Núcleo e imagen de una transformación lineal

Núcleo e imagen de una transformación lineal
Objetivos. Definir el núcleo y la imagen de una transformación lineal, probar que son
subespacios (del dominio y del contradominio respectivamente), ver la relación con las propiedades inyectiva y suprayectiva, conocer algunos ejemplos. Luego en otras clases vamos
a estudiar, cómo construir bases en el núcleo y en la imagen, y cómo están relacionadas
sus dimensiones.
Requisitos. Transformación lineal, imagen de un conjunto bajo una aplicación, preimagen de un conjunto bajo una aplicación, funciones inyectivas, funciones suprayectivas.
1. Definición (la imagen de una transformación lineal). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W ). La imagen de T se define como el conjunto
de todos los valores de la aplicación T :
im(T ) := w ∈ W : ∃v ∈ V tal que w = T (v) .
2. Definición (el núcleo de una transformación lineal). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W ). El núcleo (kernel, espacio nulo) de T se
define como la preimagen completa del vector nulo:
ker(T ) := x ∈ V : T (x) = 0W .
3. Proposición (el núcleo de una transformación lineal es un subespacio vectorial del dominio). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W ).
Entonces ker(T ) es un subespacio de V .
4. Proposición (la imagen de una transformación lineal es un subespacio vectorial del codominio). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈
L(V, W ). Entonces im(T ) es un subespacio de W .
Parte de demostración. Se aplica el criterio de subespacio. Se demuestra que el conjunto
im(T ) es cerrado bajo la adición y bajo la multiplicación por escalares, además contiene
al vector cero.
Mostremos que el conjunto im(T ) es cerrado bajo la adición. Sean w1 , w2 ∈ im(T ).
Por la definición de la imagen, existen v1 , v2 ∈ V tales que w1 = T (v1 ), w2 = T (v2 ). Por
la linealidad de T ,
T (v1 + v2 ) = T (v1 ) + T (v2 ) = w1 + w2 .
Logramos encontrar un vector x = v1 + v2 tal que T (x) = w1 + w2 . Por la definición de la
imagen, esto implica que w1 + w2 ∈ im(T ).
Núcleo e imagen de una transformación lineal, página 1 de 3
Inyectividad y suprayectividad de una transformación lineal
en términos de su núcleo e imagen
5. Definición de función suprayectiva (repaso). Una función f : X → Y se llama
suprayectiva o sobreyectiva si para cualquier y ∈ Y existe un x ∈ X tal que f (x) = y.
6. Observación (criterio de la suprayectividad de una función en términos de
su imagen). Según la definición, f se llama suprayectiva si Y ⊂ im(f ). Pero la contención
im(f ) ⊂ Y es válida cualquier función f : X → Y . Por lo tanto,
f es suprayectiva
⇐⇒
im(f ) = Y.
7. Definición de función inyectiva (repaso). Una función f : X → Y se llama inyectiva si para cualesquiera x1 , x2 ∈ X tales que f (x1 ) = f (x2 ), se cumple la igualdad
x1 = x2 .
8. Proposición (criterio de la inyectividad de una transformación lineal en
términos de su núcleo). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈
L(V, W ). Entonces:
T es inyectiva
⇐⇒
ker(T ) = {0V }.
Demostración. =⇒. Supongamos que T es inyectiva. Tenemos por demostrar la igualdad
ker(T ) = {0V }. Sabemos que la contención {0V } ⊂ ker(T ) se cumple para cualquier
transformación lineal. Vamos a demostrar que ker(T ) ⊂ {0V }. Para ello, consideremos
un vector arbitrario v ∈ ker(T ) y demostremos que v = 0V . Por la definición del núcleo
tenemos que T (v) = 0W . Por otro lado, sabemos que T (0V ) = 0W . De las últimas dos
igualdades sigue que T (v) = T (0V ). Como T es inyectiva, podemos concluir que v = 0V .
⇐=. Supongamos que ker(T ) = {0}. Sean u, v ∈ V tales que T (u) = T (v), demostremos
que u = v. Por la linealidad de T ,
T (u − v) = T (u + (−1)v) = T (u) + (−1)T (v) = T (u) − T (v) = 0.
Esto significa que T (u − v) ∈ ker(T ). Luego u − v = 0 y u = v.
Núcleo e imagen de una transformación lineal, página 2 de 3
Ejemplo
9. Ejemplo (el núcleo y la imagen de la transformación nula). La transformación
nula 0V →W : V → W está definida mediante la fórmula
∀v ∈ V
0V →W (v) := 0W .
Es fácil ver que ker(0V →W ) = V , im(0V →W ) = {0W }.
10. Ejercicio (el núcleo y la imagen de la transformación identidad). Determine
ker(I) y im(I) de la transformación identidad I : V → V definida mediante la fórmula
∀v ∈ V
I(v) := v.
11. Ejemplo (el núcleo y la imagen de la transformación D). Consideremos el
operador D : Pn (R) → Pn (R), Df = f 0 . Entonces im(A) = Pn−1 (F), ker(A) = P0 (F).
12. Ejemplo (el núcleo y la imagen de una proyección en V 2 (O)). Sea P el
operador de proyección sobre `1 paralelamente a `2 . Entonces ker(P ) = `2 , im(P ) = `1 .
1 0
13. Ejemplo. Transformada lineal en R asociada con la matriz
:
0 0
x1
1 0
x1
x1
2
2
.
=
=
T: R →R ,
T
0
x2
x2
0 0
2
Es fácil ver que
2
0
x2
y1
0
ker(T ) = {x ∈ R : x1 = 0} =
2
im(T ) = {y ∈ R : y2 = 0} =
: x2 ∈ R ,
: y1 ∈ R .
14. Problema adicional. Sean V, W, X espacios vectoriales sobre un campo F y sean
T ∈ L(V, W ), U ∈ L(W, X). Demuestre que
im(U T ) ⊂ im(U ),
ker(T ) ⊂ ker(U T ).
15. Problema adicional. En este problema se trata de funciones generales, no necesariamente de transformaciones lineales. Sean f : X → Y , g : Y → Z. Demuestre que:
1. Si la composición gf es suprayectiva, entonces g es suprayectiva.
2. Si la composición gf es inyectiva, entonces f es inyectiva.
Núcleo e imagen de una transformación lineal, página 3 de 3