M etodo de las potencias para el c alculo de autovalores de una matriz

Metodo de las potencias para el c
alculo de
autovalores de una matriz
Elementos de C
alculo Numerico
Segundo Cuatrimestre de 2007
Consideramos una matriz A 2 Rnn diagonalizable, i.e. tal que existe una base de
autovectores fu1 ; : : : ; un g, cada ui siendo un autovector por un autovalor i . Supongamos que A tiene un unico autovalor de modulo maximo. Luego podemos ordenar sus
autovalores 1 ; : : : ; n de la siguiente manera:
j j > j j j j : : : j j :
1
2
3
n
El metodo de las potencias es un algoritmo que halla 1 y un autovector asociado
basandose en el calculo de las potencias de A. Dado un vector v = 1 u1 + : : : + n un ,
1 6= 0, consideramos la sucesion (vk ) Rn denida por
v = A v:
k
k
Aunque en general no vale que la sucesion (vk ) es convergente, lo que s es cierto es
que a medida que k ! +1, los vectores vk se van alineando con u1 :
v = 1 1 (u1 + )
k
k
k
con k ! 0 (veriquelo !). Luego, si es una funcion lineal cualquiera (por ejemplo la
que evalua una coordenada de un vector),
(w) + "( +1)
(v +1 )
r :=
= 1
(v )
(w) + ("( ) )
k
k
k
k
k
!
1
(1)
En la implementacion practica tambien conviene ir normalizando los vk para descartar
los casos en que los vk convergen a 0 o divergen en modulo.
Matrices simetricas Supongamos ahora que A 2 Rnn es simetrica y que
j j > j j > : : : > j j:
1
2
n
Entonces por el metodo antes descripto podemos calcular 1 y un autovector asociado
w1 . Queremos hallar un metodo que nos permita calcular los otros autovalores. Para
esto usamos el siguiente resultado:
1
la matriz
w1 w1
kw1k22
es simetrica y tiene por autovalores a 0; 2 ; : : : ; . Ademas, si w2 es un autovector de
B asociado al autovalor 2 ; es tambien autovector de A asociado al mismo autovalor
t
B = A 1
n
(verifquelo).
Por lo tanto, para calcular 2 podemos aplicarle el metodo a B: >Como seguira
para calcular 3 y todos los demas autovalores?.
Aceleraci
on (Aitken) Si (rk )k es la sucesion de (1), consideremos la nueva sucesion
(sk )k denida por
s =
k
k +2
r2+1
k
2rk+1 + rk
k +2
Muestre que sk ! 1 mas rapidamente que (rk )k .
k
r
rr
:
Ejemplos En cada uno de los siguientes casos encuentre el autovalor de modulo
mayor y su correspondiente autovector. Si la matriz es simetrica encuentre todos
los autovalores. Muestre en una tabla como se comporta el error del metodo e intente
deducir empricamente cual es el orden del mismo. Repita la estimacion para la sucesion
de Aitken.
0
1
0
1
6 5 5
1
@
A
@
1 A.
1. A = 2 6 2 ; comenzando en v =
2 5 1
1
Sugerencia: tome como funcion lineal para el calculo practico a (x1 ; x2 ; x3 ) = x2 .
0
2
B 0
2. A = B
@ 1
0
0
2
0
1
1
0
0
0
1
0
1C
C. Elija el vector inicial v y la funci
on :
0A
3
2