 , v2 , v3 , v4 , v5 }
es linealmente independiente. ¿Será el conjunto
{v4 , v3 , v2 }
linealmente independiente?
Solución
Cierto: Puesto que el conjunto es linealmente independiente, cualquier subconjunto de él será linealmente independiente. Para una prueba formal: supongamos que conjunto A = B ∪ C donde
B = {x1 , . . . , xn , } , y C = {y1 , . . . , ym }
y que A es linealmente independiente. Si
c1 x1 + · · · + cn xn = 0
entonces
c1 x1 + · · · + cn xn + 0 y1 + · · · + 0 ym = 0
como A es linealmente independiente todos los coeficientes de la combinación lineal son cero. Por tanto, los coeficientes ci son todos cero, probando que B es linealmente
independiente 19. Suponga que el conjunto
{v3 , v1 , v2 , }
es linealmente dependiente. ¿Será el conjunto
{v1 , v2 , v3 , v4 , v5 }
linealmente dependiente?
Solución
Vemos que la columna 1 y 2 tiene pivote numérico, es
decir, sin la variable x. Por tanto, no es posible escoger
un valor de x que haga cero uno de estos pivotes. Ası́, el
conjunto es linealmente dependiente si y sólo si la tercera
columna no tiene pivote. Si escogemos un valor de x que
haga cero la posición (3, 3) pero no la (4, 3) el algoritmo
de escalonamiento subirá el elemento (4, 3) a la posición
(3, 3); si escogemos un valor de x que haga cero el elemen-
Cierto: Puesto que el conjunto es linealmente dependiente, cualquier conjunto que lo contenga será linealmente
dependiente. Usted puede pensarlo de la siguiente forma:
si un conjunto tiene redundancia (l.d.), la redundancia no
se eliminará añadiendo elementos. Para un argumento formal piense que el conjunto
{x1 , . . . , xk }
Ma1019, Tarea No 12: Independencia lineal en Rn
es linealmente dependiente. Por tanto, existen escalares
c1 ,. . . ,ck no todos cero tales que
c1 x1 + · · · + ck xk = 0
por lo tanto
c1 x1 + · · · + ck xk + 0 xk+1 = 0
y por tanto, tenemos una combinación lineal que se anula
que tiene al menos un coeficiente diferente de cero, probando que el conjunto
{x1 , . . . , xk , xk+1 }
es linealmente dependiente. Podemos añadir todos los vectores que queramos y la dependencia lineal no se quitará 20. Suponga que el conjunto
{v1 , v2 , v3 , v4 , v5 }
es linealmente dependiente. ¿Será el conjunto
{v3 , v5 , v4 }
linealmente independiente?
Solución
No se puede deducir ninguna conclusión definitiva: El conjunto puede ser linealmente dependiente o independiente.
El sólo remover vectores de un conjunto dependiente no
elimina la dependiencia lineal; se deben remover adecuadamente 21. Suponga que los vectores v1 y v2 forman un conjunto linealmente independiente. ¿Será el siguiente conjunto linealmente independiente?
{y1 = −2 v1 − 2 v2 , y2 = 2 v1 − 3 v2 }
Solución
Buscamos cómo deben ser las constantes c1 y c2 para que:
c1 y1 + c2 y2 = 0
Es decir
c1 (−2 v1 − 2 v2 ) + c2 (2 v1 − 3 v2 ) = 0
Desarrollando esto queda:
(−2c1 + 2c2 ) v1 + (−2c1 − 3c2 ) v2 = 0
Como el conjunto {v1 , v2 } es linealmente independiente
los coeficientes de la combinación lineal anterior deben ser
cero:
− 2c1 + 2c2 = 0
− 2c1 − 3c2 = 0
Este sistema tiene solución única c1 = 0 y c2 = 0. Por
tanto, la única combinación lineal de los vectores y que da
el vector 0 es la que tiene coeficientes cero. Por tanto, el
conjunto {y1 , y2 } es linealmente independiente 6
22. Considere el sistema A x = b. Si las columnas de A forman un conjunto linealmente dependiente, entonces el sistema
A
no se sabe si tiene solución.
B
tiene infinitas soluciones.
C
tiene solución única.
