1. INTRODUCCIÓN Problema estándar Problema generalizado CÁLCULO DE AUTOVALORES λ autovalor / valor propio v autovector / vector propio ÁLGEBRA LINEAL: los autovalores son las raíces del polinomio característico Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) Departament de Matemàtica Aplicada III Universitat Politècnica de Catalunya (Barcelona) http://www-lacan.upc.es ·2 Aplicaciones en ingeniería civil Inconvenientes: 1. Cálculo de determinantes (∼n! operaciones), agrupación de términos 2. Acumulación de errores de redondeo 3. No se aprovechan las cualidades de las matrices (simetría, definición positiva, estructura especial...) – Cálculo dinámico de estructuras: sismos, vibraciones, viento... – Análisis de pandeo – Problemas de ondas: ingeniería marítima, problemas medioambientales (contaminación acústica) – Herramientas auxiliares para la resolución de sistemas de ecuaciones: número de condición (si SDP máx λi / mín λi), radio espectral (máx λi), Necesidad de algoritmos alternativos más eficientes ·3 ·4 2. FUNDAMENTOS En forma matricial 2.1 Problema estándar Teorema 1 [Teorema espectral del álgebra]: Si es simétrica, entonces diagonaliza (con autovalores reales) en una base ortonormal. n autovectores n autovalores U es ortogonal ortonormales diagonalización de A Si A es simétrica y definida positiva (SDP) tales que Si A es simétrica y semidefinida positiva ·5 2.2 Problema generalizado ·6 Se busca una solución de la forma con φ vector de desplazamientos nodales constante (modo) y ω frecuencia de vibración (frecuencia propia) Aplicación: Análisis modal en dinámica estructural x: desplazamientos nodales Sustituyendo en la ecuación de equilibrio El desplazamiento en la viga se interpola a partir de los valores nodales Ecuación de equilibrio (oscilaciones libres): M: matriz de masa (SDP) K: matriz de rigidez ·7 ·8 ¿Cómo son los autovalores del problema generalizado? Teorema 2: si son simétricas y M es definida positiva, entonces existen n autovalores reales simétricas ⇒ autovalores reales Ejemplo: y n autovectores • M-ortonormales: • K-ortogonales: con los autovalores son ·9 · 10 2.3 Reducción del problema generalizado al problema estándar con 1. M invertible: Aunque M y K sean simétricas, A* puede ser no simétrica. Se conserva la simetría Sólo es simétrica si K y M-1 conmutan 2. K y M simétricas, y M definida positiva: • Si M SDP descomposición de Cholesky A* Sin embargo, a veces no conviene transformar el problema. Por ejemplo, si M y K son matrices en banda, L es en banda pero L-1 es una matriz llena A* es llena. v* = λ v* · 11 · 12 Demostración del Teorema 2 K y M simétricas, y M definida positiva A* real y 3.1 Deflación simétrica 3. PROPIEDADES GENERALES de matrices simétricas PROBLEMA ESTÁNDAR: Por el Teorema 1 (Teorema espectral del álgebra), A* diagonaliza en una base ortonormal • autovalores reales λi • autovectores ortonormales Solución propia La matriz verifica uk pasa a tener autovalor 0 El problema generalizado tiene autovalores λi y autovectores que cumplen • M-ortonormales: Demostración: • K-ortogonales: · 13 · 14 3.2 Traslación PROBLEMA GENERALIZADO: PROBLEMA ESTÁNDAR: con autovalores λi y autovectores ui Solución propia La matriz verifica autovalores uk pasa a tener autovalor 0 tiene los mismos autovectores ui, pero con Demostración: PROBLEMA GENERALIZADO: Demostración: (ejercicio) con tiene los mismos autovectores ui, con autovalores · 15 · 16 3.3 Cociente de Rayleigh PROBLEMA ESTÁNDAR: Demostración: A real, simétrica Cociente de Rayleigh Expresión alternativa en la base de autovectores: utilizando · 17 Propiedades del cociente de Rayleigh · 18 Demostración 1. Caso 1: A definida positiva 1. a) 2. 3. Si con b) · 19 · 20 Demostración 2. Caso 2: A no definida definida positiva Se considera p tal que traslación • y la El cociente de Rayleigh cumple Demostración 3. • con vamos a comprobar que B tiene autovalores B definida positiva (caso 1) · 21 · 22 PROBLEMA GENERALIZADO: =λiui Cociente de Rayleigh · 23 · 24 4. MÉTODOS DE ITERACIÓN VECTORIAL (von Mises o de las potencias) 4.1 Método de iteración vectorial directa Algoritmo IVD problema estándar Dado v0 casi-arbitrario La Iteración Vectorial Directa (IVD) proporciona el autovalor dominante (el más alejado de cero) y el autovector asociado Atención a la nueva numeración PROBLEMA ESTÁNDAR: • vector inicial casi-arbitrario v0 • iteraciones k = 0, 1, 2... A real, simétrica Autovalor dominante (con su signo) • Convergencia: tal que · 25 · 26 demostración convergencia IVD Caso general: λn autovalor dominante con multiplicidad p · 27 · 28 Observaciones PROBLEMA GENERALIZADO: Existen otras versiones del algoritmo. Los vectores se pueden normalizar dividiendo por su norma, pero hay otras opciones. Por ejemplo, y utilizar IVD • vector inicial casi-arbitrario v0 • iteraciones El vector inicial no es totalmente arbitrario Convergencia • Convergencia: tal que · 29 · 30 Algoritmo Algoritmo IVD problema generalizado · 31 · 32 ωk+1 yk ωk+1 yk El algoritmo se simplifica obviando el cálculo de vk Algoritmo IVI problema estándar 4.2 Método de iteración vectorial inversa La Iteración Vectorial Inversa (IVI) proporciona el autovalor más cercano a cero (el mínimo en valor absoluto, con su signo) y el autovector asociado ωk+1 En la práctica no se calcula A-1 PROBLEMA ESTÁNDAR: tiene los mismo autovectores con autovalores ? IVD con A-1 · 33 Observaciones · 34 PROBLEMA GENERALIZADO: La convergencia se puede acelerar con una traslación IVI para IVI para A IVD para A-1 ωk+1 yk Cálculo del autovalor más cercano a un valor dado (o del autovector asociado a un autovalor conocido) ωk+1 zk+1 · 35 · 36 Algoritmo Algoritmo IVI problema generalizado ≈ λ1 ? (versión 1) (versión 2) · 37 5. OTROS MÉTODOS Métodos de iteración polinómica • iteración polinómica explícita • iteración polinómica implícita Métodos de ortogonalización • descomposición en valores singulares (SVD) • Jacobi · 39 · 38
