Matriz de una Transformación Lineal
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Matriz de una Transformación Lineal
Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM
9 de febrero de 2011
Índice
28.1. Matriz de una Transformación Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28.2. Toda transformación Lineal es Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28.3. Operativa del Trabajo con Transformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28.1.
1
4
5
Matriz de una Transformación Lineal
Sea T : V → W una transformación lineal entre dos espacios vectoriales V y W de dimensiones finitas.
0
0
0
Sea B = {v1 , . . . , vn } una base de V y B = {v1 , . . . , vn } una base de W .
La matriz A m × n cuyas columnas son:
[T (v1 )]B0 , . . . , [T (vn )]B0
es la única matriz que satisface
[T (~v )]B 0 = A[~v ]B
para todo ~v ∈ V .
Definición 28.1
La matriz A de la afirmación anterior se llama matriz de T con respecto a B y a B 0 .
0
Si V = W y B = B , A se llama matriz de T con respecto a B.
Ejemplo 28.1
Suponga que
T : R3 → R3
0
0
0
0
1
1
B = 0 , 1 , 0 , B0 = 0 , 1 , 0 ,
0
0
1
0
0
1
y que
B0
[T ]B
Determine
−3 0 2
= −3 3 3
−1 3 2
3
T −1
−4
Solución
0
0
Tenemos que la matriz [T ]B
v )]B 0 = [T ]B
v ]B . Si
B cumple [T (~
B [~
hacemos:
1 0 0
3
[B|~v ] = 0 1 0 −1 →
0 0 1 −4
~v =< 3, −1, −4 >, entonces para obtener [~v ]B
3
1 0 0
0 1 0 −1
0 0 1 −4
Por tanto, [~v ]B =< 3, −1, −4 > y de allı́ que
−3 0 2
3
−17
[T (~v )]B 0 = −3 3 3 · −1 = −24
−1 3 2
−4
−14
Por tanto,
1
0
0
−17
T (~v ) = −17 0 − 24 1 − 14 0 = −24
0
0
1
−14
Ejemplo 28.2
Suponga que
B=
T : R3 → R3
0
3
2
4
4
4
2 , −2 , 0 , B 0 = 2 , 5 , 0 ,
−5
0
−5
3
3
−2
y que
B0
[T ]B
Si
−5 −4
1
4
= 1 −2
0 −4 −3
4
[x]B = 0
−1
Determine [T (x)]B 0 .
Solución
0
Directamente de la definición de [T ]B
B :
[T (x)]B 0
0
= [T ]B
B [x]B
−5 −4
1
4
4 · 0
= 1 −2
−1
0 −4
−3
−21
0
=
3
Ejemplo 28.3
Suponga que
T : R3 → R3
4
−4
−5
2
−5
−1
B = 4 , 5 , −4 , B 0 = −5 , 5 , −1 ,
3
3
−1
−2
2
3
2
y que
B0
[T ]B
Si
5 −4 1
3 3
= 3
3 −1 0
3
[x]B = −3
5
Determine T (x).
Solución
0
Directamente de la definición de [T ]B
B :
[T (x)]B 0
0
= [T ]B
B [x]B
5 −4 1
3
3 3 · −3
= 3
5
3 −1
0
32
= 15
12
Por tanto,
−82
2
−5
−1
T (x) = 32 −5 + 15 5 + 12 −1 = −97 2
3
2
−2
Ejemplo 28.4
Suponga que
T : R3 → R3
−1
0
1
3
−4
1
B = 1 , −5 , 0 , B 0 = −4 , −2 , 1 ,
0
1
2
−2
−2
−2
y que
B
[T ]B
Si
Determine T (x).
Solución
Si x =< 4, −2, 0 >, entonces para obtener
1
[B|x] = 1
0
0
−1
0 0
= 4 −1 3
0
0 5
4
x = −2
0
[x]B hacemos:
−1 0
4
1 0 0 11/2
−5 0 −2 → 0 1 0
3/2
1 2
0
0 0 1 −3/4
3
Por tanto, [x]B =< 11/2, 3/2, −3/4 > y de allı́ que
−1
0 0
11/2
−11/2
0
4 −1 3 · 3/2 = 73/4
[T (x)]B 0 = [T ]B
B [x]B =
0
0 5
−3/4
−15/4
Por tanto,
1
3
−4
257/4
T (x) = −11/2 −4 + 73/4 −2 − 15/4 1 = −73/4 −2
−2
−2
−18
Notas
Observe que si [B] representa la matriz cuyas columnas son los vectores de B:
Para obtener [x]B dados B y x, se realiza el cálculo [B]−1 x.
