Taller 8 de Cálculo Diferencial de V.V. René Benıtez 1. Dada la

Taller 8 de Cálculo Diferencial de V.V.
René Benı́tez
1. Dada la transformación T (u, v) = (u − 2v, 2u − v), determine:
a) La imagen bajo T del cuadrado C = [0, 1] × [0, 1]. Dibújela.
b) El área de T (C).
2. Considere la transformación T (u, v) = (u2 − v 2 , 2uv). Determine en forma gráfica y analı́tica la imagen bajo T de la
región π = {(u, v) : 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1}.
¶
µ ¶ µ
x
x
3. Considere la transformación T
=
. Descı́banse en forma gráfica y analı́tica las imágenes bajo T de los
y
x+y
siguientes conjuntos: a) La recta y = 3, b) La parábola y = x2 .
4. Considere la transformación T (x, y) = (x + 3, y + 2), y determine gráfica y analı́ticamente la imagen bajo T de y = x3 .


1 0
0
5. Considere la transformación T =  0 0 −1  , y determine y dibuje la imagen bajo T de la curva C = {(2, t, t2 ) :
0 1
0
t ∈ R}.
³x y ´
x2
y2
,
, ¿cuál es la imagen bajo f de la elipse
+
= 1? Dibújela.
3 4
4
16
µ ¶ µ 2
¶
x
x −y
7. Considere la transformación T
=
, y determine la imagen bajo T de la recta 3x − y − 1 = 0 y la del
y
y−x
cı́rculo x2 + y 2 = 1.
µ
¶
0 −1
8. Considere la transformación T =
, y determine y dibuje la imagen bajo T del triángulo cuyos vértices son
1
0
los puntos (0, 0), (1, 1) y ((2, 2).
µ
¶
1 −1
9. Considere la transformación T =
, y determine y dibuje la imagen bajo T del trapecio cuyos vértices son
1
1
los puntos (0, −1), (0, −2), (2, 0) y ((1, 0).
6. Si f (x, y) =
En los ejercicios 10 y 11, calcule la matriz jacobiana de la función f en el punto P que se indica.
³ π´
10. f (x, y) = (e3x sen y, e3x cos y), P = 0,
. 11. f (x, y, z) = (x2 y, zex , x + z), P = (0, 1, −3).
2
12. Dada f (x, y) = (xy, x2 − y 2 ) y g(u, v) = (u2 − uv, uv + v 2 ), calcule el jacobiano de g ◦ f.
13. Considere las funciones G(x, y) = (xey , ln x) y F (u, v, w) = (u + v + w, vw). Calcule el jacobiano de G ◦ F en (1, 2, 1).
14. Las paredes oriente y poniente de un edificio que tiene la forma de un paralelepı́pedo rectángulo, pierden calor a
razón de 10 mu2 , las paredes norte y sur lo pierden a razón de 8 mu2 y el piso y el techo lo pierden a razón de 5 mu2 . Si
el área lateral junto con el área de la planta baja y la azotea es de 2280 m2 y su volumen es de 4000 m3 , calcule las
dimensiones que debe tener el edificio para que la pérdida de calor sea mı́nima.
15. Determine la inversa de la transformación que se indica
a) x = u + 2v, y = u − v.
√
√
√
√
b) x = 2u − 2v, y = 2u + 2v.
16. La temperatura en un punto (x, y, z) del espacio está dada por T (x, y, z) = x2 + (y − 1)2 + (z + 1)2 . Si una gaviota
t
se desplaza sobre la curva σ(t) = (cos t, sen t, ), calcule la razón de cambio de la temperatura en el instante t = π.
π