´ALGEBRA III - Práctico 1 2015 Ejercicio 1. Consideremos los

ÁLGEBRA III - Práctico 1
2015
Ejercicio 1. Consideremos los siguientes vectores de R3
α1 = (1, 1, 0) α2 = (0, 1, 1) α3 = (1, 0, 4).
(a) Demostrar que B = {α1 , α2 , α3 } es una base de R3 .
(b) Hallar las coordenadas de los vectores de la base canónica respecto de
B.
(c) Hallar las matrices de cambio de base de la base canónica a B y viceversa.
Ejercicio 2. Hallar la base dual B ∗ = {f1 , f2 , f3 } de la base B del Ejercicio 1.
Ayuda: Recordar que (x, y, z) = f1 (x, y, z)α1 + f2 (x, y, z)α2 + f3 (x, y, z)α3 .
Ejercicio 3. Calcular la matriz [T ]BB en la base B del Ejercicio 1 para la transformación
T : R3 → R3 dada por T (x, y, z) = (0, x, y).
Ejercicio 4. Sea T : R3 −→ R3 la transformación lineal tal que su matriz
 en la base
1 0 7
ordenada B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, −1)} es [T ]BB = 1 0 0 .
0 1 0
(a) Hallar la matriz PCB de cambio de base de B a la base canónica C =
{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} de R3 .
(b) Dar la matriz [T ]CC de T en la base canónica.
(c) Hallar T (3, 7, −5).
Ejercicio 5. Sea T : R2 −→ R3 la transformación lineal definida por
T (x1 , x2 ) = (x1 + 2x2 , 3x1 − 3x2 , 2x2 − 3x1 ).
(a) Considerar en R2 la base canónica y en R3 la misma base ordenada B
que en el ejercicio anterior. Hallar la matriz de T en dichas bases.
(b) Es T sobreyectiva?
Ejercicio 6. (a) Definir una transformación lineal T : R3 → R2 tal que T (1, 0, 0) = (0, 0).
(b) Definir una transformación lineal T : R2 → R3 inyectiva
(c) Definir un isomorfismo T : R3 → R3 tal que T (1, 0, 0) = (0, 0, 1).
Ejercicio 7. (a) Hallar un vector en R3 ortogonal a (1, 0, 1) y a (0, 2, 1), con el producto
interno usual.
(b) Consideremos elRespacio de polinomios de grado menor a 3 con el producto
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interno (p, q) = 0 p(x)q(x)d x. Hallar un vector ortogonal a 1 + x2 .
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