mec´anica cu´antica

MECÁNICA CUÁNTICA
Problemas (Grupo D)
Problema 1. En un espacio de Hilbert H complejo actúa un operador X . Usando la
definición de operador hermı́tico y las propiedades del producto escalar, probar la relación
hψ1 |X|ψ2 i = hψ2 |X † |ψ1 i∗ , ∀|ψ1 i, |ψ2i ∈ H .
Problema 2. Sea H un espacio de Hilbert de dimensión finita y A un operador autoadjunto
sin degeneración. Probar:
i/ Los autovalores ai de A son reales.
ii/ Los autovectores {|ai i} de A forman un conjunto ortonormal.
Problema 3. Sea X un operador definido sobre un espacio de Hilbert H de dimensión finita,
y A un operador autoadjunto con autovectores {|ai i} . Se pide:
P
i/ Expresar X en la base de A en notación de Dirac: X = i,j Xij |ai ihaj |.
ii/ Comprobar que las componentes son Xij = hai |X|aj i.
iii/ Expresar A en componentes de su propia base.
Problema 4. Consideremos una partı́cula de spin S = 12 . Sean |Sz ; ±i := |±i los autoestados
de spin arriba/abajo en la dirección del eje z . El operador Sz en su propia base es de la forma
Sz = ~2 (|+ih+| − |−ih−|) . Utilizando los postulados I y II de la mecánica cuántica y tantos
experimentos Stern-Gerlach como sean necesarios, se pide:
i/ Expresar los autoestados correspondientes a las componentes de spin Sx y Sy en términos
de los de la base de Sz :
1
1
|Sx ; ±i = √ |+i ± √ |−i,
2
2
i
1
|Sy ; ±i = √ |+i ± √ |−i.
2
2
ii/ Expresar los operadores Sx y Sy en la base de Sz
~
(|+ih−| + |−ih+|),
2
~
Sy = (−i|+ih−| + i|−ih+|).
2
Sx =
iii/ Obtener la expresión matricial de las matrices de Pauli.
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