´Algebra Lineal: Aplicaciones F´ısicas

Álgebra Lineal: Aplicaciones Fı́sicas
Trabajo Práctico 6 - Transformaciones y operadores lineales: isomorfismos e inversas. Cambio de
base. Autovalores y autovectores
1. Determinar si las siguientes aplicaciones son isomorfismos; cuando no lo sean, indicar qué condición no
satisfacen:
a) f : R2x2 → R, tal que
µ
f
a b
c d
¶
= ad − bc .
b) f : R2x2 → P3 (R), tal que
µ
f
a b
c d
¶
= c + (d + c)x + (b + a)x2 + ax3 .
c) f : R2x2 → P3 (R), tal que
µ
f
a b
c d
¶
d) D : P (R) → P (R), tal que D(p)(x) =
= c + (d + c)x + (b + a + 1)x2 + ax3 .
dp(x)
dx .
e) D : P (R)/W → P (R)/W tal que D(p)(x) = dp(x)
dx (la derivada, definida como la derivada de cualquier
elemento de la clase), y donde W el subespacio de los polinomios constantes.
f) π : V → V /W (proyección canónica) tal que π(v) = v.
2. a) Sea f un automorfismo definido en R tal que f (3) = 7. Hallar f (−2).
b) Demostrar que f : R2 → R2 es un automorfismo si y sólo si la imagen de todo v ∈ R2 puede escribirse en
cualquier base B como:
¡
¢
¡
¢
[f (v)]B = aξ1 + bξ2 , cξ1 + dξ2
siendo
[v]B = ξ1 , ξ2 ,
con a; b c y d constantes tales que ad − bc 6= 0.
3. Sean U , V y W espacios vectoriales de dimensiones 2, 3 y 4 respectivamente. Las transformaciones lineales
F : V → V, G : V → W y H : V → U tienen, en ciertas bases, las siguientes matrices asociadas:



