Clase 18. - Universidad Nacional de Colombia : Sede Medellin

Clase 18 – Transformaciones Lineales
Álgebra Lineal
Escuela de Matemáticas - Facultad de Ciencias
Universidad Nacional de Colombia
Código 1000 003
Transformaciones Lineales
Definición 1 Sean V y W espacios vectoriales. Una transformación lineal de V a W es una función T : V → W tal que
para todo u, v ∈ V y todo escalar c :
(a)
T (u + v) = T (u) + T (v)
Ejemplo.
(b)
y
T (cu) = cT (u).
¿Cuál de las siguientes funciones es una transformación lineal? En caso de no serlo, dé un contraejemplo.
(a) Sea T : Mn×n → Mn×n , dada por T ( A) = A T .
(b) Considere el subespacio D = { f ∈ F | f es diferenciable} de F (pruébelo). Sea D : D → F el operador
diferencial definido por D ( f ) = f 0 .
(c) Considere el espacio C [ a, b] = { f : [ a, b] → R | f es continua} . Sea S : C [ a, b] → R el operador integral
definido por
S(f) =
Z b
a
f (t) dt.
(d) Sea T : M3×3 → R dada por T ( A) = det A.
Solución. (a) Sean A, B ∈ Mn×n y sea c ∈ R. Luego,
T ( A + B) = ( A + B)T = AT + BT = T ( A) + T ( B)
y
T (cA) = (cA)T = cA T = cT ( A) .
Por tanto, T es una transformación lineal.
(b) y (c). Aplicando propiedades de la derivada y la integral, se prueba que D y S son transformaciones lineales.
(d) No es transformación lineal. Tomemos A = I3 y c = 2. Luego,
T (cA) = det (2I ) = 23 det I = 8
cT ( A) = 2 det I = 2.
y
X
Ası́, T (cA) 6= cT ( A) . Luego, T no puede ser una transformación lineal.
Ejemplo.
Sean V un espacio vectorial y sea B = {v1 , . . . , vn } una base para V. Sea T : V → Rn la función dada por
T (v) = [v]B ,
para todo v ∈ V.
Por propiedades de los vectores coordenados, tenemos que
T (u + v) = [u + v]B = [u]B + [v]B = T (u) + T (v)
y
T (cu) = [cu]B = c [u]B = cT (u).
X
Luego, T es una transformación lineal.
Ejemplo. Dado un espacio vectorial V, se define la transformación identidad IV : V → V por IV (v) = v, para
X
todo v ∈ V. Es fácil ver que IV es una transformación lineal.
Ejemplo.
Sea A una matriz de orden m × n. Vimos que la transformación matricial TA : Rn → Rm , dada por
TA (u) = Au,
para todo u ∈ Rn ,
X
es una transformación lineal.
1
Teorema 2 Sean T : V → W una transformación lineal y u, v ∈ V. Entonces
(a)
T (0) = 0.
(b)
T (−v) = − T (v) .
(c)
T ( u − v ) = T ( u ) − T ( v ).
Composición de transformaciones lineales
Definición 3 Sean T : V → W y S : W → U transformaciones lineales. La composición de S con T es la transformación
S ◦ T : V → U definida por
(S ◦ T )(v) = S( T (v)),
para todo v ∈ V.
Teorema 4 Si T : V → W y S : W → U son transformaciones lineales, entonces S ◦ T : V → U también es lineal.
Prueba. Sean u, v ∈ V y c ∈ R. Como T y S son lineales, se tiene que
(S ◦ T ) (u + v) = S ( T (u + v)) = S ( T (u) + Tv) = S ( T (u)) + S ( T (v)) = (S ◦ T ) (u) + (S ◦ T ) (v) .
Similarmente, se cumple que
(S ◦ T ) (c u) = S ( T (c u)) = S (c ( T (u))) = c (S ( T (u))) = c (S ◦ T ) (u) .
Luego, S ◦ T es lineal.
Ejemplo.
Considere las transformaciones lineales S : Pn → Pn y T : Pn → Pn dadas por
S( p( x )) = p ( x + 1)
y
T ( p( x )) = xp0 ( x ) ..
Encuentre S ◦ T y T ◦ S.
Solución. Sea p ( x ) ∈ Pn . Por definición,
(S ◦ T ) ( p ( x )) = S ( T ( p ( x ))) = S xp0 ( x ) = ( x + 1) p0 ( x + 1) .
Por otro lado,
( T ◦ S) ( p ( x )) = T (S ( p ( x ))) = T ( p ( x + 1)) = x · p0 ( x + 1) .
X
Notemos que S ◦ T 6= T ◦ S.
Teorema 5 La composición de transformaciones lineales es asociativa. Es decir, si R, S y T son transformaciones lineales,
entonces
R ◦ (S ◦ T ) = ( R ◦ S) ◦ T
a condición de que estas composiciones tengan sentido.
Ejemplo. Sean T : V → W y S : U → V transformaciones lineales y sea I : V → V la transformación identidad.
Muestre que
T◦I =T
y
I ◦ S = S.
Solución. Dado v ∈ V, tenemos que
( T ◦ I ) (v) = T ( I (v)) = T (v) .
X
Luego, se deduce que T ◦ I = T. Similarmente, se prueba que I ◦ S = S.
El siguiente resultado nos recuerda cómo calcular la matriz estándar de la compuesta de transformaciones matriciales.
Proposición 6 Sean T : Rn → Rm y S : Rm → R p transformaciones lineales. Entonces
[S ◦ T ] = [S] · [ T ] .
2