TRANSFORMACION CANONICA DEL TIRO PARABÓLICO
Probar que la siguiente expresión es una función generatriz de una
Transformación Canónica:
F2 (q1 , q2 ; P1 , P2 ) = q1
p
r
2m(P1 − P2 ) −
3
8
2
(P
−
mgq
)
2
2
9mg 2
a) Demuéstrese que esta Transformación Canónica convierte el Hamiltoniano del movimiento de proyectiles en el plano en uno donde todas
las nuevas coordenadas son ignorables.
b) Hallar la trayectoria del movimiento usando la Transformación
Canónica, con las condiciones iniciales: q1 (t = 0) = q2 (t = 0) = 0.
•••••
Es una función generatriz de una transformación canónica. Conocemos que:
∂F2 (q1 , q2 ; P1 , P2 )
= p1
∂q1
;
∂F2 (q1 , q2 ; P1 , P2 )
= p2
∂q2
∂F2 (q1 , q2 ; P1 , P2 )
= Q1
∂P1
;
∂F2 (q1 , q2 ; P1 , P2 )
= Q2
∂P2
;
p2 = −mg(Q1 + Q2 )
La transformación es:
p1 =
r
q1 =
y su inversa:
p
2m(P1 − P2 )
2Q21
(P1 − P2 )
m
;
q2 =
P2
g
− (Q1 + Q2 )2
mg
2
p21 + p22
p22
P1 =
+ mgq2 ; P2 =
+ mgq2
2m
2m
q1
q1
p2
Q1 = m
; Q2 = −m −
p1
p1
mg
Evidentemente P1 es un Hamiltoniano bien conocido y depende solo de un momento canónico nuevo: el mencionado P1 . Solamente nos faltará determinar si
la transformación es canónica. Para ello usamos el determinante de la matriz:
∂Q1
J0 =
∂q1
∂Q2
∂q1
∂P1
∂q1
∂P2
∂q1
∂Q1
∂q2
∂Q2
∂q2
∂P1
∂q2
∂P2
∂q2
∂Q1
∂p1
∂Q2
∂p1
∂P1
∂p1
∂P2
∂p1
∂Q1
∂p2
∂Q2
∂p2
∂P1
∂p2
∂P2
∂p2
m
p1
−m
p1
=
0
0
0
1
− mq
p2
0
mg
mg
mq1
p21
p1
m
1
0
0
1
− mg
p2
m
p2
m
Desarrollando por los elementos de la primera fila, se obtiene fácilmente:
Det | J0 |= 1
Luego es una Transformación Canónica. Ahora P1 en términos de las variables canónicas pequeñas era:
p21 + p22
P1 =
+ mgq2
2m
Sustituı́mos las pequeñas por las grandes, ahora que ya sabemos que la transformación es canónica. Lo comprobamos de nuevo a la inversa:
p21 + p22
P1 =
+ mgq2 =
2m
=
1
P2
g
{2m(P1 − P2 ) + m2 g 2 (Q1 + Q2 )2 } + mg{
− (Q1 + Q2 )2 } = P1
2m
mg
2
El Hamiltoniano es en efecto P1 . Las ecuaciones canónicas ya integradas del
nuevo Hamiltoniano son:
Q1 = t + t0
;
Q2 = β
;
P1 = E
;
P2 = α
con {E, t0 , α, β} simples constantes. Si queremos la solución en las coordenadas
espaciales iniciales, se tiene, llamando q1 (t) = x(t) y q2 (t) = y(t):
x(t) =
1p
2m(E − α)(t + t0 )
m
;
g
α
y(t) = − (t + t0 + β)2 +
2
mg
que es un movimiento lineal en el tiempo en x(t) y cuadrático en el tiempo en
y(t). Escogemos ahora condiciones iniciales tales que x(0) = y(0) = 0. De este
modo, t0 = 0. Además α ha de estar relacionado con β. Si ahora caemos en la
cuenta de que las constantes {E, α, β} tienen dimensiones respectivas de energı́a,
energı́a y tiempo, podemos cambiar esas tres constantes por otro conjunto de
dos constantes (recordemos que α ha de estar relacionado con β), en la forma:
mv02
E=
2
;
mv02
α=
sin2 θ
2
;
β=−
v0
sin θ
g
que son las bien conocidas ecuaciones del movimiento de proyectiles en el
plano.
q1 (t) = x(t) = (v0 cos θ)t
g
q2 (t) = y(t) = (v0 sin θ)t − t2
2
donde {v0 , θ} son ahora la velocidad inicial y el ángulo de inclinación de la
lanzadera.
