MÉTODOS MATEMÁTICOS III Ejercicios propuestos 5 y 6 Joaquín

MÉTODOS MATEMÁTICOS III
Ejercicios propuestos 5 y 6
Joaquín Peiró Pérez
5.
 d2  

d 
2

2



 sobre la función x(t ) e
0
2
 d t
dt


Al hacer actuar el operador diferencial L  
igualar a 0 obtenemos la siguiente EDO lineal homogénea:
 d 2  x(t ) 

d  x(t ) 
Lx(t )  
 2
 02 x(t )   0
2
dt
 d t

Que como sabemos corresponde al sistema formado por un resorte oscilante de constante elástica
k  02 m y amortiguamiento   
2m
.
Ahora aplicamos el operador diferencial a un caso particular vs (t )  Aest donde s es una constante
compleja. Obtenemos que
 d 2vs  (t ) 

d  vs (t ) 
Lvs (t ))  
 2
 02vs (t )   s 2 Ae st  2 Ase st  02 Ae st   s 2  2 s  02  Ae st  svs (t )
2
dt
 d t

como queríamos probar. La relación a la que hemos llegado, en la que al hacer actuar un operador
sobre un vector se obtiene proporcionalmente el mismo, recuerda a los problemas de autovalores y
en autovectores para la diagonalización de matrices . El operador con el que trabajábamos era una
matriz cuadrada, que en este caso podríamos definir como sigue
 d2  
 2
 d t

L 0

 0


0
2
d 
dt
0
Y que operaria sobre un vector
 x(t ) 


vs (t )   x(t ) 
 x(t ) 



0 


0 

02 


6.
Sumando ambas EDOs obtenemos lo siguiente:





2
 x1 (t )  x 2 (t )   2  x1 (t )  x 2 (t )   0  x1 (t )  x 2 (t )   f1 (t )  f 2 (t )






Que es igual a
x(t )  2 x(t )  02 x(t )  F (t ) donde
x(t )  x1 (t )  x2 (t ) y
F (t )  f1 (t )  f 2 (t ) . Por tanto, la solución al sistema formado por un resorte con
amortiguamiento sometido a esas dos fuerzas será x(t )  x1 (t )  x2 (t ) .
Bibliografía


George F. Simmons, Steven G. Krantz, “Ecuaciones diferenciales. Teoría, técnica y práctica”.
Arkadi P. Levanyuk y Andrés Cano (con participación de Ramón Fernández-Ruiz),
“Métodos Matemáticos de la Física. Método de Fourier”.