Cuarto Examen Sorpresa Algebra Lineal Primer Semestre 2015

Cuarto Examen Sorpresa, Primer Semestre 2015.
Problema. Considere la transformación
T : P 3 (x) −→ M2×2
T [p(x)] = T (a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ) =
a0 + a2
a3
a0 + a2 − a3
a1 − a3
Determine el espacio nulo y rango de la transformación lineal, determine si la transformación lineal es inyectiva o
sobreyectiva.
Cuarto Examen Sorpresa, Primer Semestre 2015.
Problema. Considere la transformación
T : P 3 (x) −→ M2×2
T [p(x)] = T (a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ) =
a0 + a2
a3
a0 + a2 − a3
a1 − a3
Determine el espacio nulo y rango de la transformación lineal, determine si la transformación lineal es inyectiva o
sobreyectiva.
Cuarto Examen Sorpresa, Primer Semestre 2015.
Problema. Considere la transformación
3
T : P (x) −→ M
2×2
2
3
T [p(x)] = T (a0 + a1 x + a2 x + a3 x ) =
a0 + a2
a3
a0 + a2 − a3
a1 − a3
Determine el espacio nulo y rango de la transformación lineal, determine si la transformación lineal es inyectiva o
sobreyectiva.
Cuarto Examen Sorpresa, Primer Semestre 2015.
Problema. Considere la transformación
3
T : P (x) −→ M
2×2
2
3
T [p(x)] = T (a0 + a1 x + a2 x + a3 x ) =
a0 + a2
a3
a0 + a2 − a3
a1 − a3
Determine el espacio nulo y rango de la transformación lineal, determine si la transformación lineal es inyectiva o
sobreyectiva.
Cuarto Examen Sorpresa, Primer Semestre 2015.
Problema. Considere la transformación
3
T : P (x) −→ M
2×2
2
3
T [p(x)] = T (a0 + a1 x + a2 x + a3 x ) =
a0 + a2
a3
a0 + a2 − a3
a1 − a3
Determine el espacio nulo y rango de la transformación lineal, determine si la transformación lineal es inyectiva o
sobreyectiva.
Cuarto Examen Sorpresa, Primer Semestre 2015.
Problema. Considere la transformación
3
T : P (x) −→ M
2×2
2
3
T [p(x)] = T (a0 + a1 x + a2 x + a3 x ) =
a0 + a2
a3
a0 + a2 − a3
a1 − a3
Determine el espacio nulo y rango de la transformación lineal, determine si la transformación lineal es inyectiva o
sobreyectiva.
Cuarto Examen Sorpresa, Primer Semestre 2015.
Problema. Considere la transformación
T : P 3 (x) −→ M2×2
T [p(x)] = T (a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ) =
a0 + a2
a3
a0 + a2 − a3
a1 − a3
Determine el espacio nulo y rango de la transformación lineal, determine si la transformación lineal es inyectiva o
sobreyectiva.
Solución. Suponga que p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ∈ NT , entonces
a0 + a2 a0 + a2 − a3
0 0
T [p(x)] = T a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 =
=
a3
a1 − a3
0 0
El sistema de ecuaciones resultante está dado por
a0 + a2
=
0
a0 + a2 − a3
a3
a1 − a3
=
=
=
0
0
0
La solución del sistema de ecuaciones está dado por
a1 = a3 = 0
a0 = −a2
Por lo tanto, el espacio nulo de la transformación lineal está dado por
NT = −a2 + a2 x2 |a2 ∈ R = −1 + x2
Una extensión de la base de NT para formar una base de P 3 (x) está dada por
BP 3 (x) = −1 + x2 , x, x2 , x3
Se probará que BP 3 (x) es realmente una base
λ1 (−1 + x2 ) + λ2 x + λ3 x2 + λ4 x3 = 0 + 0 x + 0 x2 + 0 x3
−λ1
λ2
λ1 + λ3
=
=
=
0
0
0
λ4
=
0
Es evidente que la solución del sistema es única y está dada por
λ1 = λ2 = λ3 = λ4 = 0
Finalmente, una base para el RT está dado por
BRT
=
T (x), T (x2 ), T (x3 ) =
La transformación lineal no es ni inyectiva ni sobreyectiva.
0
0
0
1
1 1
0 −1
,
,
0 0
1 −1