1
0 0 2
 1
F =  −1 1 3  G = 
 1
−1 1 1
0
2
0
−1
−1

0
µ
2 
1
H =
1 
1
1
1
0
0
−2
¶
a) Indicar si las transformaciones indicadas corresponden a un monomorfismo, epimorfismo o isomorfismo y
las dimensiones de los núcleos e imágenes.
b) Sin realizar cálculos, indicar si existen las inversas a izquierda y/o derecha en cada uno de estos casos.
c) En caso de existir, mostrar las representaciones matriciales de las inversas a izquierda y derecha (al menos
dos en caso de no ser únicas).
4. Dadas B = {(1, 2) , (3, −4)}
y
B 0 = {(1, 3) , (3, 8)}, bases de R2 .
a) Encontrar las coordenadas de un vector dado (a, b) en la base B.
b) Encontrar las coordenadas del mismo vector en la base B 0 .
c) Encontrar la matriz P de cambio de base de B a B 0 .
d) Encontrar la matriz de cambio de base de B 0 a B.
5. Sea B = {v1 = (α1 , α2 , ..., αn ); v2 = (β1 , β2 , ..., βn ); ... ; vn = (γ1 , γ2 , ..., γn )} una base de Kn . Mostrar que la
matriz de cambio de base desde la base canónica a la base B tiene a v1 , ..., vn por columnas.
1
6. Suponer que los ejes x e y en R2 son rotados en π3 en sentido antihorario.
a) Encontrar la matriz de cambio de base, P , desde la base canónica a la nueva base y calcular su inversa.
b) Encontrar las coordenadas, en la base rotada, del vector que, en la canónica, tiene coordenadas ξ1 =
a; ξ2 = b.
c) Encontrar, en la base rotada, la ecuacin que satisfacen los puntos de la elipse ( x2 )2 + y 2 = 1.
d) Comparar con la matriz de rotación hallada en el ejercicio 21) a1) del Trabajo Práctico 5, y con el resultado
obtenido al rotar cualquier vector de coordenadas (a, b) en la base canónica.
7. En P2 (R),
©
ª
©
ª
a) Encontrar la matriz de cambio de base de la base B = 1, 1 + t, 1 + t + t2 a la base B 0 = 1 − t, t + t2 , t2 .
b) Determinar las componentes del vector 2 + 4t − t2 en la base B y determinar (usando la matriz de cambio
de base) las coordenadas del mismo vector en la base B 0 .
8. a) En C2×2 , calcular la matriz P de cambio de base desde la base canónica a la base B formada por la
identidad y las tres matrices de Pauli.
b) Escribir las componentes de
µ
¶
3 4
5 −3
en la base B.
c) Para el operador lineal T (A) = AT , calcular la matriz asociada en ambas bases y verificar que se satisface
la ley de transformación demostrada en general.
d) Lo mismo para la forma lineal f (A) = T r(A).
9. a) Sean λ1 , ..., λn los autovalores del operador F : Kn → Kn , y v1 , ..., vn los correspondientes autovectores.
Hallar los valores y vectores propios del operador F 2 .
b) Si F es un operador no singular, mostrar que los valores propios de F −1 son los recı́procos de los valores
propios de F , ¿cómo están relacionados los autovectores de F y los de F −1 ?
10. a) Sean A y B dos matrices cuadradas n × n, con A no singular. Mostrar que AB y BA tienen los mismos
autovalores.
b) Eliminemos ahora la hipótesis A no singular. Mostrar que si A y B son matrices cuadradas cualesquiera,
AB y BA tienen los mismos autovalores. Es más, la afirmación anterior vale para los autovalores no nulos de
AB y de BA para cualesquiera A matriz m × n y B matriz n × m.
11. Sea F : R3 → R3 el operador definido por F (x; y; z) = (x, 2x + z, −z)
a) Hallar la matriz asociada a F en la base canónica de R3 .
b) Escribir el polinomio caracterı́stico.
c) Determinar los autovalores de F y sus correspondientes autovectores, indicando una base para cada autoespacio.
12. Sea D : P2 (R) → P2 (R) el operador definido por D(p(t)) =
d(tp(t))
dt
a) Hallar la matriz asociada a D en la base canónica de P2 .
c) Determinar los autovalores de D y sus correspondientes autovectores, indicando una base para cada autoespacio.
13. Para cada una de las siguientes matrices:
µ
A=
2 4
5 3
¶
µ
B=
3 2
−2 3
¶

1 1
C= 1 1
1 1


1
4
1 D =  0
1
0

9 0
−2 8 
0 7
Hallar sus autovalores y autovectores (sobre C), indicando las dimensiones de los subespacios generados en
los casos de raı́ces múltiples de dicho polinomio.
14. Hallar los autovalores (y sus correspondientes espacios propios) del operador dado en el ejercicio 21) b3) del
Trabajo Práctico 5.
15. a) Demostrar que si dos operadores lineales A y B conmutan, y si v es autovector de A asociado a un autovalor
λ, entonces Bv es autovector de A asociado al mismo autovalor λ.
b) Si el autovalor λ del inciso anterior es no degenerado, probar entonces que v es también autovector de B.
c) Si λ es degenerado, observar que sólo se puede afirmar que Bv pertenece al subespacio propio correspondiente a λ. Se prueba entonces que cualquier subespacio propio de A es invariante bajo la acción de B.
Volveremos sobre esto cuando veamos operadores hermı́ticos....
2
16. Considerar el operador nilpotente del ejercicio 12) e) del Trabajo Práctico 5. Hallar su polinomio caracterı́stico,
y encontrar sus autovalores y autovectores.
17. Demostrar que el coeficiente de la potencia n − 1 del polinomio caracterı́stico de una matriz A está dado por
(−1)n−1 T r(A).
2
18. Hallar los autovalores y autofunciones del operador L = −d
dx2 , definido sobre el espacio de funciones ϕ(x)
dos veces derivables en el intervalo [−π, π] que satisfacen condiciones periódicas de borde (ϕ(−π) = ϕ(π),
ϕ0 (−π) = ϕ0 (π)).
19. Sea T : C(R) → C(R), tal que
Z
T (f )(x) =
f (t)dt .
0
Mostrar que T no tiene autovalores.
3
x