Matriz de una transformación lineal y cambio de bases

Matriz de una transformación lineal
y cambio de bases (repaso)
Matriz de una transformación lineal
1. Transformación lineal (operador lineal). Sean E y F espacios vectoriales sobre
un mismo campo F. La aplicación T : E → F se llama transformación lineal (también se
usa el término operator lineal ), si
1. T (a + b) = T a + T b ∀a, b ∈ E;
2. T (λa) = λT (a) ∀a ∈ E ∀λ ∈ F.
El conjunto de todas las transformaciones lineales de E en F denotamos por L(E, F ). En
el caso F = E se escribe L(E).
Vamos a estudiar transformaciones lineales que actuan en espacios vectoriales de dimensión finita.
2. Matriz de una transformación lineal. Sean T ∈ L(E, F ), E = (e1 , . . . , en ) una
base en E, F = (f1 , . . . , fm ) una base en F . La matriz de T es bases E y F, denotada por
TF,E , consiste en las columnas de coordenadas de los vectores T e1 , . . . , T en en base F:
TF,E = (T e1 )F . . . (T en )F .
Si F = E y F = E, entonces en vez de TF,E se escribe TE .
3. Ejemplo. Calcular la matriz de la transformación T ∈ L(Pol2 (R)) en la base canónica
de Pol2 (R):
(T f )(x) = (x2 − 2x + 3)f 00 (x) + (4x − 1)f 0 (x) + 3f (x).
4. Ejemplo. Calcular la matriz de la transformación T ∈ L(Mat2 (R)) en la base canónica
de Mat2 (R):
T (X) = X T + tr(X)I.
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Cambio de base
5. Coordenadas de un vector en una base. Sea E un espacio vectorial sobre un campo
F, E = (e1 , . . . , en ) una base en E. Dado a ∈ E, existe una única tupla (λ1 , . . . , λn ) ∈ Fn
tal que
n
X
a=
λk ek .
k=1
Los escalares λ1 , . . . , λn son coordenadas de a en la base E, el vector (λ1 , . . . , λn )T es el
vector de coordenadas y se denota por xE .
6. Matriz de cambio de base. Sean E = (e1 , . . . , en ), F = (f1 , . . . , fn ) bases en E.
Entonces la matriz compuesta de las columnas (f1 )F , . . . , (fn )F se llama matriz del cambio
de base de E por F y se denota por PE→F . Las coordenadas de un vector a en dos bases
E y F son relacionadas mediante la siguiente regla:
xE = PE→F xF .
7. Ejemplo. Sea A = (a1 , a2 , a3 ) una base en E y B = (b1 , b2 , b3 ), donde
b1 = 3a1 − 2a2 + 4a3 ,
b2 = 4a1 + a2 + 5a3 ,
Consideremos la matriz del sistema B en base

3
PA→B =  −2
4
b3 = 7a1 − a2 + 6a3 .
A:

4
7
1 −1  .
5
6
Como det(PA→B ) = −33, la matriz PA→B es invertible, y por eso B es una base.
8. Propiedades. Sean A, B, C bases en un espacio vectorial. Entonces:
PA→C = PA→B PB→C .
PA→A = I.
−1
PB→A = PA→B
.
9. Ejemplo. Calcular la matriz PA→B , si A = (a1 , a2 ) y B = (b1 , b2 ) son los siguientes
sistemas de vectores en R2 :
3
−5
4
2
a1 =
, a2 =
, b1 =
, b2 =
.
−1
2
1
−3
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Solución. Usemos la propiedad PE→A PA→B = PE→B . Aquı́ E es la base canónica en R2 .
Denotando PA→B por X, tenemos la siguiente ecuación matricial:
3 −5
4
2
X=
.
−1
2
1 −3
Resolvamos esta ecuación:
3 −5 4
2 R1 += 3R2
0
−−−−−−→
−1
2 1 −3
−1
R2 ∗=(−1) 0 1
7 −7
1
R ↔R2
−−−1−−−
→
−1 0 −13 11
0
1 7 −7
2 1 −3
0 13 −11
1 7 −7
Respuesta:
PA→B =
13 −11
7 −7
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.
R2 +=(−2)R1
−−−−−−−−→
.
Cambio de la matriz de una transformación lineal
al cambiar las bases de los espacios
10. Proposición. Sean E, F espacios vectoriales de dimensión finita sobre un mismo
campo F, E y E0 bases en E, F y F0 bases en F , T ∈ L(E, F ). Entonces
TF0 ,E0 = PF0 →F TF,E PE,E0 .
En particular, en el caso F = E, F = E, F0 = E0 ,
TE0 = PE0 →E TE PE→E0 .
11. Ejercicio. Recuerde como se demuestra esta fórmula.
12. Ejemplo. Calcular la matriz de la transformación lineal T ∈ L(Pol2 (R)),
(T f )(x) = (x2 + 3)f 00 (x) − xf 0 (x) + 5f (x),
en la base canónica E y en la siguiente base B:
b0 (x) = 1,
b1 (x) = (x − 3),
b2 (x) =
(x − 3)2
.
2
Checar que funciona la fórmula
TB = PB→E TE PE→B .
13. Ejercicio. Sea T una tranformación lineal E → E, E y F bases en E. Dadas las
matrices TE y PE→F , calcule TF .




−3
1 2
1 −2 −1
3
1 .
TE =  4 −3 1  ,
PE→F =  −1
0
2 4
2 −7 −3
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