Solución
Recuerde que la consistencia no depende de si las columnas
de A son un conjunto linealmente independiente o dependiente. Lo que se tiene es que si A x = b es consistente,
entonces habrá infinitas soluciones si y sólo si las columnas de A forman un conjunto linealmente dependiente. En
este caso, la respuesta más conveniente es A : no se sabe
si tiene solución 23. Suponga que el sistema A x = b es tal que el conjunto de
las columnas de la matriz de coeficientes es linealmente
dependiente, qué se puede decir de la solución al sistema?
A
Que si acaso existe solución, entonces hay infinitas
soluciones
B
Que si acaso existe solución, entonces es única
C
Que sı́ existen infinitas soluciones
D
Que sı́ existe y además es única
Solución
Nuevamente, el dato sólo sirve para describir el comportamiento de las soluciones en caso de haber. La respuesta es
que A Que si acaso existe solución, entonces hay infinitas
soluciones 24. Suponga que el sistema A x = b tiene soluciones infinitas
para un vector b particular. ¿El conjunto de las columnas
de la matriz de coeficientes será linealmente dependiente?
A
B
C
Falso
No hay suficiente información para concluir
Cierto
Solución
El dato es que A x = b tiene soluciones infinitas. Por tanto, A x = 0 tiene soluciones infinitas. Por tanto, es cierto
que las columnas de A son dependientes Ma1019, Tarea No 12: Independencia lineal en Rn
25. Responda cada pregunta
1. Suponga que el sistema A x = b n × n es tal que tiene solución única para un cierto vector b. Para otro
vector b1 será consistente el sistema A x = b1 ?
A
Consistente o inconsistente, si consistente solución única.
B
Consistente o inconsistente, si es consistente puede tener infinitas.
C
Consistente sin importar b1 y tiene solución única.
D
No hay información para saber si es consistente.
2. Suponga que el sistema A x = b n × n tiene infinitas
soluciones para un cierto vector b. Para otro vector
b1 será consistente el sistema A x = b1 ?
A
Puede ser consistente o inconsistente, pero si es
consistente tendrá solución única.
B
Puede ser consistente o inconsistente, pero si es
consistente puede tener soluciones infinitas.
C
El sistema tiene solución sin importar b1 y tiene
soluciones infinitas..
D
No hay información para saber si es consistente.
E
Puede ser consistente o inconsistente, pero si es
consistente tiene soluciones infinitas.
3. Suponga que el sistema A x = b m × n (con n > m)
es inconsistente para un cierto vector b. Para otro
vector b1 será consistente el sistema A x = b1 ?
A
Será siempre inconsistente.
B
Puede ser consistente o inconsistente, pero si es
consistente puede tener soluciones infinitas o solución única.
C
El sistema tiene solución sin importar b1 y tiene
soluciones infinitas.
7
D
No hay información para saber si tendrá soluciones infinitas o única.
E
Puede ser consistente o inconsistente, pero si es
consistente tiene soluciones infinitas.
Solución
1. Si tiene solución única para un b se deduce que las
columnas de A son linealmente independientes. Por
tanto, y como A tiene n columnas, si a A se le aplica
rref quedan n pivotes. Como A tiene n renglones entonces en la reducida de A quedarán pivotes en cada
renglón. Por tanto, las columnas de A generan todo
Rn . Por consiguiente, para cualquier otro vector b1
de Rn el sistema será consistente y tendrá solución
única: C .
2. Dado que tiene infinitas soluciones para un b se deduce que las columnas de A son linealmente dependientes. Por tanto, y como A tiene n columnas, si a
A se le aplica rref quedan menos de n pivotes. Como A tiene n renglones entonces en la reducida de
A quedarán con algún renglón sin pivote. Por tanto,
las columnas de A no generan todo Rn . Por consiguiente, habrá vectores b1 de Rn el sistema podrá ser
consistente o inconsistente pero si es consistente seguro tendrá soluciones infinitas: E .
3. Dado que el número de columnas de A es mayor que
el número de renglones, entonces después de reducir
A quedarán a lo más m pivotes, que será menor que
n. Por consiguiente las columnas de A formará un
conjunto linealmente dependiente. Esto implicará de
que en cualquier otro b1 para A x = b1 consistente el sistema tendrá soluciones infinitas. El hecho de
que A x = b sea inconsistente para un cierto b indica
que las columnas de A no generan a todo Rm . Por
tanto, habrá muchos b1 para los cuales es inconsistente. Resumiendo, el sistema podrá ser consistente
o inconsistente y en el caso que sea consistente el sistema tendrá soluciones infinitas E