Para obtener y dados [y]B 0 y B 0 , se realiza [B 0 ] · [y]B 0 .
Ejemplo 28.5
Suponga que
T : R3 → R3
se define como
3x − 2z
x
T y = x + y − z
5x + 4z
z
y además
B=
0
−3
4
−2
0
0
1 , −1 , 4 , B 0 = 1 , −4 , 0 .
1
−4
1
−5
0
−5
0
Determine la matriz [T ]B
Solución
B .
Por las notas anteriores a este ejemplo y como tenemos que T
3x − 2z
x
T y = x + y − z =
z
5x + 4z
se puede representar como:
x
3 0 −2
1 1 −1 · y
z
5 0
4
De donde tenemos que
B0
[T ]B
3 0 −2
= [B 0 ] · 1 1 −1 · [B]−1
5 0
4
Realizando los cálculos anteriores:
B0
[T ]B
28.2.
3/2 0
3/5
= 9/2 −5 −4/5
5 −6 −2
Toda transformación Lineal es Matricial
A pesar de que las transformaciones matriciales son las transformaciones lineales más sencillas, en Rn son
las únicas. Esto lo afirma el siguente resultado.
Teorema
Toda transformación lineal T : Rn → Rm es una transformación matricial.
4
28.3.
Operativa del Trabajo con Transformaciones
Lo que afirma el siguiente resultado es que para trabajar con una transformación lineal (Núcleo, subsepacios,
o imagen) es equivalente a trabajar con la matriz de la transformación.
Teorema
Sea T : V →W una transformación lineal entre dos espacios vectoriales de dimensiones finitas, V y
0
0
0
W . Sea A la matriz de T con respecto a las bases B = {v1 , ...vn } ⊆ V y B = {v1 , ..., vm } ⊆ W .
Entonces,
~v está en el núcleo de T si y sólo si [v]B está en el espacio nulo de A. Es decir, A[v]B = 0.
w
~ está en el contradomio de T si y sólo si [w]B0 se encuentra en el espacio de columnas de A.
Es decir, Ax = [w]B0 es consistente.
T es biunı́voca si y sólo si la reducida de A tiene n pivotes.
T es sobre si y sólo si la reducida de A tiene m pivotes.
T es un isomorfismo si y sólo si A es invertible.
Ejemplo 28.6
Suponga que
T : P1 → P1
se define como
T (p) = (1 + 6 x) p0 − 6 p
0
determine la matriz [T ]B
B para las bases
B = {5 + 5 x, −4 + 2 x}
y
B 0 = {5 − x, −4 − 4 x}
Utilice lo anterior para calcular un polinomio en el núcleo de la transformación T .
Solución
Si p = a + b x representa cualquier porlinomio de P1 , entonces
T (a + b x) = (1 + 6 x) (b) − 6 (a + b x) = b − 6 a = (b − 6 a) + 0 x
Ası́, T puede pensarse como:
T (a + b x) =
−6 1
0 0
a
·
b
Por tanto,
0
[T ]B
B
=
5 −4
−1 −4
−1 −6 1
5 −4
−17/6 −19/6
·
·
=
17/30 19/30
0 0
5 2
0
El núcleo de esta matriz se obtiene resolviendo [T ]B
B x = 0:
h
i
1 19/17 0
B0
[T ]B |0 →
0
0
0
0
Por lo tanto, el núcleo de [T ]B
B se genera por el vector:
−19/17
[v]B =
1
5
De allı́ que el núcleo de T se genere por:
−1
v = [B]
[v]B =
1/15 2/15
−1/6 1/6
−19/17
1/17
·
=
1
6/17
Por tanto, cualquier polinomio de la forma C (1/17 + 6/17 x) está en el núcleo de T El siguiente resultado
relaciona la matriz de cambio de base con la matriz asociada a una transformación lineal.
Teorema
Sea T : V →V una transformación lineal de un espacio vectorial V de dimensión finita en sı́ mismo.
0
0
Sean B y B dos bases de V , y sea P la matriz de transición de B a B. Si A es la matriz de T con
0
respecto a B y si C es la matriz de T con respecto a B , entonces
C = P−1 A P
6
