PDF

Demostración de la condición de hermiticidad para el operador
momento:
Un operador cualquiera se dice hermítico sí:

 ˆ

ˆ

O

dx


O

dx


n
n
m



 



m
Probemos que el operador momento en mecánica cuántica lo es:



m


 

pˆ x n dx    m  i
 n dx
x 



 i

 n
dx
x

m

Integrando por partes:
u   m
du 
dv 
 m
x
 n
x
v  n
Entonces la integral queda:

 

 m 
ˆ



p

dx


i





 x n
 m n    n x dx 






m
Las funciones de onda deben ser nulas en los infinitos, ya que la probabilidad de encontrar
a la partícula debe disminuir conforme ésta se aleja, de modo que:





  m pˆ x n dx  i
n
 m
dx
x
En esta última expresión puede verificarse que:

 m
i n
dx   i
x




 m 

 x dx 


n
La cual corresponde con la primera aplicación del operador pero con los índices cambiados.
De acuerdo a lo anterior:



 pˆ x n dx  i   xn dx  i

m

m
Con lo que la demostración queda completa.

 m
  n x dx
